Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 14 (С2), Математика

Задача 14 – стереометрия. Профиль.


Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 у которого АВ=4, ВС=6, CC_1=4,  найдите тангенс угла между плоскостями CDD_1 и BDA_1.

Очевидно, что, раз плоскости CDD_1 и ABA_1 параллельны, то можно найти тангенс угла между плоскостями BDA_1 и ABA_1.

Параллелепипед и плоскости

Заметим, что треугольник BDA_1 – равнобедренный: его боковые строны – диагонали равных прямоугольников ABCD и AA_1D_1D. Треугольник A_1AB также равнобедренный, так как грань A_1ABB_1 параллелепипеда – квадрат. Тогда двугранный угол, тангенс которого мы ищем, равен линейному углу AOD, где AO – высота треугольника A_1AB, OD – высота треугольника BDA_1.

Вид сверху

Чтобы найти тангенс угла AOD в прямоугольном треугольнике  AOD (прямой угол OAD – так как параллелепипед по условию прямоугольный)  нужно найти отношение длин противолежащего катета AD к прилежащему AO.

AD=6, AO=2sqrt{2} – это половина диагонали квадрата со стороной 4. Тогда tg AOD =AD/AO=6/{2sqrt{2}}=3/{sqrt{2}}.

Ответ: tg AOD =3/{sqrt{2}}

 

Задача 2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми PH  и BM, если отрезок PH – высота данной пирамиды, точка М – середина ее бокового ребра PA.

Из точки М опустим перпендикуляр MS  на основание пирамиды. Так как MS параллелен PH, то искомый угол – угол SMB.

Пирамида

Его можно отыскать как арккосинус отношения MS  к MB: cos SMB={SM/MB}.

Так как все ребра пирамиды равные (кстати, примем длину ребра за a), то найти длину отрезка  MB несложно: это высота правильного треугольника со стороной a, то есть MB=a{sqrt{3}/2}

Треугольники AMS и APH подобны по двум углам: оба прямоугольные и имеют общий угол PAH. Коэффициент подобия равен {1/2} – так как по условию М – середина АР. Поэтому MS={1/2}PH

Определим PH из треугольника PHK, в котором HK={a/2}, а PK= a{sqrt{3}/2}:

PH=sqrt{PK^2-HK^2}=sqrt{a^2{3/4}-{a^2/4}}=sqrt{a^2/2}=a/{sqrt{2}}

MS={1/2}PH= a/{2sqrt{2}}

Тогда искомый угол: SMB=arccos {MS/MB}=arccos{ a/{2sqrt{2}}:{a{sqrt{3}/2}}

SMB=arccos{ a/{2sqrt{2}}:{a{sqrt{3}/2}}=arcos{1/sqrt{6}}

Ответ: arccos{1/sqrt{6}}

 

Задача 3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен {1/9}. Точка М – середина ребра SC. Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.

Проведем через точку М прямую, параллельную SA, и найдем косинус угла между этой прямой МТ и прямой SA.

Правильная пирамида

Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов, только потребуются длины МВ, МТ и ВТ.

Так как MT – средняя линия треугольника ASC, то ее длина 3.

Для определения длины ВТ найдем длину ребра основания пирамиды, опять же, применив теорему косинусов: BC=AC=AB=sqrt{SC^2+SB^2-2*SC*SB*cos ASB}=sqrt{6^2+6^2-2*6*6*{1/9}}=sqrt{64}=8

Тогда ВТ по теореме Пифагора: BT=sqrt{BC^2-CT^2}=sqrt{64-16}=4sqrt{3}

Для определения длины МВ снова применим ту же теорему косинусов:

MB=sqrt{SM^2+SB^2-2*SM*SB*cos ASB}=sqrt{3^2+6^2-2*3*6*{1/9}}=sqrt{41}

Ну и, наконец, снова теорема косинусов, но уже для треугольника МВТ (в котором нам известны все стороны), чтобы определить требуемый косинус угла  между прямыми BM и SA:

BT^2=MT^2+MB^2-2*MT*MB*cos BMT

cos BMT={MT^2+MB^2- BT^2}/{2*MT*MB}

cos BMT={3^2+41- 48}/{2*3*sqrt{41}}=1/{3sqrt{41}}

Ответ: 1/{3sqrt{41}}

 

 

Задача 4. В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации данных двух тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Рисунок осевого сечения – несложный.

Сечение конуса

Найти площадь поверхности шара, зная его радиус – тоже просто:

S_{sf}=4{pi}r^2=4{pi}(1,5)^2=9{pi}

А вот чтобы найти площадь поверхности конуса, нужно знать его образующую, на рисунке это отрезок ВС. Проведем радиусы шара OK и OS в точки касания шара и конуса. Отрезок KC – радиус основания конуса, он равен 3. Но тогда и отрезок SC равен 3, так как KC и SC – отрезки касательных, проведенных из одной точки. Найдем тангенс угла SCO:

tg SCO=OS/SC=1,5/3=1/2

Чтобы найти образующую конуса, нужен тангенс угла SCK, который вдвое больше угла SCO. Значит, нужно вспомнить формулу тангенса двойного угла:

tg 2{alpha}={2tg{alpha}}/{1-tg^2 {alpha}}={2*{1/2}}/{1-{1/2}^2}=1/{3/4}=4/3=tg SCK

Запишем теперь тангенс угла SCK  как отношение высоты конуса к радиусу основания:

tg SCK=BK/KC

Отсюда высота конуса:

BK=tg SCK*KC={4/3}*3=4

По теореме Пифагора определяем образующую конуса:

BC=sqrt{BK^2+KC^2}=sqrt{4^2+3^2}=5

Площадь поверхности конуса:

S_{kon}={pi}r^2+{pi}rl=9{pi}+3*5*{pi}=24{pi}

Отношение площадей: {S_{kon}}/{ S_{sf}}={24{pi}}/{9{pi}}=24/9

Ответ: б) 24/9

 

Задача 5. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой  равны 4, точка К – середина ребра AP.

а) постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Так как площадь сечения должна быть параллельна прямой РВ, то через точку К проводим отрезок КМ, параллельный РВ. Через точку М проведем отрезок MN, параллельный ВС. Также проведем KL параллельно BC, после чего останется только соединить точки L и N – сечение построено. Оно представляет собой равнобокую трапецию.

Сечение пирамиды плоскостью

б) Нижнее основание трапеции равно 4, а, так как верхнее основание и боковые стороны – средние линии треугольников APB, APD, и DPC, то длина KM, KL, LN равна 2.

Вид сбоку

Найдем высоту трапеции: из треугольника LHN

LH=sqrt{LN^2-NH^2}=sqrt{2^2-1}=sqrt{3}

Площадь трапеции равна

S_{LKMN}={{KL+MN}/2}*LH={{4+2}*sqrt{3}}/2=3sqrt{3}

Ответ: б) S=3sqrt{3}

 

Комментариев - 2

  • Gleb
    |

    Задача номер 3. Там MB разве не 5 равно? Раз MS = MC и они равны 3, а так как это правильна пирамида, то MB является высотой в треуг. MBS и тогда под знаком корня из 6^2 вычиаем SM^2. MB равно 5. Отпишитесь, пожалуйста.

    Ответить
    • Анна
      |

      Глеб, правильная пирамида – не означает, что длина стороны ее основания равна длине бокового ребра. Это означает лишь то, что в основании – правильный треугольник. Поэтому MB – не высота в треугольнике MBS.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *