Хитрая задача про параллелепипед

[latexpage]

Задача, в которой про параллелепипед известно не очень много, и которая, тем не менее, решается двумя способами.

Задача. Имеется прямоугольный параллелепипед, про который известно, что

$$3AB+4BC+10AA_1=500$$

И что диагональ параллелепипеда равна $BD_1=20\sqrt{5}$. Найти объем параллелепипеда.

Решение. Первый способ.

Пусть ребра параллелепипеда $a,b,c$. Тогда

$$3a+4b+10c=500$$

И

$$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$$

То есть

$$a^2+b^2+c^2=2000=500\cdot 4$$

Еще раз преобразуем:

$$\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=500$$

Или

$$\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=3a+4b+10c$$

$$a^2+b^2+c^2=12a+16b+20c$$

$$a^2-12a+36+b^2-16b+64+c^2-20c+400=500$$

$$(a-6)^2+(b-8)^2+(c-10)^2=500$$

Получается, что

$$\begin{Bmatrix}{a-6=\frac{a}{2}}\\{ b-8=\frac{b}{2}}\\{c-10=\frac{c}{2}}\end{matrix}$$

Откуда $a=12; b=16; c=40$, и

$$V=abc=7680$$

Ответ: 7680.

Другой способ:

Уравнение

$$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$$

Представляет собой уравнение сферы.

А уравнение

$$3a+4b+10c-500=0$$

Представляет собой уравнение плоскости $\alpha$. Нормаль к этой плоскости будет иметь координаты $n(3; 4; 10)$.

Расстояние от центра сферы, имеющего координаты $(0; 0; 0)$ до плоскости:

$$\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{500}{20\sqrt{5}}=5\sqrt{5}$$

Получили расстояние, равное радиусу сферы – то есть сфера и плоскость касаются. А это значит, что нормаль к плоскости (перпендикуляр к ней) и радиус, проведенный в точку касания, коллинеарны. А это можно записать так:

$$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{10}=k$$

Где $(a; b; c)$ – координаты вектора, совпадающего с радиусом сферы, проведенным в точку касания.

$$a=3k$$

$$b=4k$$

$$c=10k$$

$$3a+4b+10c=9k+16k+100k=500$$

$$125k=500$$

$$k=\frac{500}{125}=4$$

Тогда $a=12; b=16; c=40$, и

$$V=abc=7680$$

Ответ: 7680.