Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Хитрая экономическая задача

Попалась задача на просторах интернета, понравилась. Решила предложить ее решение. Задача экономическая, с небольшим подвохом. Источник задачи мне, к сожалению, неизвестен, и условия я немного изменила, чтобы цифры были “хорошими”.

Задача. 15 января 2019 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r \% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину a меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Кроме этого каждый год в декабре выплачивается два дополнительных платежа, то есть долг становится меньше на 3a.

Известно, что в январе 2023 года долг будет полностью погашен.

Также известно, что всего было выплачено 10 млн. 213 тыс. рублей, а процент переплат составил \frac{759}{700}.

Определите, а) какая сумма была взята в кредит, и б) под какой процент r.

Решение.

Если процент переплат \frac{759}{700}, то сумма 10 млн. 213 тыс. рублей составляет \frac{1459}{700} от суммы, взятой в кредит. Следовательно, сумма кредита составила

    \[S=\frac{10213000}{1459}\cdot700=4900000\]

Ответ на пункт а) – 4900 тыс.

Теперь определим, под какой процент брали эту сумму. Для этого надо составить таблицу. Платить будем 5 лет, то есть 60 месяцев, значит, выплатим 60a, да еще декабрьские дополнительные выплаты составят 10a – то есть всего долг будет выплачен 70-ю долями, следовательно, a=70 тыс. Тогда таблица будет иметь вид:

МесяцДолгПроцентПлатеж
Февраль 2019SS*r/100S*r/100+a
Март 2019S-a(S-a)*r/100(S-a)*r/100+a
Апрель 2019S-2a(S-2a)*r/100(S-2a)*r/100+a
............
Ноябрь 2019S-9a(S-9a)*r/100(S-9a)*r/100+a
Декабрь 2019S-10a(S-10a)*r/100(S-10a)*r/100+3a
Январь 2020S-13a(S-13a)*r/100(S-13a)*r/100+a
Февраль 2020S-14a(S-14a)*r/100(S-14a)*r/100+a
............
Декабрь 2020S-24a(S-24a)*r/100(S-24a)*r/100+3a
Январь 2021S-27a(S-27a)*r/100(S-27a)*r/100+a
............
Декабрь 2021S-38a(S-38a)*r/100(S-38a)*r/100+3a
Январь 2022S-41a(S-41a)*r/100(S-41a)*r/100+a
............
Декабрь 2022S-52a(S-52a)*r/100(S-52a)*r/100+3a
Январь 2023S-55a(S-55a)*r/100(S-55a)*r/100+a
............
Декабрь 2023S-66a(S-66a)*r/100(S-66a)*r/100+3a
Январь 2024S-69a(S-69a)*r/100(S-69a)*r/100+a
Февраль 2024S-70a=0

Если нужно определить, сколько всего было уплачено банку, то нужно сложить все, что попало в третий столбец «платеж». Но можно сложить то, что содержится во втором столбце – это будет сумма переплат, равная 10 млн.213 тыс.-4 млн. 900 тыс., то есть 5 млн. 313 тыс. Делаем!

Сложим отдельно слагаемые \frac{Sr}{100} и слагаемые, содержащие a.

    \[S\frac{r}{100}\cdot 12\cdot 5-\frac{r}{100}(a+2a+3a+\ldots+10a+13a+14a+\]

    \[+\ldots+24a+27a+28a+\ldots +38a+41a+42a+\ldots+52a+55a+\ldots+66a+69a)=5313000\]

Видим, что в скобках – арифметическая прогрессия, но в ней не хватает некоторых членов, а именно 11a, 12a,25a,26a,39a,40a,53a,54a,67a,68a. Поэтому найдем сумму прогрессии, а недостающие члены вычтем:

    \[S\frac{r}{100}\cdot 60-\frac{r}{100}\cdot(\frac{a+69a}{2}\cdot59-(11a+12a+25a+26a+39a+40a+53a+54a+67a+68a))=5313000\]

    \[2940000r-\frac{r}{100}\cdot1670\cdot70000=5313000\]

    \[2940r-1169r=5313000\]

    \[1771r=5313000\]

    \[r=3\]

Ответ: а) 4900 тыс, б) 3%.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *