Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Высота светил: еще несколько задач

Рассмотрим еще несколько задач на определение высоты звезд на небесной сфере. Небесной сферой мы называем представление о небе как о пустом глобусе с нашей планетой в центре и небесными объектами на его внутренней поверхности. Оно пришло к нам из древности и остается удобным. Когда мы смотрим на звезды, можно вообразить, что мы находимся внутри такого глобуса, внутри небесной сферы. Высота звезды – угловое расстояние, отсчитываемое от истинного (математического) горизонта до звезды по небесному меридиану, или вертикалу.

 

Задача 1. Определить высоту полюса мира и наклонение небесного экватора к истинному горизонту на земном экваторе, на северном тропике (\varphi=+23^{\circ}27'), на северном полярном круге (\varphi = +66^{\circ}33') и на северном географическом полюсе.

Если мы находимся на экваторе, то для нас полюс расположен под углом 90^{\circ}, то есть его высота – 0^{\circ}, а наклонение небесного экватора, совпадающего с земным,  – 90^{\circ}.

На северном тропике (\varphi=+23^{\circ}27') полюс  будет иметь наклонение +23^{\circ}27', а наклонение небесного экватора тогда равно 66^{\circ}33'. На северном полярном круге (\varphi = +66^{\circ}33') полюс  будет иметь наклонение 66^{\circ}33', а наклонение небесного экватора тогда равно +23^{\circ}27'. На северном географическом полюсе наклонение небесного экватора, совпадающего с земным,  – 0^{\circ}, а наклонение полюса 90^{\circ}.

Задача 2. Склонение звезды Мицара (\zeta Большой Медведицы) равно \delta=+55^{\circ}11'. На каком зенитном расстоянии и на какой высоте она бывает в верхней кульминации в Пулково (\varphi_1 =+59^{\circ}46') и Душанбе (\varphi _2 =+38^{\circ}33')?

В Пулково \varphi_1>\delta, следовательно,

    \[h_1=90^{\circ}+\delta-\varphi_1=90^{\circ}+55^{\circ}11'-59^{\circ}46'=85^{\circ}25'\]

Зенитное расстояние равно

    \[z_1=90^{\circ}-h_1=4^{\circ}35'\]

Теперь проведем расчет для Душанбе: \delta > \varphi_2.

    \[h_2=90^{\circ}-\delta+\varphi_2=90^{\circ}-55^{\circ}11'+38^{\circ}33'=73^{\circ}22'\]

Зенитное расстояние равно

    \[z_2=90^{\circ}-h_2=16^{\circ}38'\]

 

Задача 3. На каком наименьшем зенитном расстоянии и наибольшей высоте бывают в Евпатории (\varphi_1 = +45^{\circ}12') и Мурманске (\varphi_2 =+68^{\circ}59') звезды Алиот (\varepsilon Большой Медведицы) и Антарес (\alpha Скорпиона), склонение которых соответственно равно \delta_1=+56^{\circ}14' и \delta_2=-26^{\circ}19'?

Для Мурманска: \varphi_2>\delta_1, следовательно,

    \[h_1=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_1 =90^{\circ}-68^{\circ}59'+56^{\circ}14'=77^{\circ}15'\]

Зенитное расстояние равно

    \[z_1=90^{\circ}-h_1=12^{\circ}45'\]

\varphi_2>\delta_2, следовательно,

    \[h_2=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_2 =90^{\circ}-68^{\circ}59'-26^{\circ}19'=-5^{\circ}18'\]

Зенитное расстояние равно

    \[z_2=90^{\circ}-h_2=95^{\circ}18'\]

Для Евпатории: \varphi_1<\delta_1, следовательно,

    \[h_3=90^{\circ} +\varphi_2-\delta_1 =90^{\circ}+45^{\circ}12'-56^{\circ}14'=78^{\circ}58'\]

Зенитное расстояние равно

    \[z_3=90^{\circ}-h_3=11^{\circ}02'\]

\varphi_1>\delta_2, следовательно,

    \[h_4=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_2 =90^{\circ}-45^{\circ}12'-26^{\circ}19'=18^{\circ}29'\]

Зенитное расстояние равно

    \[z_4=90^{\circ}-h_4=71^{\circ}31'\]

Ответ: Мурманск, Алиот: h_1=77^{\circ}15', z_1=12^{\circ}45'; Мурманск, Антарес: h_2=-5^{\circ}18', z_2=95^{\circ}18' (невидима); Евпатория, Алиот: h_3=78^{\circ}58', z_3=11^{\circ}02'; Евпатория, Антарес: h_4=18^{\circ}29', z_4=71^{\circ}31'.

Задача 4. В некотором месте наблюдения звезда со склонением +32^{\circ}19' поднимается над точкой юга на высоту в 63^{\circ}42'. Найти зенитное расстояние и высоту этой звезды в том же месте при азимуте, равном 180°.

Нас просят найти, по сути, высоту звезды в нижней кульминации. Высота дана над точкой юга, значит, \delta<\varphi:

    \[h=90^{\circ}+\delta-\varphi\]

    \[63^{\circ}42'=90^{\circ}+32^{\circ}19'-\varphi\]

    \[\varphi =58^{\circ}37'\]

Для нижней кульминации

    \[h=\delta-(90^{\circ}-\varphi)= 32^{\circ}19'-(90^{\circ}-58^{\circ}37')= 0^{\circ}56'\]

Зенитное расстояние равно

    \[z=90^{\circ}-h=89^{\circ}04'\]

Ответ: h=0^{\circ}56',z=89^{\circ}04'.

 

Задача 5. Решить задачу для той же звезды при условии ее наименьшего зенитного расстояния 63^{\circ}42' к северу от зенита.

Если зенитное расстояние 63^{\circ}42', следовательно, высота равна

    \[h=90^{\circ}-z=26^{\circ}18'\]

Тогда, так как мы к северу от зенита, то \varphi<\delta и

    \[h=90^{\circ}-\delta +\varphi\]

    \[26^{\circ}18'=90^{\circ}-32^{\circ}19'+\varphi\]

    \[\varphi=-31^{\circ}23'\]

Следовательно, речь идет о нижней кульминации.

    \[h=\delta-(90^{\circ}-\varphi)= 32^{\circ}19'-(90^{\circ}-(-31^{\circ}23'))=-89^{\circ}04'\]

Ее зенитное расстояние

    \[z=90^{\circ}-h=179^{\circ}04'\]

Ответ: h=-89^{\circ}04', z=179^{\circ}04'.

Задача 6. Какое склонение должны иметь звезды, чтобы в верхней кульминации проходить в зените, а в нижней кульминации — в надире, точке севера и точке юга места наблюдения? Чему равна географическая широта этих мест?

Чтобы звезда имела кульминации в зените и надире (это точка прямо под зенитом, «нижний зенит»), звезды должны иметь склонение, равное, во-первых, широте места, во-вторых, равное нулю (лежат на небесном экваторе):

    \[\delta=\varphi=0^{\circ}\]

Рисунок 1

Как видно из следующего рисунка, чтобы нижняя кульминация произошла в точке севера, высота полюса мира должна быть равна 45^{\circ}, а склонение будет таким же (из условия совпадения зенита и точки верхней кульминации). Соответственно, для того, чтобы нижняя кульминация была бы в точке юга, широта места должна быть равна -45^{\circ}, и таково же склонение звезды.

Рисунок 2

Задача 7. Вычислить зенитное расстояние и  высоту в верхней и нижней кульминации звезды \beta Лебедя (имеющей склонение +27^{\circ}51') на земном экваторе, на северном и южном тропике (\varphi=±23^{\circ}27'), на географической широте (\varphi=±27^{\circ}51'), на северном и южном полярных кругах (\varphi=±66^{\circ}33') и географических полюсах.

Пусть в верхней кульминации высота светила h, а в нижней – h'. Зенитное расстояние в верхней кульминации z, в нижней – z'.

Сначала рассмотрим первую картинку – экватор.

Рисунок 3

При этом высота полюса – \varphi =0^{\circ}. Звезда в верхней кульминации находится на высоте (\varphi<\delta):

    \[h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'+0=62^{\circ}09'\]

    \[z=90^{\circ}-h=90^{\circ}-62^{\circ}09'=27^{\circ}51'\]

Нижняя кульминация:

    \[h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}-0)=-62^{\circ}09'\]

    \[z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-62^{\circ}09')=152^{\circ} 09'\]

Далее, северный тропик – тропик Рака.

Рисунок 4

Высота полюса – \varphi =+23^{\circ}27'. Тогда (\varphi<\delta):

    \[h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'+23^{\circ}27'=85^{\circ}36'\]

    \[z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-85^{\circ}36'=4^{\circ}24'\]

Нижняя кульминация:

    \[h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}-23^{\circ}27')=-38^{\circ}42'\]

    \[z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-38^{\circ}42')=128^{\circ} 42'\]

Южный тропик – тропик Козерога.

Рисунок 5

Высота полюса – \varphi =-23^{\circ}27'. Тогда (\varphi<\delta):

    \[h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'-23^{\circ}27'=38^{\circ}42'\]

    \[z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-38^{\circ}42'=51^{\circ}18'\]

Нижняя кульминация:

    \[h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}+23^{\circ}27')=-85^{\circ}36'\]

    \[z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-85^{\circ}36')=175^{\circ} 36'\]

На географической широте \varphi=+27^{\circ}51' ситуация очень похожа на тропик Рака, поэтому рисунок тот же, а расчет другой:

Высота полюса – \varphi =+27^{\circ}51'. Тогда (\varphi=\delta):

    \[h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'+27^{\circ}51'=90^{\circ}\]

Итак, звезда в зените.

    \[z=90^{\circ}-h =0^{\circ}\]

Нижняя кульминация:

    \[h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}-27^{\circ}51')=-34^{\circ}18'\]

    \[z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-34^{\circ}18')=124^{\circ} 18'\]

На географической широте \varphi=-27^{\circ}51' ситуация очень похожа на тропик Козерога, поэтому отдельный рисунок я не делала:

Высота полюса – \varphi =-27^{\circ}51'. Тогда (\varphi<\delta):

    \[h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'-27^{\circ}51'=34^{\circ}18'\]

    \[z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-34^{\circ}18'=55^{\circ}42'\]

Нижняя кульминация:

    \[h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}+27^{\circ}51')=-90^{\circ}\]

    \[z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-90^{\circ})=180^{\circ}\]

Логично, если на широте \varphi=27^{\circ}51' звезда была в верхней кульминации в зените, то на широте \varphi=-27^{\circ}51' она должна быть в надире в своей нижней кульминации.

На широте \varphi=66^{\circ}33': высота полюса – \varphi =+66^{\circ}66'.

Рисунок 6

Тогда (\varphi>\delta):

    \[h=90^{\circ}+\delta -\varphi=90^{\circ}+27^{\circ}51'-66^{\circ}33'=51^{\circ}18'\]

    \[z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-51^{\circ}18'=38^{\circ}42'\]

Нижняя кульминация:

    \[h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}-66^{\circ}33')= 4^{\circ}24'\]

    \[z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-4^{\circ}24')=85^{\circ} 36'\]

На широте \varphi=-66^{\circ}33': высота полюса – \varphi =-66^{\circ}66'.

Рисунок 7

Тогда (\varphi<\delta):

    \[h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'-66^{\circ}33'=-4^{\circ}24'\]

    \[z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-4^{\circ}24')=94^{\circ}24'\]

Нижняя кульминация происходит над точкой юга, поэтому:

    \[h'=\delta +90^{\circ}+ \varphi= 90^{\circ}+27^{\circ}51'-66^{\circ}33'=-51^{\circ}18'\]

    \[z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-51^{\circ}18')=141^{\circ} 18'\]

На северном полюсе \varphi=90^{\circ}, \varphi>\delta.

Рисунок 8

Звезда в обеих кульминациях находится на одинаковой высоте (\varphi<\delta), то есть можно сказать, что звезда не кульминирует:

    \[h=h'=90^{\circ}+\delta -\varphi=90^{\circ}+27^{\circ}51'-90^{\circ}=27^{\circ}51'\]

    \[z=z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-27^{\circ}51'=62^{\circ}09'\]

На южном полюсе \varphi=-90^{\circ}, \varphi<\delta, тоже совпадают высоты кульминаций:

    \[h=h'=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'-90^{\circ}=-27^{\circ}51'\]

    \[z=z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-27^{\circ}51')=117^{\circ}51'\]

Комментариев - 4

  • Л.А.
    |

    спасибо автору за интересные задачи и подробный комментарий к ним

    Ответить
    • Анна
      |

      За задачи спасибо М.М. Дагаеву, они – из его задачника по астрономии. На сайте он выложен в библиотеке, пользуйтесь.

      Ответить
  • Shine
    |

    А есть решения остальных задач Дагаева ?

    Ответить
    • Анна
      |

      Какие-то есть. В разных статьях.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *