Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде 
у которого АВ=4, ВС=6, 
, найдите тангенс угла между плоскостями 
и 
.
Очевидно, что, раз плоскости и 
параллельны, то можно найти тангенс угла между плоскостями и .
Параллелепипед и плоскости
Заметим, что треугольник – равнобедренный: его боковые строны – диагонали равных прямоугольников 
и 
. Треугольник 
также равнобедренный, так как грань 
параллелепипеда – квадрат. Тогда двугранный угол, тангенс которого мы ищем, равен линейному углу 
, где 
– высота треугольника , 
– высота треугольника .
Вид сверху
Чтобы найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике (прямой угол 
– так как параллелепипед по условию прямоугольный) нужно найти отношение длин противолежащего катета 
к прилежащему .
, 
– это половина диагонали квадрата со стороной 4. Тогда 
.
Ответ: 
Задача 2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM, если отрезок PH – высота данной пирамиды, точка М – середина ее бокового ребра PA.
Из точки М опустим перпендикуляр 
на основание пирамиды. Так как параллелен 
, то искомый угол – угол 
.
Пирамида
Его можно отыскать как арккосинус отношения к 
: 
.
Так как все ребра пирамиды равные (кстати, примем длину ребра за 
), то найти длину отрезка несложно: это высота правильного треугольника со стороной , то есть 
Треугольники 
и 
подобны по двум углам: оба прямоугольные и имеют общий угол 
. Коэффициент подобия равен 
– так как по условию М – середина АР. Поэтому 
Определим из треугольника 
, в котором 
, а 
:
Тогда искомый угол: 
Ответ: 
Задача 3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен 
. Точка М – середина ребра SC. Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.
Проведем через точку М прямую, параллельную SA, и найдем косинус угла между этой прямой МТ и прямой SA.
Правильная пирамида
Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов, только потребуются длины МВ, МТ и ВТ.
Так как MT – средняя линия треугольника ASC, то ее длина 3.
Для определения длины ВТ найдем длину ребра основания пирамиды, опять же, применив теорему косинусов: 
Тогда ВТ по теореме Пифагора: 
Для определения длины МВ снова применим ту же теорему косинусов:
Ну и, наконец, снова теорема косинусов, но уже для треугольника МВТ (в котором нам известны все стороны), чтобы определить требуемый косинус угла между прямыми BM и SA:
Ответ: 
Задача 4. В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.
а) Изобразите осевое сечение комбинации данных двух тел.
б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
Рисунок осевого сечения – несложный.
Сечение конуса
Найти площадь поверхности шара, зная его радиус – тоже просто:
А вот чтобы найти площадь поверхности конуса, нужно знать его образующую, на рисунке это отрезок ВС. Проведем радиусы шара OK и OS в точки касания шара и конуса. Отрезок KC – радиус основания конуса, он равен 3. Но тогда и отрезок SC равен 3, так как KC и SC – отрезки касательных, проведенных из одной точки. Найдем тангенс угла SCO:
Чтобы найти образующую конуса, нужен тангенс угла SCK, который вдвое больше угла SCO. Значит, нужно вспомнить формулу тангенса двойного угла:
Запишем теперь тангенс угла SCK как отношение высоты конуса к радиусу основания:
Отсюда высота конуса:
По теореме Пифагора определяем образующую конуса:
Площадь поверхности конуса:
Отношение площадей: 
Ответ: б) 
Задача 5. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка К – середина ребра AP.
а) постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Так как площадь сечения должна быть параллельна прямой РВ, то через точку К проводим отрезок КМ, параллельный РВ. Через точку М проведем отрезок MN, параллельный ВС. Также проведем KL параллельно BC, после чего останется только соединить точки L и N – сечение построено. Оно представляет собой равнобокую трапецию.
Сечение пирамиды плоскостью
б) Нижнее основание трапеции равно 4, а, так как верхнее основание и боковые стороны – средние линии треугольников APB, APD, и DPC, то длина KM, KL, LN равна 2.
Вид сбоку
Найдем высоту трапеции: из треугольника LHN
Площадь трапеции равна
Ответ: б) 
Комментариев - 2
Задача номер 3. Там MB разве не 5 равно? Раз MS = MC и они равны 3, а так как это правильна пирамида, то MB является высотой в треуг. MBS и тогда под знаком корня из 6^2 вычиаем SM^2. MB равно 5. Отпишитесь, пожалуйста.
Глеб, правильная пирамида – не означает, что длина стороны ее основания равна длине бокового ребра. Это означает лишь то, что в основании – правильный треугольник. Поэтому MB – не высота в треугольнике MBS.