Хитрая экономическая задача

Попалась задача на просторах интернета, понравилась. Решила предложить ее решение. Задача экономическая, с небольшим подвохом. Источник задачи мне, к сожалению, неизвестен, и условия я немного изменила, чтобы цифры были “хорошими”.

Задача. 15 января 2019 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Кроме этого каждый год в декабре выплачивается два дополнительных платежа, то есть долг становится меньше на .

Известно, что в январе 2023 года долг будет полностью погашен.

Также известно, что всего было выплачено 10 млн. 213 тыс. рублей, а процент переплат составил .

Определите, а) какая сумма была взята в кредит, и б) под какой процент .

Решение.

Если процент переплат , то сумма 10 млн. 213 тыс. рублей составляет от суммы, взятой в кредит. Следовательно, сумма кредита составила

Ответ на пункт а) – 4900 тыс.

Теперь определим, под какой процент брали эту сумму. Для этого надо составить таблицу. Платить будем 5 лет, то есть 60 месяцев, значит, выплатим , да еще декабрьские дополнительные выплаты составят – то есть всего долг будет выплачен 70-ю долями, следовательно, тыс. Тогда таблица будет иметь вид:

Если нужно определить, сколько всего было уплачено банку, то нужно сложить все, что попало в третий столбец «платеж». Но можно сложить то, что содержится во втором столбце – это будет сумма переплат, равная 10 млн.213 тыс.-4 млн. 900 тыс., то есть 5 млн. 313 тыс. Делаем!

Сложим отдельно слагаемые и слагаемые, содержащие .

Видим, что в скобках – арифметическая прогрессия, но в ней не хватает некоторых членов, а именно . Поэтому найдем сумму прогрессии, а недостающие члены вычтем:

Ответ: а) 4900 тыс, б) 3%.