Хитрая задача про параллелепипед

Задача, в которой про параллелепипед известно не очень много, и которая, тем не менее, решается двумя способами.

Задача. Имеется прямоугольный параллелепипед, про который известно, что

$3AB+4BC+10AA_1=500$

И что диагональ параллелепипеда равна $BD_1=20\sqrt{5}$ . Найти объем параллелепипеда.

Решение. Первый способ.

Пусть ребра параллелепипеда $a,b,c$ . Тогда

$3a+4b+10c=500$

$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$

То есть

$a^2+b^2+c^2=2000=500\cdot 4$

Еще раз преобразуем:

$\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=500$

Или

$\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=3a+4b+10c$

$a^2+b^2+c^2=12a+16b+20c$

$a^2-12a+36+b^2-16b+64+c^2-20c+400=500$

$(a-6)^2+(b-8)^2+(c-10)^2=500$

Получается, что

$\begin{Bmatrix}{a-6=\frac{a}{2}}\\{ b-8=\frac{b}{2}}\\{c-10=\frac{c}{2}}\end{matrix}$

Откуда $a=12; b=16; c=40$ , и

$V=abc=7680$

Ответ: 7680.

Другой способ:

Уравнение

$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$

Представляет собой уравнение сферы.

А уравнение

$3a+4b+10c-500=0$

Представляет собой уравнение плоскости $\alpha$ . Нормаль к этой плоскости будет иметь координаты $n(3; 4; 10)$ .

Расстояние от центра сферы, имеющего координаты $(0; 0; 0)$ до плоскости:

$\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{500}{20\sqrt{5}}=5\sqrt{5}$

Получили расстояние, равное радиусу сферы – то есть сфера и плоскость касаются. А это значит, что нормаль к плоскости (перпендикуляр к ней) и радиус, проведенный в точку касания, коллинеарны. А это можно записать так:

$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{10}=k$