Задача 16 профиля с использованием формулы длины медианы

Задача 16 варианта №40 из книги “50 тренировочных вариантов. Профильный уровень. Под ред. Ященко И.В.”.

Медианы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки $A_2, B_2, C_2$ – середины отрезков MA, MB, MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=5, BC=8, AC=10.

Пересечение медиан и многоугольник

а) Медианы точкой пересечения делятся в отношении $\frac{2}{1}$ , считая от вершины. Так как по условию $A_2, B_2, C_2$ – середины отрезков MA, MB иMC, то $BB_2=B_2M=MB_1$ , $AA_2=A_2M=MA_1$ , $CC_2=C_2M=MC_1$ . Тогда площади треугольников с такими основаниями равны при условии, что у них одна и та же высота: $S_{C_1BB_2}=S_{C_1B_2M}$ , $S_{C_1AA_2}=S_{C_1A_2M}$ , $S_{B_1C_2C}=S_{ B _1 C _2M}$ , и так далее. Таким образом, площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Так как $C_1B_2$ и $C_1A_2$ являются средними линиями треугольника ABM, то $C_1B_2MA_2$ – параллелограмм. Аналогично, $A_1B_2$ и $A _1 C _2$ являются средними линиями треугольника BCM, и $A_1C_2MB_2$ – параллелограмм. Также $A_2MC_2B _1$ – параллелограмм. Диагоналями этих параллелограммов являются отрезки медиан, равные их $\frac{1}{3}$ . Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон: ${d_1}^2+{d_2}^2=2(a^2+b^2)$ . Именно это свойство мы и применим. Но перед этим найдем длины медиан треугольника ABC. Известна формула длины медианы треугольника через длины его сторон:

${m_a}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

Пересечение медиан и многоугольник, параллелограммы

Тогда для нашего треугольника:

${AA_1}^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}=$

$=\frac{2\cdot5^2+2\cdot10^2-8^2}{4}=\frac{186}{4}$

${BB_1}^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}=$

$=\frac{2\cdot5^2+2\cdot8^2-10^2}{4}=\frac{78}{4}$

${CC_1}^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=$

$=\frac{2\cdot8^2+2\cdot10^2-5^2}{4}=\frac{303}{4}$

$AA_1=\frac{\sqrt{186}}{2}$

$BB_1=\frac{\sqrt{78}}{2}$

$CC_1=\frac{\sqrt{303}}{2}$

Диагонали указанных параллелограммов равны либо средним линиям треугольника ABC, либо $\frac{1}{3}$ медиан. Параллелограмм $C_1B_2MA_2$ : $d_1=C_1M=\frac{1}{3} CC_1=\frac{\sqrt{303}}{6}$ , $d_2=A_2B_2=A_1B_1=\frac{1}{2} AB=2,5$ .