Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон Кулона

Задача 11.190 из задачника “3800 задач”

Всем добрый день. Интересная задача из задачника Турчиной и др. «3800 задач».

Задача. Шарик массой m=10^{-4} кг, заряд которого q=10^{-8} Кл, подвешен на нити длиной l=0,03 м. Над точкой подвеса на расстоянии h=0,04 м от нее помещен заряд q_0=2\cdot 10^{-8} Кл. Шарик отклоняют от положения равновесия на угол \alpha=60^{\circ} и отпускают. Найти скорость шарика и силу натяжения нити при прохождении шариком положения равновесия.

Рисунок к задаче

Решение. Запишем второй закон Ньютона в точке положения равновесия:

    \[ma_n=T-mg-F_q\]

Нормальное ускорение:

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{l}\]

Сила Кулона:

    \[F_q=\frac{kqq_0}{(l+h)^2}\]

Подставим в первое уравнение:

    \[\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg-\frac{kqq_0}{(l+h)^2}\]

Теперь запишем закон сохранения энергии: в верхней точке шарик обладает потенциальной энергией и энергией взаимодействия с зарядом q_0, пусть эта энергия W_1. В положении равновесия шарик имеет кинетическую энергию и энергию взаимодействия с зарядом q_0W_2. Тогда

    \[mgh+W_1=\frac{\upsilon^2}{2}+W_2\]

Высота h, на которую поднимали шарик, равна

    \[h=l-l\cos \alpha\]

Пусть заряды вначале находились на расстоянии r_0 (когда шарик отклонили), а затем на расстоянии r_1=l+h – когда шарик проходит положение равновесия. Тогда энергия взаимодействия с зарядом q_0 вначале

    \[W_1=\frac{kqq_0}{r_0}\]

А в положении равновесия

    \[W_2=\frac{kqq_0}{r_1}\]

Закон сохранения энергии перепишем:

    \[m\upsilon^2=2mgh+2(W_1-W_2)\]

    \[m\upsilon^2=2mgh+2 kqq_0 \left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right)\]

Определим r_0 по теореме косинусов:

    \[r_0=\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}\]

Тогда

    \[m\upsilon^2=2mgl(1-\cos \alpha)+2 kqq_0 \left(\frac{1}{\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}-\frac{1}{l+h}\right)\]

    \[\upsilon^2=2gl(1-\cos \alpha)+\frac{2 kqq_0}{m} \left(\frac{1}{\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}-\frac{1}{l+h}\right)\]

    \[\upsilon^2=2gl(1-\cos \alpha)+\frac{2 kqq_0}{m}\cdot \frac{l+h-\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}{(l+h)\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}\]

    \[\upsilon=\sqrt{2gl(1-\cos \alpha)+\frac{2 kqq_0}{m}\cdot \frac{l+h-\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}{(l+h)\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}\]

Это ответ на первый вопрос. Подсчет дает \upsilon=0,61 м/с.

Силу натяжения нити посчитаем из уравнения по второму закону Ньютона:

    \[T= mg+\frac{kqq_0}{(l+h)^2}+\frac{m\upsilon^2}{l}\]

Подстановка данных дает T=2,6 мН.

Ответ: \upsilon=0,61 м/с, T=2,6 мН.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *