Задача 11.190 из задачника "3800 задач"

Задача 11.190 из задачника “3800 задач”

Всем добрый день. Интересная задача из задачника Турчиной и др. «3800 задач».

Задача. Шарик массой $m=10^{-4}$ кг, заряд которого $q=10^{-8}$ Кл, подвешен на нити длиной $l=0,03$ м. Над точкой подвеса на расстоянии $h=0,04$ м от нее помещен заряд $q_0=2\cdot 10^{-8}$ Кл. Шарик отклоняют от положения равновесия на угол $\alpha=60^{\circ}$ и отпускают. Найти скорость шарика и силу натяжения нити при прохождении шариком положения равновесия.

Рисунок к задаче

Решение. Запишем второй закон Ньютона в точке положения равновесия:

$ma_n=T-mg-F_q$

Нормальное ускорение:

$a_n=\frac{\upsilon^2}{l}$

Сила Кулона:

$F_q=\frac{kqq_0}{(l+h)^2}$

Подставим в первое уравнение:

$\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg-\frac{kqq_0}{(l+h)^2}$

Теперь запишем закон сохранения энергии: в верхней точке шарик обладает потенциальной энергией и энергией взаимодействия с зарядом $q_0$ , пусть эта энергия $W_1$ . В положении равновесия шарик имеет кинетическую энергию и энергию взаимодействия с зарядом $q_0$ – $W_2$ . Тогда

$mgh+W_1=\frac{\upsilon^2}{2}+W_2$

Высота $h$ , на которую поднимали шарик, равна

$h=l-l\cos \alpha$

Пусть заряды вначале находились на расстоянии $r_0$ (когда шарик отклонили), а затем на расстоянии $r_1=l+h$ – когда шарик проходит положение равновесия. Тогда энергия взаимодействия с зарядом $q_0$ вначале