Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс, Уравнения (13 (С1))

Вывод формул тригонометрии

Всем понятно, что на экзамене чувствуешь себя иначе, чем в обычной жизни. Без волнения никак. Нервы сдают даже у самых стойких. Поэтому сдавать экзамен нужно учиться: не засиживаться на одной задаче, лучше потом к ней еще раз вернуться; искать разные подходы – не подошел один, подойдет другой; и уметь выходить из сложный ситуаций: вывести формулу, если забыл ее. Сегодня мы выведем все формулы тригонометрии, основываясь на двух: синусе суммы/разности и косинусе суммы/разности. Как известно, они есть в КИМе.

Формула синуса суммы/разности:

    \[\sin (\alpha\pm\beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\]

Формула косинуса суммы/разности:

    \[\cos (\alpha\pm\beta)= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]

 

Задача 1. Получим синус двойного угла:

    \[\sin (\alpha+\alpha)=\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\]

(но эта формула тоже есть в КИМе)

Задача 2. Получим косинус двойного угла:

    \[\cos (\alpha+\alpha)= \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha =\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha\]

Задача 3. Получим синус тройного угла:

    \[\sin (2\alpha+\alpha)=\sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha=2\sin \alpha \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha\sin \alpha -\sin^3 \alpha=\]

    \[=3\sin \alpha \cos^2 \alpha -\sin^3 \alpha =3\sin \alpha (1-\sin^2 \alpha) -\sin^3 \alpha =3\sin \alpha -4\sin^3 \alpha\]

Задача 4. Получим косинус тройного угла:

    \[\cos (2\alpha+\alpha)= \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha =\cos^3 \alpha-\sin^2 \alpha \cos \alpha-2\sin^2 \alpha\cos \alpha=\]

    \[=\cos^3 \alpha-3\sin^2 \alpha \cos \alpha =\cos^3 \alpha-3(1-\cos^2 \alpha) \cos \alpha =4\cos^3 \alpha -3\cos \alpha\]

Задача 5. Получим тангенс тройного угла:

    \[\operatorname {tg}{3\alpha}=\frac{\sin (3\alpha) }{\cos (3\alpha) }=\frac{3\sin \alpha -4\sin^3 \alpha }{4\cos^3 \alpha -3\cos \alpha }=\frac{3\sin \alpha \cos^2 \alpha -\sin^3 \alpha }{\cos^3 \alpha-3\sin^2 \alpha \cos \alpha }=\frac{\frac{3\sin \alpha \cos^2 \alpha -\sin^3 \alpha }{\cos^3 \alpha }}{\frac{\cos^3 \alpha-3\sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha } }=\]

    \[=\frac{\frac{3\sin \alpha}{ \cos \alpha} -\frac{\sin^3 \alpha }{\cos^3 \alpha }}{\frac{\cos^3 \alpha}{\cos^3 \alpha }-\frac{3\sin^2 \alpha }{\cos^2 \alpha } }=\frac{3\operatorname {tg}{\alpha}-\operatorname {tg^3}{\alpha}}{1-3\operatorname {tg^2}{\alpha}}\]

Задача 6. Получим синус половинного угла:

    \[\cos\left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

    \[2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)= 1-\cos(\alpha)\]

    \[\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)= \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}\]

Задача 7. Получим косинус половинного угла:

    \[\cos\left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-1\]

    \[2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)= 1+\cos\left(\alpha)\]

    \[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)= \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}\]

Задача 8. Выведем формулы суммы и разности синусов и косинусов.

Для этого представим углы \alpha и \beta в виде:

    \[\alpha=\frac{\alpha +\beta }{2}+\frac{\alpha -\beta }{2}\]

    \[\beta=\frac{\alpha +\beta }{2}-\frac{\alpha -\beta }{2}\]

Тогда

    \[\sin \alpha+\sin \beta=\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}+\frac{\alpha -\beta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}-\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\]

    \[\sin \alpha+\sin \beta=\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}+ \cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}+\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}- \cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=\]

    \[=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}\]

    \[\cos \alpha+\cos \beta=\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}+\frac{\alpha -\beta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}-\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\]

    \[\cos \alpha+\cos \beta=\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}- \sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}+\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}+ \sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=\]

    \[=2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}\]

Аналогично выводятся формулы разности синусов и разности косинусов.

Задача 9. Получим формулу тангенса суммы:

    \[\operatorname {tg}{\alpha+\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta }=\]

    \[=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta } }=\]

    \[=\frac{\operatorname {tg}{\alpha} + \operatorname {tg}{\beta }}{1 - \operatorname {tg}\alpha \operatorname {tg}\beta}\]

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *