Простая физика
Категория:
...Задача 16 профиля с использованием формулы длины медианы
Задача 16 варианта №40 из книги "50 тренировочных вариантов. Профильный уровень. Под ред. Ященко И.В.".
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки
- середины отрезков MA, MB, MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=5, BC=8, AC=10.
Пересечение медиан и многоугольник
а) Медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Так как по условию
– середины отрезков MA, MB иMC, то
,
,
. Тогда площади треугольников с такими основаниями равны при условии, что у них одна и та же высота:
,
,
, и так далее. Таким образом, площадь шестиугольника
вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Так как и
являются средними линиями треугольника ABM, то
- параллелограмм. Аналогично,
и
являются средними линиями треугольника BCM, и
- параллелограмм. Также
- параллелограмм. Диагоналями этих параллелограммов являются отрезки медиан, равные их
. Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:
. Именно это свойство мы и применим. Но перед этим найдем длины медиан треугольника ABC. Известна формула длины медианы треугольника через длины его сторон:
Пересечение медиан и многоугольник, параллелограммы
Тогда для нашего треугольника:
Диагонали указанных параллелограммов равны либо средним линиям треугольника ABC, либо медиан. Параллелограмм
:
,
.
Параллелограмм :
,
.
Параллелограмм :
,
.
Определим теперь сумму квадратов сторон каждого из параллелограммов:
Сумма квадратов сторон шестиугольника равна:
Ответ: 31,5