Задача 11.190 из задачника “3800 задач”

[latexpage]

Всем добрый день. Интересная задача из задачника Турчиной и др. «3800 задач».

Задача. Шарик массой $m=10^{-4}$ кг, заряд которого $q=10^{-8}$ Кл, подвешен на нити длиной $l=0,03$ м. Над точкой подвеса на расстоянии $h=0,04$ м от нее помещен заряд $q_0=2\cdot 10^{-8}$ Кл. Шарик отклоняют от положения равновесия на угол $\alpha=60^{\circ}$ и отпускают. Найти скорость шарика и силу натяжения нити при прохождении шариком положения равновесия.

Рисунок к задаче

Решение. Запишем второй закон Ньютона в точке положения равновесия:

$$ma_n=T-mg-F_q$$

Нормальное ускорение:

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{l}$$

Сила Кулона:

$$ F_q=\frac{kqq_0}{(l+h)^2}$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg-\frac{kqq_0}{(l+h)^2}$$

Теперь запишем закон сохранения энергии: в верхней точке шарик обладает потенциальной энергией и энергией взаимодействия с зарядом $q_0$, пусть эта энергия $W_1$. В положении равновесия шарик имеет кинетическую энергию и энергию взаимодействия с зарядом $q_0$ – $W_2$. Тогда

$$mgh+W_1=\frac{m\upsilon^2}{2}+W_2$$

Высота $h$, на которую поднимали шарик, равна

$$h=l-l\cos \alpha$$

Пусть заряды вначале находились на расстоянии $r_0$ (когда шарик отклонили), а затем на расстоянии $r_1=l+h$ – когда шарик проходит положение равновесия. Тогда энергия взаимодействия с зарядом $q_0$ вначале

$$W_1=\frac{kqq_0}{r_0}$$

А в положении равновесия

$$W_2=\frac{kqq_0}{r_1}$$

Закон сохранения энергии перепишем:

$$ m\upsilon^2=2mgh+2(W_1-W_2)$$

$$ m\upsilon^2=2mgh+2 kqq_0 \left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right)$$

Определим $r_0$ по теореме косинусов:

$$r_0=\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}$$

Тогда

$$ m\upsilon^2=2mgl(1-\cos \alpha)+2 kqq_0 \left(\frac{1}{\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}-\frac{1}{l+h}\right)$$

$$ \upsilon^2=2gl(1-\cos \alpha)+\frac{2 kqq_0}{m} \left(\frac{1}{\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}-\frac{1}{l+h}\right)$$

$$ \upsilon^2=2gl(1-\cos \alpha)+\frac{2 kqq_0}{m}\cdot \frac{l+h-\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}{(l+h)\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}$$

$$ \upsilon=\sqrt{2gl(1-\cos \alpha)+\frac{2 kqq_0}{m}\cdot \frac{l+h-\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}{(l+h)\sqrt{h^2+l^2+2lh\cos \alpha}}$$

Это ответ на первый вопрос. Подсчет дает $ \upsilon=0,61$ м/с.

Силу натяжения нити посчитаем из уравнения по второму закону Ньютона:

$$T= mg+\frac{kqq_0}{(l+h)^2}+\frac{m\upsilon^2}{l}$$

Подстановка данных дает $T=2,6$ мН.

Ответ: $ \upsilon=0,61$ м/с, $T=2,6$ мН.