Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Нестандартные задачи, Стереометрия (13(С2))

Хитрая задача про параллелепипед

Задача, в которой про параллелепипед известно не очень много, и которая, тем не менее, решается двумя способами.

 

Задача. Имеется прямоугольный параллелепипед, про который известно, что

    \[3AB+4BC+10AA_1=500\]

И что диагональ параллелепипеда равна BD_1=20\sqrt{5}. Найти объем параллелепипеда.

Решение. Первый способ.

Пусть ребра параллелепипеда a,b,c. Тогда

    \[3a+4b+10c=500\]

И

    \[a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2\]

То есть

    \[a^2+b^2+c^2=2000=500\cdot 4\]

Еще раз преобразуем:

    \[\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=500\]

Или

    \[\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=3a+4b+10c\]

    \[a^2+b^2+c^2=12a+16b+20c\]

    \[a^2-12a+36+b^2-16b+64+c^2-20c+400=500\]

    \[(a-6)^2+(b-8)^2+(c-10)^2=500\]

Получается, что

    \[\begin{Bmatrix}{a-6=\frac{a}{2}}\\{ b-8=\frac{b}{2}}\\{c-10=\frac{c}{2}}\end{matrix}\]

Откуда a=12; b=16; c=40, и

    \[V=abc=7680\]

Ответ: 7680.

Другой способ:

Уравнение

    \[a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2\]

Представляет собой уравнение сферы.

А уравнение

    \[3a+4b+10c-500=0\]

Представляет собой уравнение плоскости \alpha. Нормаль к этой плоскости будет иметь координаты n(3; 4; 10).

Расстояние от центра сферы, имеющего координаты (0; 0; 0) до плоскости:

    \[\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{500}{20\sqrt{5}}=5\sqrt{5}\]

Получили расстояние, равное радиусу сферы – то есть сфера и плоскость касаются. А это значит, что нормаль к плоскости (перпендикуляр к ней) и радиус, проведенный в точку касания, коллинеарны. А это можно записать так:

    \[\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{10}=k\]

Где (a; b; c) – координаты вектора, совпадающего с радиусом сферы, проведенным в точку касания.

    \[a=3k\]

    \[b=4k\]

    \[c=10k\]

    \[3a+4b+10c=9k+16k+100k=500\]

    \[125k=500\]

    \[k=\frac{500}{125}=4\]

Тогда a=12; b=16; c=40, и

    \[V=abc=7680\]

Ответ: 7680.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *