Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Задача 16 профильного досрочного ЕГЭ

Задача оказалась непростой, и все же вполне решаемой. Для ее решения потребовались знания 7 и 8 классов: свойства биссектрисы и соотношение вписанных и центральных углов.

Задача. Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, точка I – центр вписанной в него окружности. Точка H – точка пересечения высот треугольника.  Известно, что \angle BAC=\angle OBC +\angle OCB.

а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OHI, если \angle ABC=40^{\circ}.

Решение:

Построим биссектрисы треугольника. Точка их пересечения – центр вписанной окружности треугольника I. Построим саму вписанную окружность, покажем радиусы, проведенные в точку касания – IL, IM, IN.

Рисунок 1

Построим середины сторон треугольника и проведем серединные перпендикуляры. Их точка пересечения – центр описанной окружности O. Основания серединных перпендикуляров я специально не обозначила, чтобы не загромождать рисунок. Радиусы описанной окружности  – OA=OB= OC.

Рисунок 2

Построим высоты треугольника – AG, BK, CZ. Точка их пересечения – H.

Рисунок 3

Теперь совместим на одном рисунке все три точки:

Рисунок 4

Отметим, что треугольник OCB – равнобедренный, так как его сторонами являются радиусы описанной окружности. Обозначим углы этого треугольника за x: \angle OBC=\angle OCB=x.

Рисунок 5

Известно, что \angle BAC=\angle OBC +\angle OCB. Из рисунка видно, что угол \angle BAC является вписанным, и опирается на дугу CB описанной окружности. На ту же самую дугу опирается и центральный угол  – \angle COB. Следовательно, угол \angle COB=2\angle BAC=2(\angle OBC +\angle OCB)=2\cdot 2x=4x.

Сумма углов треугольника COB равна 180^{\circ}, тогда запишем эту сумму:

    \[x+x+4x=180^{\circ}\]

    \[6x=180^{\circ}\]

    \[x=30^{\circ}\]

Следовательно, угол \angle COB=120^{\circ}, а \angle OBC=\angle OCB=30^{\circ}.

Знание центрального угла дает нам возможность найти вписанный – угол \angle BAC:

    \[\angle BAC=\frac{1}{2} \angle COB=60^{\circ}\]

Теперь посмотрим на биссектрисы. Обозначим углы \angle ABI=\angle IBC=y, а углы  \angle AСI=\angle ICB=z. Тогда для треугольника ABC запишем:

    \[2y+2z+\angle CAB=180^{\circ}\]

    \[2y+2z+60^{\circ}=180^{\circ}\]

    \[y+z=60^{\circ}\]

Таким образом, в треугольнике CIB угол \angle CIB=120^{\circ}.

Рисунок 6

Теперь посмотрим на высоты.

В прямоугольном треугольнике BAK второй острый угол равен 30^{\circ}:

    \[\angle ABK=30^{\circ}\]

Рисунок 7

Аналогично, в прямоугольном треугольнике CAZ угол \angle ACZ=30^{\circ}.

Рисунок 8

Сумма углов  C и B треугольника ABC равна 120^{\circ}, сумма углов \angle ABK +\angle ACZ=60^{\circ}, поэтому на сумму углов \angle HCG и \angle HBG остается 60^{\circ}, то есть на угол CHB приходится 120 градусов: \angle CHB=120^{\circ}.

Получается, что изо всех трех точек  – O, I, H – отрезок CB виден под одним углом, а это значит, что все три точки лежат на одной окружности. Покажем ее:

Рисунок 9

Пункт а) – готов. Теперь займемся пунктом б). Если известно, что угол \angle ABC=40^{\circ}, то \angle ABI=\angle IBC=y=20^{\circ}, а \angle AСI=\angle ICB=z=\frac{120^{\circ}-40^{\circ}}{2}=40^{\circ}, \angle OBC=\angle OCB=x=30^{\circ}.

Найдем угол ICO:

    \[\angle ICO =\angle HCB -\angle ICB=10^{\circ}\]

Угол OHI – искомый – является, как и угол \angle ICO, вписанным, и опирается на ту же дугу, поэтому равен углу \angle ICO:

    \[\angle OHI =\angle ICO=10^{\circ}\]

Ответ: 10^{\circ}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *