Высота светил: еще несколько задач

Рассмотрим еще несколько задач на определение высоты звезд на небесной сфере. Небесной сферой мы называем представление о небе как о пустом глобусе с нашей планетой в центре и небесными объектами на его внутренней поверхности. Оно пришло к нам из древности и остается удобным. Когда мы смотрим на звезды, можно вообразить, что мы находимся внутри такого глобуса, внутри небесной сферы. Высота звезды – угловое расстояние, отсчитываемое от истинного (математического) горизонта до звезды по небесному меридиану, или вертикалу.

Задача 1. Определить высоту полюса мира и наклонение небесного экватора к истинному горизонту на земном экваторе, на северном тропике ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ), на северном полярном круге ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) и на северном географическом полюсе.

Если мы находимся на экваторе, то для нас полюс расположен под углом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то есть его высота – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а наклонение небесного экватора, совпадающего с земным, – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

На северном тропике ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) полюс будет иметь наклонение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а наклонение небесного экватора тогда равно $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . На северном полярном круге ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) полюс будет иметь наклонение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а наклонение небесного экватора тогда равно $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . На северном географическом полюсе наклонение небесного экватора, совпадающего с земным, – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а наклонение полюса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 2. Склонение звезды Мицара ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ Большой Медведицы) равно $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . На каком зенитном расстоянии и на какой высоте она бывает в верхней кульминации в Пулково ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) и Душанбе ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ )?

В Пулково $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , следовательно,

Зенитное расстояние равно

Теперь проведем расчет для Душанбе: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Зенитное расстояние равно

Задача 3. На каком наименьшем зенитном расстоянии и наибольшей высоте бывают в Евпатории ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) и Мурманске ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) звезды Алиот ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ Большой Медведицы) и Антарес ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ Скорпиона), склонение которых соответственно равно $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

Для Мурманска: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , следовательно,

Зенитное расстояние равно

$Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , следовательно,

Зенитное расстояние равно

Для Евпатории: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , следовательно,

Зенитное расстояние равно

$Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , следовательно,

Зенитное расстояние равно

Ответ: Мурманск, Алиот: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ; Мурманск, Антарес: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ (невидима); Евпатория, Алиот: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ; Евпатория, Антарес: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 4. В некотором месте наблюдения звезда со склонением $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ поднимается над точкой юга на высоту в $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найти зенитное расстояние и высоту этой звезды в том же месте при азимуте, равном 180°.

Нас просят найти, по сути, высоту звезды в нижней кульминации. Высота дана над точкой юга, значит, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Для нижней кульминации

Зенитное расстояние равно

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 5. Решить задачу для той же звезды при условии ее наименьшего зенитного расстояния $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ к северу от зенита.

Если зенитное расстояние $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , следовательно, высота равна

Тогда, так как мы к северу от зенита, то $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и

Следовательно, речь идет о нижней кульминации.

Ее зенитное расстояние

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 6. Какое склонение должны иметь звезды, чтобы в верхней кульминации проходить в зените, а в нижней кульминации — в надире, точке севера и точке юга места наблюдения? Чему равна географическая широта этих мест?

Чтобы звезда имела кульминации в зените и надире (это точка прямо под зенитом, «нижний зенит»), звезды должны иметь склонение, равное, во-первых, широте места, во-вторых, равное нулю (лежат на небесном экваторе):

Рисунок 1

Как видно из следующего рисунка, чтобы нижняя кульминация произошла в точке севера, высота полюса мира должна быть равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а склонение будет таким же (из условия совпадения зенита и точки верхней кульминации). Соответственно, для того, чтобы нижняя кульминация была бы в точке юга, широта места должна быть равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , и таково же склонение звезды.

Рисунок 2

Задача 7. Вычислить зенитное расстояние и высоту в верхней и нижней кульминации звезды $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ Лебедя (имеющей склонение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) на земном экваторе, на северном и южном тропике ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ), на географической широте ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ), на северном и южном полярных кругах ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) и географических полюсах.

Пусть в верхней кульминации высота светила $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а в нижней – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Зенитное расстояние в верхней кульминации $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , в нижней – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Сначала рассмотрим первую картинку – экватор.

Рисунок 3

При этом высота полюса – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Звезда в верхней кульминации находится на высоте ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ):

Нижняя кульминация:

Далее, северный тропик – тропик Рака.

Рисунок 4

Высота полюса – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ):

Нижняя кульминация:

Южный тропик – тропик Козерога.

Рисунок 5

Высота полюса – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ):

Нижняя кульминация:

На географической широте $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ситуация очень похожа на тропик Рака, поэтому рисунок тот же, а расчет другой:

Высота полюса – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ):

Итак, звезда в зените.

Нижняя кульминация:

На географической широте $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ситуация очень похожа на тропик Козерога, поэтому отдельный рисунок я не делала:

Высота полюса – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ):

Нижняя кульминация:

Логично, если на широте $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ звезда была в верхней кульминации в зените, то на широте $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ она должна быть в надире в своей нижней кульминации.