Задача 17 ЕГЭ-2016. Кредиты. Разные задачи.

Задача 1: Вкладчик внёс некоторую сумму в сбербанк под определённый процент годовых. Через год он взял половину получившейся суммы и переложил её в коммерческий банк, процент годовых которого в 32 раза выше, чем в сбербанке. Ещё через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила вложенную туда первоначальную сумму на 4%. Каков процент годовых в сбербанке?

---

 

Решим задачу «классическим» способом.

Итак, пусть вкладчик принес в банк A рублей.

Тогда через год на его счету будет та же сумма, но с процентами. Если сбербанк начисляет %, то на счету вкладчика будет , или .

Вкладчик решил забрать половину суммы: .

Ее он положил в коммерческий банк, который начисляет % годовых.

Через год на его счету была та же сумма, но с процентами:

, или .

Это больше того, что вкладчик положил на свой счет, на 4%:

Домножим на 2, сократим A, вынесем за скобку множитель , тогда имеем:

Приравнивая скобки-множители к нулю, имеем:

- что даст нам отрицательную процентную ставку, или

Решение оказалось не таким сложным, однако оно может быть совсем простым! Если подумать, то увеличение суммы, положенной вкладчиком в коммерческий банк, на 4 %, говорит о том, что процент, начисляемый этим банком, как раз равен 4! А значит, процент сбербанка равен .

Ответ: 0,125

 

Задача 2: В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года - y % годовых, причем известно, что %. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x, при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

---

 

Запишем, что происходило со вкладом.  Пусть вкладчик принес рублей (а может, не рублей) в банк в январе 2000 и положил под % годовых. По прошествии года на его счету будет сумма с процентами - :

Или .

Вкладчик решил снять пятую часть средств, тогда останутся в банке : . Эти средства лежат на его счету еще год, а банк начисляет ему уже % годовых, то есть через год на его счету сумма с процентами - :

Или:

Так как %, то . Запишем только через выражение выше:

Теперь, чтобы найти нужный нам процент, надо выяснить, где данная функция имеет максимум (при каком ). Для этого упростим выражение и возьмем производную, которую приравняем к нулю:

Берем производную:

Приравняем производную к нулю:

То есть наибольшее количество денег окажется на счету, если процентная ставка во второй год хранения денег в банке будет составлять 25 %.

Ответ: 25%.

 

Задача 3: В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некоторой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

---

 

Опять обозначим исходную сумму, которой располагает администрация, A рублей. Эта сумма провела в банке 2 месяца, то есть на нее дважды успели начислить проценты, первый раз, 1 октября:

Второй раз, 1 ноября:

Пусть баррель нефти стоил рублей. Раз нефть дешевела раз в месяц на 10 %, значит, на 1 октября баррель нефти стоил , а на 1 ноября - .

Если бы администрация не стала бы ждать, а сразу купила нефть, то количество этой нефти было бы баррелей.

В новых условиях, после того, как нефть подешевела, а деньги – «подорожали», администрация купит баррелей нефти, то есть почти вдвое больше.

Составим пропорцию: баррелей – это 100%, а баррелей – это процентов. Тогда понятно, что администрация сможет купить на 96 % больше нефти.

Ответ: 96 %.

 

Задача 4: Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй – 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

---

 

Пусть брокеры купили акций на рублей – первый и рублей – второй. Тогда по условию . Наши брокеры продали акции, когда те подорожали. То есть акции стали стоить рублей. Первый продал акций на сумму , второй – на сумму  , а вместе – на сумму 3927 рублей: . При этом второй выручил на 140 % больше: то есть - это 100 %, а - это 240 %, тогда:

Найдем :  , , ,

То есть .

Подставляем :

Каждая акция подорожала в 1,375 раза, или на 137,5%.

 

Задача 5:  Зависимость объема (в шт) купленного у фирмы товара от цены (в руб. за шт.) выражается формулой , . Доход от продажи товара составляет рублей. Затраты на производство единиц товара составляют рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.
Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

---

 

Прибыль (обозначим ее ) можно рассчитать как доход () минус затраты:

 

После снижения цены она стала равна , тогда прибыль стала:

Так как по условию прибыль не изменилась, то

Имеем уравнение:

Если решить это уравнение, то получим цену товара. Решаем:

Цена получилась равной 10000 руб.

Тогда после снижения на 20 % цена составляла 8000 руб.

Так как прибыль , то можно найти, при какой цене она максимальна – надо взять производную и приравнять ее к нулю:

Откуда находим, что максимум прибыли достигается при цене в 9000 руб. Если 8000 руб – 100 %, а 9000 руб – х %, то , то есть цену надо увеличить на 12,5%.
Ответ: 12,5%

 

Задача 6. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

---

 

За три года завод получит утроенную годовую прибыль:
Если эта утроенная прибыль будет равна цене постройки завода, то он окупится:



Отсюда можно определить :

Так как надо найти наименьшее значение , то найдем точку минимума этой     функции. Возьмем производную и приравняем к нулю:

, .

Из этих двух точек 8 – точка минимума, подставляем ее в выражение:
Ответ: 10

 

Задача 7. Спрос на продукцию монополиста задан функцией , его издержки задаются функцией . Компания стремится максимизировать свою прибыль. Подскажите ей, какую цену надо назначить?

---

 

Прибыль монополиста равна выручке, уменьшенной на количество издержек. Выручка равна произведению спроса на цену продукции :

Тогда прибыль:

Найдем производную этой функции. То значение цены , при котором функция будет иметь экстремум – и есть оптимальное (обеспечивающее наибольшую прибыль).

Приравниваем производную к нулю: , .

Ответ: 12,5