Высота светил: еще несколько задач

Рассмотрим еще несколько задач на определение высоты звезд на небесной сфере. Небесной сферой мы называем представление о небе как о пустом глобусе с нашей планетой в центре и небесными объектами на его внутренней поверхности. Оно пришло к нам из древности и остается удобным. Когда мы смотрим на звезды, можно вообразить, что мы находимся внутри такого глобуса, внутри небесной сферы. Высота звезды – угловое расстояние, отсчитываемое от истинного (математического) горизонта до звезды по небесному меридиану, или вертикалу.

Задача 1. Определить высоту полюса мира и наклонение небесного экватора к истинному горизонту на земном экваторе, на северном тропике ( $\varphi=+23^{\circ}27'$ ), на северном полярном круге ( $\varphi = +66^{\circ}33'$ ) и на северном географическом полюсе.

Если мы находимся на экваторе, то для нас полюс расположен под углом $90^{\circ}$ , то есть его высота – $0^{\circ}$ , а наклонение небесного экватора, совпадающего с земным, – $90^{\circ}$ .

На северном тропике ( $\varphi=+23^{\circ}27'$ ) полюс будет иметь наклонение $+23^{\circ}27'$ , а наклонение небесного экватора тогда равно $66^{\circ}33'$ . На северном полярном круге ( $\varphi = +66^{\circ}33'$ ) полюс будет иметь наклонение $66^{\circ}33'$ , а наклонение небесного экватора тогда равно $+23^{\circ}27'$ . На северном географическом полюсе наклонение небесного экватора, совпадающего с земным, – $0^{\circ}$ , а наклонение полюса $90^{\circ}$ .

Задача 2. Склонение звезды Мицара ( $\zeta$ Большой Медведицы) равно $\delta=+55^{\circ}11'$ . На каком зенитном расстоянии и на какой высоте она бывает в верхней кульминации в Пулково ( $\varphi_1 =+59^{\circ}46'$ ) и Душанбе ( $\varphi _2 =+38^{\circ}33'$ )?

В Пулково $\varphi_1>\delta$ , следовательно,

$h_1=90^{\circ}+\delta-\varphi_1=90^{\circ}+55^{\circ}11'-59^{\circ}46'=85^{\circ}25'$

Зенитное расстояние равно

$z_1=90^{\circ}-h_1=4^{\circ}35'$

Теперь проведем расчет для Душанбе: $\delta > \varphi_2$ .

$h_2=90^{\circ}-\delta+\varphi_2=90^{\circ}-55^{\circ}11'+38^{\circ}33'=73^{\circ}22'$

Зенитное расстояние равно

$z_2=90^{\circ}-h_2=16^{\circ}38'$

Задача 3. На каком наименьшем зенитном расстоянии и наибольшей высоте бывают в Евпатории ( $\varphi_1 = +45^{\circ}12'$ ) и Мурманске ( $\varphi_2 =+68^{\circ}59'$ ) звезды Алиот ( $\varepsilon$ Большой Медведицы) и Антарес ( $\alpha$ Скорпиона), склонение которых соответственно равно $\delta_1=+56^{\circ}14'$ и $\delta_2=-26^{\circ}19'$ ?

Для Мурманска: $\varphi_2>\delta_1$ , следовательно,

$h_1=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_1 =90^{\circ}-68^{\circ}59'+56^{\circ}14'=77^{\circ}15'$

Зенитное расстояние равно

$z_1=90^{\circ}-h_1=12^{\circ}45'$

$\varphi_2>\delta_2$ , следовательно,

$h_2=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_2 =90^{\circ}-68^{\circ}59'-26^{\circ}19'=-5^{\circ}18'$

Зенитное расстояние равно

$z_2=90^{\circ}-h_2=95^{\circ}18'$

Для Евпатории: $\varphi_1<\delta_1$ , следовательно,

$h_3=90^{\circ} +\varphi_2-\delta_1 =90^{\circ}+45^{\circ}12'-56^{\circ}14'=78^{\circ}58'$

Зенитное расстояние равно

$z_3=90^{\circ}-h_3=11^{\circ}02'$

$\varphi_1>\delta_2$ , следовательно,

$h_4=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_2 =90^{\circ}-45^{\circ}12'-26^{\circ}19'=18^{\circ}29'$

Зенитное расстояние равно

$z_4=90^{\circ}-h_4=71^{\circ}31'$

Ответ: Мурманск, Алиот: $h_1=77^{\circ}15'$ , $z_1=12^{\circ}45'$ ; Мурманск, Антарес: $h_2=-5^{\circ}18'$ , $z_2=95^{\circ}18'$ (невидима); Евпатория, Алиот: $h_3=78^{\circ}58'$ , $z_3=11^{\circ}02'$ ; Евпатория, Антарес: $h_4=18^{\circ}29'$ , $z_4=71^{\circ}31'$ .

Задача 4. В некотором месте наблюдения звезда со склонением $+32^{\circ}19'$ поднимается над точкой юга на высоту в $63^{\circ}42'$ . Найти зенитное расстояние и высоту этой звезды в том же месте при азимуте, равном 180°.

Нас просят найти, по сути, высоту звезды в нижней кульминации. Высота дана над точкой юга, значит, $\delta<\varphi$ :

$h=90^{\circ}+\delta-\varphi$

$63^{\circ}42'=90^{\circ}+32^{\circ}19'-\varphi$

$\varphi =58^{\circ}37'$

Для нижней кульминации

$h=\delta-(90^{\circ}-\varphi)= 32^{\circ}19'-(90^{\circ}-58^{\circ}37')= 0^{\circ}56'$

Зенитное расстояние равно

$z=90^{\circ}-h=89^{\circ}04'$

Ответ: $h=0^{\circ}56'$ , $z=89^{\circ}04'$ .

Задача 5. Решить задачу для той же звезды при условии ее наименьшего зенитного расстояния $63^{\circ}42'$ к северу от зенита.

Если зенитное расстояние $63^{\circ}42'$ , следовательно, высота равна

$h=90^{\circ}-z=26^{\circ}18'$

Тогда, так как мы к северу от зенита, то $\varphi<\delta$ и

$h=90^{\circ}-\delta +\varphi$

$26^{\circ}18'=90^{\circ}-32^{\circ}19'+\varphi$

$\varphi=-31^{\circ}23'$

Следовательно, речь идет о нижней кульминации.

$h=\delta-(90^{\circ}-\varphi)= 32^{\circ}19'-(90^{\circ}-(-31^{\circ}23'))=-89^{\circ}04'$

Ее зенитное расстояние

$z=90^{\circ}-h=179^{\circ}04'$

Ответ: $h=-89^{\circ}04'$ , $z=179^{\circ}04'$ .

Задача 6. Какое склонение должны иметь звезды, чтобы в верхней кульминации проходить в зените, а в нижней кульминации — в надире, точке севера и точке юга места наблюдения? Чему равна географическая широта этих мест?

Чтобы звезда имела кульминации в зените и надире (это точка прямо под зенитом, «нижний зенит»), звезды должны иметь склонение, равное, во-первых, широте места, во-вторых, равное нулю (лежат на небесном экваторе):

$\delta=\varphi=0^{\circ}$

Рисунок 1

Как видно из следующего рисунка, чтобы нижняя кульминация произошла в точке севера, высота полюса мира должна быть равна $45^{\circ}$ , а склонение будет таким же (из условия совпадения зенита и точки верхней кульминации). Соответственно, для того, чтобы нижняя кульминация была бы в точке юга, широта места должна быть равна $-45^{\circ}$ , и таково же склонение звезды.

Рисунок 2

Задача 7. Вычислить зенитное расстояние и высоту в верхней и нижней кульминации звезды $\beta$ Лебедя (имеющей склонение $+27^{\circ}51'$ ) на земном экваторе, на северном и южном тропике ( $\varphi=±23^{\circ}27'$ ), на географической широте ( $\varphi=±27^{\circ}51'$ ), на северном и южном полярных кругах ( $\varphi=±66^{\circ}33'$ ) и географических полюсах.

Пусть в верхней кульминации высота светила $h$ , а в нижней – $h'$ . Зенитное расстояние в верхней кульминации $z$ , в нижней – $z'$ .

Сначала рассмотрим первую картинку – экватор.

Рисунок 3

При этом высота полюса – $\varphi =0^{\circ}$ . Звезда в верхней кульминации находится на высоте ( $\varphi<\delta$ ):

$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'+0=62^{\circ}09'$

$z=90^{\circ}-h=90^{\circ}-62^{\circ}09'=27^{\circ}51'$

Нижняя кульминация:

$h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}-0)=-62^{\circ}09'$

$z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-62^{\circ}09')=152^{\circ} 09'$

Далее, северный тропик – тропик Рака.

Рисунок 4

Высота полюса – $\varphi =+23^{\circ}27'$ . Тогда ( $\varphi<\delta$ ):

$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'+23^{\circ}27'=85^{\circ}36'$

$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-85^{\circ}36'=4^{\circ}24'$

Нижняя кульминация:

$h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}-23^{\circ}27')=-38^{\circ}42'$

$z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-38^{\circ}42')=128^{\circ} 42'$

Южный тропик – тропик Козерога.

Рисунок 5

Высота полюса – $\varphi =-23^{\circ}27'$ . Тогда ( $\varphi<\delta$ ):

$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'-23^{\circ}27'=38^{\circ}42'$

$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-38^{\circ}42'=51^{\circ}18'$

Нижняя кульминация:

$h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}+23^{\circ}27')=-85^{\circ}36'$

$z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-85^{\circ}36')=175^{\circ} 36'$

На географической широте $\varphi=+27^{\circ}51'$ ситуация очень похожа на тропик Рака, поэтому рисунок тот же, а расчет другой:

Высота полюса – $\varphi =+27^{\circ}51'$ . Тогда ( $\varphi=\delta$ ):

$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'+27^{\circ}51'=90^{\circ}$

Итак, звезда в зените.

$z=90^{\circ}-h =0^{\circ}$

Нижняя кульминация:

$h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}-27^{\circ}51')=-34^{\circ}18'$

$z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-34^{\circ}18')=124^{\circ} 18'$

На географической широте $\varphi=-27^{\circ}51'$ ситуация очень похожа на тропик Козерога, поэтому отдельный рисунок я не делала:

Высота полюса – $\varphi =-27^{\circ}51'$ . Тогда ( $\varphi<\delta$ ):

$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51'-27^{\circ}51'=34^{\circ}18'$

$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-34^{\circ}18'=55^{\circ}42'$

Нижняя кульминация:

$h'=\delta -(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51'-(90^{\circ}+27^{\circ}51')=-90^{\circ}$

$z'=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-90^{\circ})=180^{\circ}$

Логично, если на широте $\varphi=27^{\circ}51'$ звезда была в верхней кульминации в зените, то на широте $\varphi=-27^{\circ}51'$ она должна быть в надире в своей нижней кульминации.