Рассмотрим еще несколько задач на определение высоты звезд на небесной сфере. Небесной сферой мы называем представление о небе как о пустом глобусе с нашей планетой в центре и небесными объектами на его внутренней поверхности. Оно пришло к нам из древности и остается удобным. Когда мы смотрим на звезды, можно вообразить, что мы находимся внутри такого глобуса, внутри небесной сферы. Высота звезды – угловое расстояние, отсчитываемое от истинного (математического) горизонта до звезды по небесному меридиану, или вертикалу.
Задача 1. Определить высоту полюса мира и наклонение небесного экватора к истинному горизонту на земном экваторе, на северном тропике (), на северном полярном круге (
) и на северном географическом полюсе.
Если мы находимся на экваторе, то для нас полюс расположен под углом , то есть его высота –
, а наклонение небесного экватора, совпадающего с земным, –
.
На северном тропике () полюс будет иметь наклонение
, а наклонение небесного экватора тогда равно
. На северном полярном круге (
) полюс будет иметь наклонение
, а наклонение небесного экватора тогда равно
. На северном географическом полюсе наклонение небесного экватора, совпадающего с земным, –
, а наклонение полюса
.
Задача 2. Склонение звезды Мицара ( Большой Медведицы) равно
. На каком зенитном расстоянии и на какой высоте она бывает в верхней кульминации в Пулково (
) и Душанбе (
)?
В Пулково , следовательно,
Зенитное расстояние равно
Теперь проведем расчет для Душанбе: .
Зенитное расстояние равно
Задача 3. На каком наименьшем зенитном расстоянии и наибольшей высоте бывают в Евпатории () и Мурманске (
) звезды Алиот (
Большой Медведицы) и Антарес (
Скорпиона), склонение которых соответственно равно
и
?
Для Мурманска: , следовательно,
Зенитное расстояние равно
, следовательно,
Зенитное расстояние равно
Для Евпатории: , следовательно,
Зенитное расстояние равно
, следовательно,
Зенитное расстояние равно
Ответ: Мурманск, Алиот: ,
; Мурманск, Антарес:
,
(невидима); Евпатория, Алиот:
,
; Евпатория, Антарес:
,
.
Задача 4. В некотором месте наблюдения звезда со склонением поднимается над точкой юга на высоту в
. Найти зенитное расстояние и высоту этой звезды в том же месте при азимуте, равном 180°.
Нас просят найти, по сути, высоту звезды в нижней кульминации. Высота дана над точкой юга, значит, :
Для нижней кульминации
Зенитное расстояние равно
Ответ: ,
.
Задача 5. Решить задачу для той же звезды при условии ее наименьшего зенитного расстояния к северу от зенита.
Если зенитное расстояние , следовательно, высота равна
Тогда, так как мы к северу от зенита, то и
Следовательно, речь идет о нижней кульминации.
Ее зенитное расстояние
Ответ: ,
.
Задача 6. Какое склонение должны иметь звезды, чтобы в верхней кульминации проходить в зените, а в нижней кульминации — в надире, точке севера и точке юга места наблюдения? Чему равна географическая широта этих мест?
Чтобы звезда имела кульминации в зените и надире (это точка прямо под зенитом, «нижний зенит»), звезды должны иметь склонение, равное, во-первых, широте места, во-вторых, равное нулю (лежат на небесном экваторе):

Рисунок 1
Как видно из следующего рисунка, чтобы нижняя кульминация произошла в точке севера, высота полюса мира должна быть равна , а склонение будет таким же (из условия совпадения зенита и точки верхней кульминации). Соответственно, для того, чтобы нижняя кульминация была бы в точке юга, широта места должна быть равна
, и таково же склонение звезды.

Рисунок 2
Задача 7. Вычислить зенитное расстояние и высоту в верхней и нижней кульминации звезды Лебедя (имеющей склонение
) на земном экваторе, на северном и южном тропике (
), на географической широте (
), на северном и южном полярных кругах (
) и географических полюсах.
Пусть в верхней кульминации высота светила , а в нижней –
. Зенитное расстояние в верхней кульминации
, в нижней –
.
Сначала рассмотрим первую картинку – экватор.

Рисунок 3
При этом высота полюса – . Звезда в верхней кульминации находится на высоте (
):
Нижняя кульминация:
Далее, северный тропик – тропик Рака.

Рисунок 4
Высота полюса – . Тогда (
):
Нижняя кульминация:
Южный тропик – тропик Козерога.

Рисунок 5
Высота полюса – . Тогда (
):
Нижняя кульминация:
На географической широте ситуация очень похожа на тропик Рака, поэтому рисунок тот же, а расчет другой:
Высота полюса – . Тогда (
):
Итак, звезда в зените.
Нижняя кульминация:
На географической широте ситуация очень похожа на тропик Козерога, поэтому отдельный рисунок я не делала:
Высота полюса – . Тогда (
):
Нижняя кульминация:
Логично, если на широте звезда была в верхней кульминации в зените, то на широте
она должна быть в надире в своей нижней кульминации.
На широте : высота полюса –
.

Рисунок 6
Тогда ():
Нижняя кульминация:
На широте : высота полюса –
.

Рисунок 7
Тогда ():
Нижняя кульминация происходит над точкой юга, поэтому:
На северном полюсе ,
.

Рисунок 8
Звезда в обеих кульминациях находится на одинаковой высоте (), то есть можно сказать, что звезда не кульминирует:
На южном полюсе ,
, тоже совпадают высоты кульминаций:
Комментариев - 4
спасибо автору за интересные задачи и подробный комментарий к ним
За задачи спасибо М.М. Дагаеву, они – из его задачника по астрономии. На сайте он выложен в библиотеке, пользуйтесь.
А есть решения остальных задач Дагаева ?
Какие-то есть. В разных статьях.