Взрыв сферы

В этой задаче потребуются знания не только формул равноускоренного движения, но и очень хорошие геометрические (стереометрические) знания, а кроме того, и знание тригонометрии.

Задача. На поверхности земли на множество осколков разорвалась небольшая сфера массой $m=1$ кг. Осколки разлетелись во все стороны с одинаковыми по модулю скоростями $\upsilon=10$ м/с. Какова масса осколков, упавших на поверхность земли вне круга радиуса $R=5$ м с центром в точке взрыва?

Очевидно, что не вылетят за границу круга только те осколки, скорость которых направлена почти вверх, или под очень небольшим углом к вертикали. То есть осколки из определенного объема верхнего сектора останутся в границе круга:

Рисунок

Поэтому нужно найти объем данного сектора, и тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы равно:

$\frac{m_{vyl}}{m}=\frac{m-m_s}{m}=\frac{V-V_s}{V}$

Здесь $m_s$ – масса осколков сектора, $V_s$ – объем сектора, $V$ – объем сферы:

$V=\frac{4 \pi R^3}{3}$

$V_s=\frac{2 \pi R^2 h}{3}$

Тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы:

$\frac{m_{vyl}}{m}=\frac{V-V_s}{V}=1-\frac{V_s}{V}=1-\frac{\frac{2 \pi R^2 h}{3}}{\frac{4 \pi R^3}{3}}=1-\frac{h}{2R}$

Осталось найти высоту $h$ – и дело в шляпе.

$\frac{h}{R}=\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos{\alpha}$

Осталось разобраться с углом. Каким должен быть угол $\alpha$ , чтобы осколки, вылетевшие под данным углом, упали бы на границу круга? В высшей точке полета вертикальная составляющая скорости равна 0:

$\upsilon_0 \sin{\alpha}-gt=0$

$t=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$

Дальность полета определяется горизонтальной составляющей скорости:

$L=\upsilon_0 \cos{\alpha}\cdot 2t$

$L=\frac{2\upsilon_0^2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{g}$

$L=\frac{\upsilon_0^2\sin{2\alpha}}{g}$

Определим $\sin{2\alpha}$ :

$\sin{2\alpha}=\frac{Lg}{\upsilon_0^2}=\frac{10 \cdot 5}{10^2}=\frac{1}{2}$

Здесь нужно быть внимательными: очень хочется сразу заявить, что $2\alpha=30^{\circ}$ . Но угол $2\alpha$ – тупой! Поэтому $2\alpha=120^{\circ}$ и $\alpha=60^{\circ}$ .