Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 17

Задача 17. Определение процента банка.


Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.


 

Запишем, что происходило с кредитом, поэтапно:

В июле взяли в кредит 100 000 рублей;

В январе сумма кредита возросла, потому что банк начислил проценты: .

С февраля по июнь выплатили 55 000 рублей, таким образом, долг уменьшился: .

В январе банк снова начислил проценты на кредит:

   

А после этого последовал второй платеж, и заемщик расплатился  с банком полностью:

   

Раскрыв скобки, получаем следующее квадратное уравнение:

   

   

   

   

Определим дискриминант:

   

Придется извлечь корень в столбик из данного числа. Итак, разбиваем его на пары, начиная с конца:

Берем первую пару (или одно число 3, как у нас) и подбираем ближайший меньший (или равный) квадрат – у нас это, очевидно, 1 (и это – первая цифра ответа, ответ постепенно записываем в сторонке синим цветом). Вычитаем, получаем 2:

Затем сносим следующую группу цифр, отделенных запятой, а нашу единичку удваиваем – будет 2 – это число десятков вспомогательного числа (вспомогательное число показано зеленым цветом).

 

 

Число единиц в нем надо подобрать так, чтобы .  Очевидно, что подойдет 7: . Тогда 7 – вторая цифра ответа, записываем ее синим рядом с единичкой.

 

 

 

 

 

Продолжаем извлекать корень, и вычитаем 189 из 206. Получаем 17.

 

Спускаем вниз следующую пару (1725), а наш неполный результат – 17 – умножаем на 2, будет 34. И снова 34 – это число десятков вспомогательного числа, а число единиц в нем должно быть таким, чтобы .

 

Очевидно, что подойдет 5: . Значит, 5 – последняя цифра результата и корень из 30625 – это число 175.

Также можно попробовать подобрать корень.  200 в квадрате – 40 000, значит, искомое число меньше 200. Также понятно, что оканчивается оно на 5 – это сужает круг поиска. 17 в квадрате – 289, тогда 170 в квадрате – 28 900, а 180  в квадрате – 32400 – это уже много. Пробуем умножить 175 на 175 – и получаем 30625. Корень подобран.

Возвращаемся, наконец, к квадратному уравнению. Корнями его будут:

   

Отрицательный корень посторонний – не подходит по условию.

Ответ: 15

 

Задача 2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет.
Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти r, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший – не менее 0,5 млн рублей.


Будем рассуждать так.  Так как нужно, чтобы долг уменьшался на одну и ту же сумму регулярно, то это означает следующее: с февраля по июнь надо выплатить эту часть долга, но, более того, надо выплатить и все проценты, начисленные банком! То есть платежи не могут быть равными в этом случае. Самый большой долг у нас в самом начале, и самые большие проценты соответственно. То есть первый платеж будет самым большим, а потом платежи будут меньше и меньше, и самый последний – будет самым маленьким. Если надо выплачивать 15 раз часть долга, то это . К этой сумме еще добавляются все проценты, начисленные банком – и в этом случае долг меньше каждый год на одну и ту же сумму – 400 000. Так как по условию наименьший годовой платеж равен 500 000, а мы договорились, что он последний, то процент, начисляемый банком, может быть определен: , то есть равен %. Можно убедиться, что в этом случае наибольший платеж составит как раз 1,9 млн.
Ответ: 25

 

Задача 3. 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.


Задача похожа на предыдущую. Как только мы видим фразу: «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на» – мы понимаем, что здесь речь идет не о равных платежах, а каждый раз придется выплачивать все проценты, начисленные банком, да еще и часть долга.

Предположим, что взято рублей. Тогда банк начислит проценты на эту сумму, и 1-го числа мы будем уже должны банку рублей.

Нам надо в первый платеж отдать все проценты – то есть рублей, да еще и часть долга тоже, а так как платить нам 39 месяцев, то надо отдать часть долга, или . Весь первый платеж тогда будет . После того, как мы внесли первый платеж, наш долг уменьшается на часть, и остается .

Во второй платеж придется заплатить проценты с оставшегося долга и еще часть долга:

   

И так каждый месяц: проценты и еще одна часть долга. Тогда за 39 месяцев мы выплатим все: и весь долг по части, и все проценты. Процентов будет:

   

Выносим общий множитель:

   

В скобках, очевидно, убывающая арифметическая прогрессия, у которой 39 членов и разность равна , а первый член – наша сумма кредита . Запишем  сумму прогрессии:

   

Тогда переплата (сумма сверх взятой у банка) равна: , и равна по условию задачи :

   

Домножаем на 100:

   

Умножим числитель на 39:

   

Делим левую часть пополам:

   

Сократим :

   

   

Ответ: 1%

 

Задача 4. 31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на r%), затем Олег делает очередную выплату. Если он будет платить каждый год по 328050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587250 рублей, то за два года. Под какой процент Олег взял деньги в банке?


 

Здесь можно воспользоваться уже ставшей нам родной формулой:

   

   

В этих формулах – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, – срок кредита (лет или месяцев), – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), – сумма, которую мы одалживаем у банка.

Запишем оба варианта действий заемщика:

Если берем на 4 года, то:

   

Если берем на 2 года, то:

   

   

Во втором уравнении разложим разность квадратов справа на множители и сократим:

   

   

В первом уравнении представляем как разность квадратов:

   

Сокращаем:

   

Выражаем – сумму кредита  – из обоих уравнений:

   

   

Приравниваем:

   

И снова можем сократить:

   

Упрощаем:

   

Замечаем, что сумма цифр в обоих числах в дроби справа делится на 9, и заканчиваются наши числа на 0, поэтому всю дробь сокращаем на 90:

   

Можно сократить на 5:

   

И еще раз на 9:

   

Тогда:

   

   

   

   

Так как  , определим процент банка:

   

   

   

Ответ: процент, взимаемый банком, равен 12,5%.

 

Задача 5. Молодой человек снимает квартиру в Петербурге и в начале каждого месяца платит за аренду 26000 руб. Деньги он снимает со своего счета в банке. Ежемесячно на сумму остатка на счете банк начисляет процент по ставке %. Придя в начале очередного месяца за деньгами, хозяин квартиры предложил молодому человеку сделку: если он оплатит аренду сразу за два месяца вперед, то арендная плата за каждый из этих двух месяцев будет снижена до 25 500 руб. При каких значениях процентной ставки банка арендатору стоит принимать это предложение?


 

Будем считать, что у молодого преподавателя достаточно денег на счету, и примем это количество за . Тогда, если он сразу платит за 2 месяца, это количество денег уменьшается на 51 тыс. рублей, и на оставшиеся после этого деньги банк начислит проценты, причем дважды:

   

Если преподаватель на принимает предложения, то он выплачивает 26 тыс. рублей в первый месяц, а на остаток банк начисляет проценты: , а затем, во второй месяц, преподаватель из этой суммы снова снимает 26 тыс. рублей, а на оставшиеся средства банк начислит ему проценты:

   

Если в первом случае на счету остается больше, чем во втором, то предложение выгодно. Тогда:

   

Сократим одинаковые скобки:

   

Вынесем скобку за скобку:

   

Поменяем знаки и знак неравентсва:

   

   

   

   

   

Ответ: при ставке менее 4% предложение стоит принять.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *