Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Задача 16 профиля с использованием формулы длины медианы

Задача 16 варианта №40 из книги “50 тренировочных вариантов. Профильный уровень. Под ред. Ященко И.В.”.

Медианы AA_1, BB_1, CC_1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A_2, B_2, C_2 – середины отрезков MA, MB, MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A_1B_2C_1A_2B_1C_2 вдвое меньше площади треугольника  ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=5, BC=8, AC=10.

Пересечение медиан и многоугольник

а)  Медианы точкой пересечения делятся в отношении \frac{2}{1}, считая от вершины. Так как по условию A_2, B_2, C_2  – середины отрезков MA, MB иMC, то BB_2=B_2M=MB_1, AA_2=A_2M=MA_1,CC_2=C_2M=MC_1. Тогда площади треугольников с такими основаниями равны при условии, что у них одна и та же высота:  S_{C_1BB_2}=S_{C_1B_2M}, S_{C_1AA_2}=S_{C_1A_2M}, S_{B_1C_2C}=S_{ B _1 C _2M}, и так далее. Таким образом, площадь шестиугольника A_1B_2C_1A_2B_1C_2 вдвое меньше площади треугольника  ABC.

б) Так как C_1B_2  и C_1A_2 являются средними линиями треугольника ABM, то C_1B_2MA_2 – параллелограмм. Аналогично, A_1B_2  и A _1 C _2 являются средними линиями треугольника BCM, и A_1C_2MB_2 – параллелограмм. Также  A_2MC_2B _1 – параллелограмм. Диагоналями этих параллелограммов являются отрезки медиан, равные их \frac{1}{3}. Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон: {d_1}^2+{d_2}^2=2(a^2+b^2). Именно это свойство мы и применим. Но перед этим найдем  длины медиан треугольника ABC. Известна формула длины медианы треугольника через длины его сторон:

    \[{m_a}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\]

Пересечение медиан и многоугольник, параллелограммы

Тогда для нашего треугольника:

    \[{AA_1}^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}=\]

    \[=\frac{2\cdot5^2+2\cdot10^2-8^2}{4}=\frac{186}{4}\]

    \[{BB_1}^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}=\]

    \[=\frac{2\cdot5^2+2\cdot8^2-10^2}{4}=\frac{78}{4}\]

    \[{CC_1}^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=\]

    \[=\frac{2\cdot8^2+2\cdot10^2-5^2}{4}=\frac{303}{4}\]

    \[AA_1=\frac{\sqrt{186}}{2}\]

    \[BB_1=\frac{\sqrt{78}}{2}\]

    \[CC_1=\frac{\sqrt{303}}{2}\]

Диагонали указанных параллелограммов равны либо средним линиям треугольника ABC, либо \frac{1}{3} медиан. Параллелограмм C_1B_2MA_2: d_1=C_1M=\frac{1}{3} CC_1=\frac{\sqrt{303}}{6}, d_2=A_2B_2=A_1B_1=\frac{1}{2} AB=2,5.

Параллелограмм A_1C_2MB_2: d_1=A_1M=\frac{1}{3} AA_1=\frac{\sqrt{186}}{6},  d_2= B_2 C_2= B_1C_1=\frac{1}{2} BC=4.

Параллелограмм A_2MC_2B_1: d_1=B_1M=\frac{1}{3} BB_1=\frac{\sqrt{78}}{6},  d_2= A_2 C_2= A_1C_1=\frac{1}{2} AC=5.

Определим теперь сумму квадратов сторон каждого из параллелограммов:

    \[{A_2C_1}^2+{C_1B_2}^2=\frac{{C_1M}^2+{A_2B_2}^2}{2}=\frac{\frac{303}{36}+6,25}{2}=7\frac{1}{3}\]

    \[{B_2A_1}^2+{A_1C_2}^2=\frac{{A_1M}^2+{ B_2 C_2}^2}{2}=\frac{\frac{186}{36}+16}{2}=10\frac{7}{12}\]

    \[{A_2B_1}^2+{ B_1C_2}^2=\frac{{B_1M}^2+{A_2C_2}^2}{2}=\frac{\frac{78}{36}+25}{2}=13\frac{7}{12}\]

Сумма квадратов сторон шестиугольника A_1B_2C_1A_2B_1C_2 равна:

    \[{A_2C_1}^2+{C_1B_2}^2+{B_2A_1}^2+{A_1C_2}^2+{A_2B_1}^2+{ B_1C_2}^2=7\frac{1}{3}+10\frac{7}{12}+13\frac{7}{12}=\frac{294}{12}=31,5\]

Ответ: 31,5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *