Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Взрыв сферы

В этой задаче потребуются знания не только формул равноускоренного движения, но и очень хорошие геометрические (стереометрические) знания, а кроме того, и знание тригонометрии.

Задача. На поверхности земли на множество осколков разорвалась небольшая сфера массой m=1 кг. Осколки разлетелись во все стороны с одинаковыми по модулю скоростями \upsilon=10 м/с. Какова масса осколков, упавших на поверхность земли вне круга радиуса R=5 м с центром в точке взрыва?

Очевидно, что не вылетят за границу круга только те осколки, скорость которых направлена почти вверх, или под очень небольшим углом к вертикали. То есть осколки из определенного объема верхнего сектора останутся в границе круга:

Рисунок

Поэтому нужно найти объем данного сектора, и тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы равно:

    \[\frac{m_{vyl}}{m}=\frac{m-m_s}{m}=\frac{V-V_s}{V}\]

Здесь m_s – масса осколков сектора, V_s – объем сектора, V – объем сферы:

    \[V=\frac{4 \pi R^3}{3}\]

    \[V_s=\frac{2 \pi R^2 h}{3}\]

Тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы:

    \[\frac{m_{vyl}}{m}=\frac{V-V_s}{V}=1-\frac{V_s}{V}=1-\frac{\frac{2 \pi R^2 h}{3}}{\frac{4 \pi R^3}{3}}=1-\frac{h}{2R}\]

Осталось найти высоту h  –  и дело в шляпе.

    \[\frac{h}{R}=\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos{\alpha}\]

Осталось разобраться с углом. Каким должен быть угол \alpha, чтобы осколки, вылетевшие под данным углом, упали бы на границу круга? В высшей точке полета вертикальная составляющая скорости равна 0:

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha}-gt=0\]

    \[t=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}\]

Дальность полета определяется горизонтальной составляющей скорости:

    \[L=\upsilon_0 \cos{\alpha}\cdot 2t\]

    \[L=\frac{2\upsilon_0^2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{g}\]

    \[L=\frac{\upsilon_0^2\sin{2\alpha}}{g}\]

Определим  \sin{2\alpha}:

    \[\sin{2\alpha}=\frac{Lg}{\upsilon_0^2}=\frac{10 \cdot 5}{10^2}=\frac{1}{2}\]

Здесь нужно быть внимательными: очень хочется сразу заявить, что 2\alpha=30^{\circ}. Но угол 2\alpha – тупой! Поэтому 2\alpha=120^{\circ} и \alpha=60^{\circ}.

Определяем отношение масс:

    \[\frac{m_{vyl}}{m}=1-\frac{h}{2R}=1-\frac{\cos{\alpha}}{2}=1-\frac{1}{4}=0,75\]

Ответ: масса вылетевших осколков равна 0,75m

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *