Хитрая экономическая задача

[latexpage]

Попалась задача на просторах интернета, понравилась. Решила предложить ее решение. Задача экономическая, с небольшим подвохом. Источник задачи мне, к сожалению, неизвестен, и условия я немного изменила, чтобы цифры были “хорошими”.

Задача. 15 января 2019 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину $a$ меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Кроме этого каждый год в декабре выплачивается два дополнительных платежа, то есть долг становится меньше на $3a$.

Известно, что в январе 2023 года долг будет полностью погашен.

Также известно, что всего было выплачено 10 млн. 213 тыс. рублей, а процент переплат составил $\frac{759}{700}$.

Определите, а) какая сумма была взята в кредит, и б) под какой процент $r$.

Решение.

Если процент переплат $\frac{759}{700}$, то сумма 10 млн. 213 тыс. рублей составляет $\frac{1459}{700}$ от суммы, взятой в кредит. Следовательно, сумма кредита составила

$$S=\frac{10213000}{1459}\cdot700=4900000$$

Ответ на пункт а) – 4900 тыс.

Теперь определим, под какой процент брали эту сумму. Для этого надо составить таблицу. Платить будем 5 лет, то есть 60 месяцев, значит, выплатим $60a$, да еще декабрьские дополнительные выплаты составят $10a$ – то есть всего долг будет выплачен 70-ю долями, следовательно, $a=70$ тыс. Тогда таблица будет иметь вид:

Если нужно определить, сколько всего было уплачено банку, то нужно сложить все, что попало в третий столбец «платеж». Но можно сложить то, что содержится во втором столбце – это будет сумма переплат, равная 10 млн.213 тыс.-4 млн. 900 тыс., то есть 5 млн. 313 тыс. Делаем!

Сложим отдельно слагаемые $\frac{Sr}{100}$ и слагаемые, содержащие $a$.

$$S\frac{r}{100}\cdot 12\cdot 5-\frac{r}{100}(a+2a+3a+\ldots+10a+13a+14a+$$

$$+\ldots+24a+27a+28a+\ldots +38a+41a+42a+\ldots+52a+55a+\ldots+66a+69a)=5313000$$

Видим, что в скобках – арифметическая прогрессия, но в ней не хватает некоторых членов, а именно $11a, 12a,25a,26a,39a,40a,53a,54a,67a,68a$. Поэтому найдем сумму прогрессии, а недостающие члены вычтем:

$$S\frac{r}{100}\cdot 60-\frac{r}{100}\cdot(\frac{a+69a}{2}\cdot59-(11a+12a+25a+26a+39a+40a+53a+54a+67a+68a))=5313000$$

$$2940000r-\frac{r}{100}\cdot1670\cdot70000=5313000$$

$$2940r-1169r=5313000$$

$$1771r=5313000$$

$$r=3$$

Ответ: а) 4900 тыс, б) 3%.