Задача 14 – стереометрия. Профиль.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде у которого АВ=4, ВС=6, ,  найдите тангенс угла между плоскостями и .

Очевидно, что, раз плоскости и параллельны, то можно найти тангенс угла между плоскостями и .

Параллелепипед и плоскости

Заметим, что треугольник – равнобедренный: его боковые строны – диагонали равных прямоугольников и . Треугольник также равнобедренный, так как грань параллелепипеда – квадрат. Тогда двугранный угол, тангенс которого мы ищем, равен линейному углу , где – высота треугольника , – высота треугольника .

Вид сверху

Чтобы найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике  (прямой угол – так как параллелепипед по условию прямоугольный)  нужно найти отношение длин противолежащего катета к прилежащему .

, – это половина диагонали квадрата со стороной 4. Тогда .

Ответ:

Задача 2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми PH  и BM, если отрезок PH – высота данной пирамиды, точка М – середина ее бокового ребра PA.

Из точки М опустим перпендикуляр  на основание пирамиды. Так как параллелен , то искомый угол – угол .

Пирамида

Его можно отыскать как арккосинус отношения   к : .

Так как все ребра пирамиды равные (кстати, примем длину ребра за ), то найти длину отрезка  несложно: это высота правильного треугольника со стороной , то есть

Треугольники и подобны по двум углам: оба прямоугольные и имеют общий угол . Коэффициент подобия равен – так как по условию М – середина АР. Поэтому

Определим из треугольника , в котором , а :

Тогда искомый угол:

Ответ:

Задача 3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен . Точка М – середина ребра SC. Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.

Проведем через точку М прямую, параллельную SA, и найдем косинус угла между этой прямой МТ и прямой SA.

Правильная пирамида

Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов, только потребуются длины МВ, МТ и ВТ.

Так как MT – средняя линия треугольника ASC, то ее длина 3.

Для определения длины ВТ найдем длину ребра основания пирамиды, опять же, применив теорему косинусов:

Тогда ВТ по теореме Пифагора:

Для определения длины МВ снова применим ту же теорему косинусов:

Ну и, наконец, снова теорема косинусов, но уже для треугольника МВТ (в котором нам известны все стороны), чтобы определить требуемый косинус угла  между прямыми BM и SA:

Ответ:

 

Задача 4. В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации данных двух тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Рисунок осевого сечения – несложный.

Сечение конуса

Найти площадь поверхности шара, зная его радиус – тоже просто:

А вот чтобы найти площадь поверхности конуса, нужно знать его образующую, на рисунке это отрезок ВС. Проведем радиусы шара OK и OS в точки касания шара и конуса. Отрезок KC – радиус основания конуса, он равен 3. Но тогда и отрезок SC равен 3, так как KC и SC – отрезки касательных, проведенных из одной точки. Найдем тангенс угла SCO:

Чтобы найти образующую конуса, нужен тангенс угла SCK, который вдвое больше угла SCO. Значит, нужно вспомнить формулу тангенса двойного угла:

Запишем теперь тангенс угла SCK  как отношение высоты конуса к радиусу основания:

Отсюда высота конуса:

По теореме Пифагора определяем образующую конуса:

Площадь поверхности конуса:

Отношение площадей:

Ответ: б)

Задача 5. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой  равны 4, точка К – середина ребра AP.

а) постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Так как площадь сечения должна быть параллельна прямой РВ, то через точку К проводим отрезок КМ, параллельный РВ. Через точку М проведем отрезок MN, параллельный ВС. Также проведем KL параллельно BC, после чего останется только соединить точки L и N – сечение построено. Оно представляет собой равнобокую трапецию.

Сечение пирамиды плоскостью

б) Нижнее основание трапеции равно 4, а, так как верхнее основание и боковые стороны – средние линии треугольников APB, APD, и DPC, то длина KM, KL, LN равна 2.

Вид сбоку

Найдем высоту трапеции: из треугольника LHN

Площадь трапеции равна

Ответ: б)