Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

Задача 16 профильного ЕГЭ


Задача 1. В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

а) Центр окружности O лежит на биссектрисе угла . Аналогично, поскольку окружность вписана и в угол , то ее центр О лежит также на биссектрисе этого угла.

Окружность в параллелограмме

Так как AC – диагональ параллелограмма и является биссектрисой обоих углов, то она  разделит параллелограмм на  два равных и равнобедренных треугольника,   ABC и ADC. Равны они по третьему признаку, а равнобедренными являются, так как углы . Следовательно, все стороны параллелограмма ABCD равны, а значит, он – ромб.

б) Найдем площадь EFGH. Этот четырехугольник является прямоугольником, докажем это. По свойству касательных  и следовательно,  , . Также , . Так как диагонали ромба перпендикулярны, то и EFGH – прямоугольник.

Ход решения

Найдем его стороны и . Рассмотрим треугольник .

Его площадь равна . Обозначим , . Треугольник BFO является прямоугольным и подобен треугольнику BOC, так как имеет с ним общий острый угол. Из подобия следует, что

   

   

   

Тогда по теореме Пифагора

   

Найдем :

   

Площадь треугольника BFO равна:

   

Откуда

   

   

найдем по теореме Пифагора:

   

   

   

Теперь, зная стороны прямоугольника EFGH, найдем и его площадь:

   

Ответ:

 

Задача 2. На катетах AB и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC.Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что .

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Квадраты на сторонах треугольника

Решение:

а) Обозначим острые углы треугольника ABC и . Треугольник DCK равен треугольнику ABC по первому признаку, а значит, их углы равны. Так как точка М – середина гипотенузы, а значит, центр описанной окружности треугольника ABC, то как радиусы описанной окружности. Поэтому угол – треугольник CMB равнобедренный. Угол как вертикальный. Угол , так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , а угол – прямой. И, так как два угла треугольника равны и , то третий угол – – прямой, то есть .

б)

   

   

   

   

Треугольник подобен треугольнику . Из их подобия запишем:

   

   

   

Тогда

Ответ: 289

 

Задача 3. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC.Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  .

Квадраты на сторонах треугольника

Решение:

а) Обозначим угол . В треугольнике угол , потому что углы обоих квадратов равны , и если из вычесть эти , то .  Тогда по теореме косинусов для треугольника можем записать:

   

, поэтому

   

– медиана треугольника по условию. Длину медианы треугольника можно найти через длины его сторон по формуле:

   

В свою очередь длина стороны по теореме косинусов равна:

   

Тогда

   

   

Так как  , то

Таким образом, квадрат в четыре раза меньше квадрата , а значит, .

б) Определим сначала расстояние . Треугольник – прямоугольный по построению. Если удастся определить его катеты, то это позволит нам найти и гипотенузу также. Рассмотрим треугольник . – высота треугольника MAC, ее можно найти, зная площадь этого треугольника. Рассчитаем для этого площадь треугольника ABC по известной формуле:

   

   

Так как  .

Площади треугольников MAC и MCB равны, так как МС – медиана. Следовательно, площадь треугольника MAC равна 28. Отсюда легко найдем его высоту:

   

   

   

Тогда первый искомый катет треугольника   .

Второй катет , а – средняя линия треугольника ABC по построению, и равна 8. Тогда из прямоугольного треугольника находим:

   

   

Таким образом, расстояние от точки M до центра первого квадрата X равно:

   

   

Теперь найдем расстояние до центра второго квадрата MY.

Рассуждения все те же самые. Площадь треугольника MCB равна 28, основание – 16, отсюда его высота равна 3,5. , первый катет прямоугольного треугольника MLY .

Второй катет найдем из прямоугольного треугольника , в котором гипотенуза , так как является средней линией треугольника ABC по построению.

   

   

Тогда искомый катет равен:

По теореме Пифагора для треугольника MLY:

   

   

Ответ: 13

Задача 4. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=3:1. Найдите диагональ AC, если известно, что .

Окружность на стороне параллелограмма

Решение:

а) Так как мы знаем, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то треугольник AOD является прямоугольным, а следовательно, диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу, что означает, что он – ромб.

б) Зная, что ABCD – ромб и все его стороны одинаковы, найдем AM и MB.

   

   

   

 

Треугольник AMD – прямоугольный, поэтому

Тогда в  треугольнике MBD, также прямоугольном, найдем BD:

   

   

Половина диагонали:

   

Половинка АС равна (из треугольника AOD):

   

   

   

   

Ответ:

 

Задача 5. Точки и лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем . Прямые и пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника к площади треугольника ABC, если известно, что .

Отношение площадей

Решение:

а) Так как точки и делят стороны треугольника в одинаковых отношениях, то, каким бы ни было это отношение, прямая всегда будет параллельна BC, так как она отсекает от треугольника ABC подобные ему треугольники . Таким образом, – трапеция. По теореме о четырех точках трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон – а  у нас это точка – лежат на одной прямой. Таким образом, прямая поделит ровно пополам.

Равные треугольники

б) Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия , следовательно, его площадь будет составлять . Тогда площадь трапеции .  Поскольку в пять раз меньше, чем , то площадь треугольника в пять раз меньше, чем площадь треугольника : . Обозначим , тогда , .  Значит,

Рассмотрим треугольники и . Так как у них одинаковое основание – , и одинаковая высота (так как ), то их площади равны. В состав каждого из них входит треугольник , поэтому , . Площадь треугольника , подобного , можно найти из отношения:

Подобные треугольники

Тогда площадь трапеции

   

   

   

   

Площадь четырехугольника :

   

   

   

Ответ:

 

Задача 6. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки – середины отрезков MA, MB, MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника  ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Пересечение медиан и многоугольник

а)  Медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Так как по условию по условию – середины отрезков MA, MB иMC, то , ,. Тогда площадь треугольников с такими основаниями равны:  , , , и так далее. Таким образом, площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника  ABC.

б) Так как  и являются средними линиями треугольника ABM, то – параллелограмм. Аналогично,  и являются средними линиями треугольника BCM, и – параллелограмм. Также  – параллелограмм. Диагоналями этих параллелограммов являются отрезки медиан, равные их . Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон: . Именно это свойство мы и применим. Но перед этим найдем  длины медиан треугольника ABC. Известна формула длины медианы треугольника через длины его сторон:

   

Пересечение медиан и многоугольник, параллелограммы

Тогда для нашего треугольника:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Диагонали указанных параллелограммов равны либо средним линиям треугольника ABC, либо медиан. Параллелограмм : , .

Параллелограмм : ,  .

Параллелограмм : ,  .

Определим теперь сумму квадратов сторон каждого из параллелограммов:

   

   

   

Сумма квадратов сторон шестиугольника равна:

   

Ответ: 24,5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *