Взрыв сферы

В этой задаче потребуются знания не только формул равноускоренного движения, но и очень хорошие геометрические (стереометрические) знания, а кроме того, и знание тригонометрии.

Задача. На поверхности земли на множество осколков разорвалась небольшая сфера массой кг. Осколки разлетелись во все стороны с одинаковыми по модулю скоростями м/с. Какова масса осколков, упавших на поверхность земли вне круга радиуса м с центром в точке взрыва?

Очевидно, что не вылетят за границу круга только те осколки, скорость которых направлена почти вверх, или под очень небольшим углом к вертикали. То есть осколки из определенного объема верхнего сектора останутся в границе круга:

Рисунок

Поэтому нужно найти объем данного сектора, и тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы равно:

Здесь – масса осколков сектора, – объем сектора, – объем сферы:

Тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы:

Осталось найти высоту   –  и дело в шляпе.

Осталось разобраться с углом. Каким должен быть угол , чтобы осколки, вылетевшие под данным углом, упали бы на границу круга? В высшей точке полета вертикальная составляющая скорости равна 0:

Дальность полета определяется горизонтальной составляющей скорости:

Определим  :

Здесь нужно быть внимательными: очень хочется сразу заявить, что . Но угол – тупой! Поэтому и .

Определяем отношение масс:

Ответ: масса вылетевших осколков равна