Задача 16 профиля с использованием формулы длины медианы

[latexpage]

Задача 16 варианта №40 из книги “50 тренировочных вариантов. Профильный уровень. Под ред. Ященко И.В.”.

Медианы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки $A_2, B_2, C_2$ – середины отрезков MA, MB, MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ вдвое меньше площади треугольника  ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=5, BC=8, AC=10.

Пересечение медиан и многоугольник

а)  Медианы точкой пересечения делятся в отношении $\frac{2}{1}$, считая от вершины. Так как по условию $A_2, B_2, C_2$  – середины отрезков MA, MB иMC, то $BB_2=B_2M=MB_1$, $AA_2=A_2M=MA_1$,$CC_2=C_2M=MC_1$. Тогда площади треугольников с такими основаниями равны при условии, что у них одна и та же высота:  $S_{C_1BB_2}=S_{C_1B_2M}$, $S_{C_1AA_2}=S_{C_1A_2M}$, $S_{B_1C_2C}=S_{ B _1 C _2M}$, и так далее. Таким образом, площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ вдвое меньше площади треугольника  ABC.

б) Так как $C_1B_2$  и $C_1A_2$ являются средними линиями треугольника ABM, то $C_1B_2MA_2$ – параллелограмм. Аналогично, $A_1B_2$  и $ A _1 C _2$ являются средними линиями треугольника BCM, и $A_1C_2MB_2$ – параллелограмм. Также  $A_2MC_2B _1$ – параллелограмм. Диагоналями этих параллелограммов являются отрезки медиан, равные их $\frac{1}{3}$. Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон: ${d_1}^2+{d_2}^2=2(a^2+b^2)$. Именно это свойство мы и применим. Но перед этим найдем  длины медиан треугольника ABC. Известна формула длины медианы треугольника через длины его сторон:

$${m_a}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$$

Пересечение медиан и многоугольник, параллелограммы

Тогда для нашего треугольника:

$${AA_1}^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}=$$

$$=\frac{2\cdot5^2+2\cdot10^2-8^2}{4}=\frac{186}{4}$$

$${BB_1}^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}=$$

$$=\frac{2\cdot5^2+2\cdot8^2-10^2}{4}=\frac{78}{4}$$

$${CC_1}^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=$$

$$=\frac{2\cdot8^2+2\cdot10^2-5^2}{4}=\frac{303}{4}$$

$$AA_1=\frac{\sqrt{186}}{2}$$

$$BB_1=\frac{\sqrt{78}}{2}$$

$$CC_1=\frac{\sqrt{303}}{2}$$

Диагонали указанных параллелограммов равны либо средним линиям треугольника ABC, либо $\frac{1}{3}$ медиан. Параллелограмм $C_1B_2MA_2$: $d_1=C_1M=\frac{1}{3} CC_1=\frac{\sqrt{303}}{6}$, $ d_2=A_2B_2=A_1B_1=\frac{1}{2} AB=2,5$.

Параллелограмм $ A_1C_2MB_2$: $d_1=A_1M=\frac{1}{3} AA_1=\frac{\sqrt{186}}{6}$,  $d_2= B_2 C_2= B_1C_1=\frac{1}{2} BC=4$.

Параллелограмм $A_2MC_2B_1$: $d_1=B_1M=\frac{1}{3} BB_1=\frac{\sqrt{78}}{6}$,  $d_2= A_2 C_2= A_1C_1=\frac{1}{2} AC=5$.

Определим теперь сумму квадратов сторон каждого из параллелограммов:

$${A_2C_1}^2+{C_1B_2}^2=\frac{{C_1M}^2+{A_2B_2}^2}{2}=\frac{\frac{303}{36}+6,25}{2}=7\frac{1}{3}$$

$${B_2A_1}^2+{A_1C_2}^2=\frac{{A_1M}^2+{ B_2 C_2}^2}{2}=\frac{\frac{186}{36}+16}{2}=10\frac{7}{12}$$

$${A_2B_1}^2+{ B_1C_2}^2=\frac{{B_1M}^2+{A_2C_2}^2}{2}=\frac{\frac{78}{36}+25}{2}=13\frac{7}{12}$$

Сумма квадратов сторон шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ равна:

$${A_2C_1}^2+{C_1B_2}^2+{B_2A_1}^2+{A_1C_2}^2+{A_2B_1}^2+{ B_1C_2}^2=7\frac{1}{3}+10\frac{7}{12}+13\frac{7}{12}=\frac{294}{12}=31,5$$

Ответ: 31,5