Задача 17 - определение срока кредитования.

Задача 17  - одна из сложных задач ЕГЭ. Они делятся на "экономические" и "неэкономические". В первых, как правило, нужно уметь определять срок кредитования, сумму кредита, банковский процент или величину платежа.

Задача 1.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

---

 

Снова мы столкнулись с условием, когда долг должен быть меньше долга на предыдущий период времени на одну и ту же величину. Это означает, что платежи не будут равными, потому что в каждый из платежей необходимо выплатить все проценты, начисленные банком до того, и еще часть суммы самого кредита. Поэтому при такой схеме первый платеж является самым крупным (проценты начисляются на целую, еще не уменьшенную нами, сумму кредита), а последний – самым маленьким.

В нашем случае процент известен, поэтому в первый платеж надо будет выплатить процент: , да еще неизвестную часть кредита: , и по условию эта сумма не должна быть больше 1,8 млн. Поэтому

Ответ: 10 лет

 

Задача 2.

 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

---

 

Задача с похожим условием. Давайте разбираться. Как мы выяснили ранее (например, в предыдущей задаче), платежи равными не будут. Самый большой платеж – первый, а потом каждый последующий все меньше и меньше, потому что с каждым платежом долг уменьшается на одну и ту же величину и процент, следовательно, тоже.

Сначала банк начислит нам процент на всю сумму кредита: , но в первый же платеж мы выплатим все эти деньги и вернем еще и часть долга, равную . Тогда мы останемся должны , и уже на эту сумму банк нам начислит проценты. И так далее: выплачиваем проценты и часть долга, банк начисляет проценты на оставшуюся часть.

Тогда в конце концов мы выплатим банку весь долг – 20 млн – и всю сумму процентов, всего – 47 млн, а сумма процентов  будет ни что иное, как арифметическая прогрессия:

Членов у такой прогрессии ровно столько, на сколько лет (ну или месяцев – где как) взят кредит, разность такой прогрессии равна , первый член – полная сумма, взятая в долг. Сумма арифметической прогрессии в скобках равна

В нашем случае сумма процентов равна млн, поэтому

Ответ: 8 лет

Задача 3.

 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?

---

 

Задача точно такая же, но с другими цифрами. Формулу больше не выводим, а просто ею пользуемся. Переплата равна:

Ответ: 11 лет

 

Задача 4.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350 000 рублей?

---

Если бы не проценты, мы вернули бы банку долг приблизительно за 4 года:  . Самая большая сумма процентов - первая - равна , остальные будут меньше. Тогда, если умножить эту сумму на 4, получим, что проценты (по максимуму) составят . Так как

 

то за пять лет точно справимся (помним, что проценты будут меньше с каждым платежом, сумма в 520000 сильно завышена).

Можно решать задачу по-иному, а именно, табличным способом. Необходимо просто рассчитать все платежи и начисления.

Первый год: начисляем проценты.

Делаем выплату:

Второй год. Начисляем проценты:

Делаем выплату:

Третий год. Начисляем проценты:

Делаем выплату:

Четвертый год. Начисляем проценты:

Выплачиваем:

Пятый год:

Таким образом, выплата пятого года оказывается последней.

Ответ: 5 лет

 

 

Задача 5.

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого месяца банк начисляет 1 % на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1 %), затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

---

 

Самый большой платеж – первый – равен сумме процентов и части долга¸ равной , и по условию эта сумма не должна быть больше 275 000. Поэтому

Иными словами, Александр Сергеевич не сможет расплатиться за 4 месяца, поэтому минимальный срок – 5 месяцев.

Задачу можно решать и так: - то есть при условии, что не надо выплачивать проценты. Наибольшую сумму процентов - - Александру Сергеевичу предстоит выплатить в первый платеж, потом они будут уже меньше. То есть максимальная сумма выплат (без учета того, что проценты уменьшаются, то есть с лихвой) равна , а - то есть за 5 месяцев он всяко сможет расплатиться.
Ответ: 5 месяцев