Задача 16 профильного досрочного ЕГЭ

Задача оказалась непростой, и все же вполне решаемой. Для ее решения потребовались знания 7 и 8 классов: свойства биссектрисы и соотношение вписанных и центральных углов.

Задача. Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника , точка – центр вписанной в него окружности. Точка – точка пересечения высот треугольника.  Известно, что .

а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника .

б) Найдите угол , если .

Решение:

Построим биссектрисы треугольника. Точка их пересечения – центр вписанной окружности треугольника . Построим саму вписанную окружность, покажем радиусы, проведенные в точку касания – .

Рисунок 1

Построим середины сторон треугольника и проведем серединные перпендикуляры. Их точка пересечения – центр описанной окружности . Основания серединных перпендикуляров я специально не обозначила, чтобы не загромождать рисунок. Радиусы описанной окружности  – .

Рисунок 2

Построим высоты треугольника – . Точка их пересечения – .

Рисунок 3

Теперь совместим на одном рисунке все три точки:

Рисунок 4

Отметим, что треугольник – равнобедренный, так как его сторонами являются радиусы описанной окружности. Обозначим углы этого треугольника за : .

Рисунок 5

Известно, что . Из рисунка видно, что угол является вписанным, и опирается на дугу описанной окружности. На ту же самую дугу опирается и центральный угол  – . Следовательно, угол .

Сумма углов треугольника равна , тогда запишем эту сумму:

Следовательно, угол , а .

Знание центрального угла дает нам возможность найти вписанный – угол :

Теперь посмотрим на биссектрисы. Обозначим углы , а углы  . Тогда для треугольника запишем:

Таким образом, в треугольнике угол .

Рисунок 6

Теперь посмотрим на высоты.

В прямоугольном треугольнике второй острый угол равен :

Рисунок 7

Аналогично, в прямоугольном треугольнике угол .

Рисунок 8

Сумма углов  и треугольника равна , сумма углов , поэтому на сумму углов и остается , то есть на угол приходится 120 градусов: .

Получается, что изо всех трех точек  – – отрезок виден под одним углом, а это значит, что все три точки лежат на одной окружности. Покажем ее:

Рисунок 9

Пункт а) – готов. Теперь займемся пунктом б). Если известно, что угол , то , а , .

Найдем угол :

Угол – искомый – является, как и угол , вписанным, и опирается на ту же дугу, поэтому равен углу :

Ответ: .