Высота светил: еще несколько задач

[latexpage]

Рассмотрим еще несколько задач на определение высоты звезд на небесной сфере. Небесной сферой мы называем представление о небе как о пустом глобусе с нашей планетой в центре и небесными объектами на его внутренней поверхности. Оно пришло к нам из древности и остается удобным. Когда мы смотрим на звезды, можно вообразить, что мы находимся внутри такого глобуса, внутри небесной сферы. Высота звезды – угловое расстояние, отсчитываемое от истинного (математического) горизонта до звезды по небесному меридиану, или вертикалу.

 

Задача 1. Определить высоту полюса мира и наклонение небесного экватора к истинному горизонту на земном экваторе, на северном тропике ($\varphi=+23^{\circ}27’$), на северном полярном круге ($\varphi = +66^{\circ}33’$) и на северном географическом полюсе.

Если мы находимся на экваторе, то для нас полюс расположен под углом $90^{\circ}$, то есть его высота – $0^{\circ}$, а наклонение небесного экватора, совпадающего с земным,  – $90^{\circ}$.

На северном тропике ($\varphi=+23^{\circ}27’$) полюс  будет иметь наклонение $+23^{\circ}27’$, а наклонение небесного экватора тогда равно $66^{\circ}33’$. На северном полярном круге ($\varphi = +66^{\circ}33’$) полюс  будет иметь наклонение $66^{\circ}33’$, а наклонение небесного экватора тогда равно $+23^{\circ}27’$. На северном географическом полюсе наклонение небесного экватора, совпадающего с земным,  – $0^{\circ}$, а наклонение полюса $90^{\circ}$.

Задача 2. Склонение звезды Мицара ($\zeta$ Большой Медведицы) равно $\delta=+55^{\circ}11’$. На каком зенитном расстоянии и на какой высоте она бывает в верхней кульминации в Пулково ($\varphi_1 =+59^{\circ}46’$) и Душанбе ($\varphi _2 =+38^{\circ}33’$)?

В Пулково $\varphi_1>\delta$, следовательно,

$$h_1=90^{\circ}+\delta-\varphi_1=90^{\circ}+55^{\circ}11′-59^{\circ}46’=85^{\circ}25’$$

Зенитное расстояние равно

$$z_1=90^{\circ}-h_1=4^{\circ}35’$$

Теперь проведем расчет для Душанбе: $\delta > \varphi_2$.

$$h_2=90^{\circ}-\delta+\varphi_2=90^{\circ}-55^{\circ}11’+38^{\circ}33’=73^{\circ}22’$$

Зенитное расстояние равно

$$z_2=90^{\circ}-h_2=16^{\circ}38’$$

 

Задача 3. На каком наименьшем зенитном расстоянии и наибольшей высоте бывают в Евпатории ($\varphi_1 = +45^{\circ}12’$) и Мурманске ($\varphi_2 =+68^{\circ}59’$) звезды Алиот ($\varepsilon$ Большой Медведицы) и Антарес ($\alpha$ Скорпиона), склонение которых соответственно равно $\delta_1=+56^{\circ}14’$ и $\delta_2=-26^{\circ}19’$?

Для Мурманска: $\varphi_2>\delta_1$, следовательно,

$$h_1=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_1 =90^{\circ}-68^{\circ}59’+56^{\circ}14’=77^{\circ}15’$$

Зенитное расстояние равно

$$z_1=90^{\circ}-h_1=12^{\circ}45’$$

$\varphi_2>\delta_2$, следовательно,

$$h_2=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_2 =90^{\circ}-68^{\circ}59′-26^{\circ}19’=-5^{\circ}18’$$

Зенитное расстояние равно

$$z_2=90^{\circ}-h_2=95^{\circ}18’$$

Для Евпатории: $\varphi_1<\delta_1$, следовательно,

$$h_3=90^{\circ} +\varphi_2-\delta_1 =90^{\circ}+45^{\circ}12′-56^{\circ}14’=78^{\circ}58’$$

Зенитное расстояние равно

$$z_3=90^{\circ}-h_3=11^{\circ}02’$$

$\varphi_1>\delta_2$, следовательно,

$$h_4=90^{\circ} -\varphi_2+\delta_2 =90^{\circ}-45^{\circ}12′-26^{\circ}19’=18^{\circ}29’$$

Зенитное расстояние равно

$$z_4=90^{\circ}-h_4=71^{\circ}31’$$

Ответ: Мурманск, Алиот: $h_1=77^{\circ}15’$, $z_1=12^{\circ}45’$; Мурманск, Антарес: $h_2=-5^{\circ}18’$, $z_2=95^{\circ}18’$ (невидима); Евпатория, Алиот: $h_3=78^{\circ}58’$, $z_3=11^{\circ}02’$; Евпатория, Антарес: $h_4=18^{\circ}29’$, $z_4=71^{\circ}31’$.

Задача 4. В некотором месте наблюдения звезда со склонением $+32^{\circ}19’$ поднимается над точкой юга на высоту в $63^{\circ}42’$. Найти зенитное расстояние и высоту этой звезды в том же месте при азимуте, равном 180°.

Нас просят найти, по сути, высоту звезды в нижней кульминации. Высота дана над точкой юга, значит, $\delta<\varphi$:

$$h=90^{\circ}+\delta-\varphi$$

$$63^{\circ}42’=90^{\circ}+32^{\circ}19′-\varphi $$

$$\varphi =58^{\circ}37’$$

Для нижней кульминации

$$h=\delta-(90^{\circ}-\varphi)= 32^{\circ}19′-(90^{\circ}-58^{\circ}37’)= 0^{\circ}56’$$

Зенитное расстояние равно

$$z=90^{\circ}-h=89^{\circ}04’$$

Ответ: $h=0^{\circ}56’$,$z=89^{\circ}04’$.

 

Задача 5. Решить задачу для той же звезды при условии ее наименьшего зенитного расстояния $63^{\circ}42’$ к северу от зенита.

Если зенитное расстояние $63^{\circ}42’$, следовательно, высота равна

$$h=90^{\circ}-z=26^{\circ}18’$$

Тогда, так как мы к северу от зенита, то $\varphi<\delta$ и

$$h=90^{\circ}-\delta +\varphi$$

$$26^{\circ}18’=90^{\circ}-32^{\circ}19’+\varphi$$

$$\varphi=-31^{\circ}23’$$

Следовательно, речь идет о нижней кульминации.

$$h=\delta-(90^{\circ}-\varphi)= 32^{\circ}19′-(90^{\circ}-(-31^{\circ}23’))=-89^{\circ}04’$$

Ее зенитное расстояние

$$z=90^{\circ}-h=179^{\circ}04’$$

Ответ: $h=-89^{\circ}04’$, $z=179^{\circ}04’$.

Задача 6. Какое склонение должны иметь звезды, чтобы в верхней кульминации проходить в зените, а в нижней кульминации — в надире, точке севера и точке юга места наблюдения? Чему равна географическая широта этих мест?

Чтобы звезда имела кульминации в зените и надире (это точка прямо под зенитом, «нижний зенит»), звезды должны иметь склонение, равное, во-первых, широте места, во-вторых, равное нулю (лежат на небесном экваторе):

$$\delta=\varphi=0^{\circ}$$

Как видно из следующего рисунка, чтобы нижняя кульминация произошла в точке севера, высота полюса мира должна быть равна $45^{\circ}$, а склонение будет таким же (из условия совпадения зенита и точки верхней кульминации). Соответственно, для того, чтобы нижняя кульминация была бы в точке юга, широта места должна быть равна $-45^{\circ}$, и таково же склонение звезды.

Задача 7. Вычислить зенитное расстояние и  высоту в верхней и нижней кульминации звезды $\beta$ Лебедя (имеющей склонение $+27^{\circ}51’$) на земном экваторе, на северном и южном тропике ($\varphi=±23^{\circ}27’$), на географической широте ($\varphi=±27^{\circ}51’$), на северном и южном полярных кругах ($\varphi=±66^{\circ}33’$) и географических полюсах.

Пусть в верхней кульминации высота светила $h$, а в нижней – $h’$. Зенитное расстояние в верхней кульминации $z$, в нижней – $z’$.

Сначала рассмотрим первую картинку – экватор.

При этом высота полюса – $\varphi =0^{\circ}$. Звезда в верхней кульминации находится на высоте ($\varphi<\delta$):

$$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51’+0=62^{\circ}09’$$

$$z=90^{\circ}-h=90^{\circ}-62^{\circ}09’=27^{\circ}51’$$

Нижняя кульминация:

$$h’=\delta –(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51′-(90^{\circ}-0)=-62^{\circ}09’$$

$$z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-62^{\circ}09′)=152^{\circ} 09’$$

Далее, северный тропик – тропик Рака.

Высота полюса – $\varphi =+23^{\circ}27’$. Тогда ($\varphi<\delta$):

$$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51’+23^{\circ}27’=85^{\circ}36’$$

$$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-85^{\circ}36’=4^{\circ}24’$$

Нижняя кульминация:

$$h’=\delta –(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51′-(90^{\circ}-23^{\circ}27′)=-38^{\circ}42’$$

$$z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-38^{\circ}42′)=128^{\circ} 42’$$

Южный тропик – тропик Козерога.

Высота полюса – $\varphi =-23^{\circ}27’$. Тогда ($\varphi<\delta$):

$$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51′-23^{\circ}27’=38^{\circ}42’$$

$$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-38^{\circ}42’=51^{\circ}18’$$

Нижняя кульминация:

$$h’=\delta –(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51′-(90^{\circ}+23^{\circ}27′)=-85^{\circ}36’$$

$$z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-85^{\circ}36′)=175^{\circ} 36’$$

На географической широте $\varphi=+27^{\circ}51’$ ситуация очень похожа на тропик Рака, поэтому рисунок тот же, а расчет другой:

Высота полюса – $\varphi =+27^{\circ}51’$. Тогда ($\varphi=\delta$):

$$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51’+27^{\circ}51’=90^{\circ}$$

Итак, звезда в зените.

$$z=90^{\circ}-h =0^{\circ}$$

Нижняя кульминация:

$$h’=\delta –(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51′-(90^{\circ}-27^{\circ}51′)=-34^{\circ}18’$$

$$z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-34^{\circ}18′)=124^{\circ} 18’$$

На географической широте $\varphi=-27^{\circ}51’$ ситуация очень похожа на тропик Козерога, поэтому отдельный рисунок я не делала:

Высота полюса – $\varphi =-27^{\circ}51’$. Тогда ($\varphi<\delta$):

$$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51′-27^{\circ}51’=34^{\circ}18’$$

$$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-34^{\circ}18’=55^{\circ}42’$$

Нижняя кульминация:

$$h’=\delta –(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51′-(90^{\circ}+27^{\circ}51′)=-90^{\circ}$$

$$z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-90^{\circ})=180^{\circ} $$

Логично, если на широте $\varphi=27^{\circ}51’$ звезда была в верхней кульминации в зените, то на широте $\varphi=-27^{\circ}51’$ она должна быть в надире в своей нижней кульминации.

На широте $\varphi=66^{\circ}33’$: высота полюса – $\varphi =+66^{\circ}66’$.

Тогда ($\varphi>\delta$):

$$h=90^{\circ}+\delta -\varphi=90^{\circ}+27^{\circ}51′-66^{\circ}33’=51^{\circ}18’$$

$$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-51^{\circ}18’=38^{\circ}42’$$

Нижняя кульминация:

$$h’=\delta –(90^{\circ}- \varphi)= 27^{\circ}51′-(90^{\circ}-66^{\circ}33′)= 4^{\circ}24’$$

$$z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-4^{\circ}24′)=85^{\circ} 36’$$

На широте $\varphi=-66^{\circ}33’$: высота полюса – $\varphi =-66^{\circ}66’$.

Тогда ($\varphi<\delta$):

$$h=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51′-66^{\circ}33’=-4^{\circ}24’$$

$$z=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-4^{\circ}24′)=94^{\circ}24’$$

Нижняя кульминация происходит над точкой юга, поэтому:

$$h’=\delta +90^{\circ}+ \varphi= 90^{\circ}+27^{\circ}51′-66^{\circ}33’=-51^{\circ}18’$$

$$z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-51^{\circ}18′)=141^{\circ} 18’$$

На северном полюсе $\varphi=90^{\circ}$, $\varphi>\delta$.

Звезда в обеих кульминациях находится на одинаковой высоте ($\varphi<\delta$), то есть можно сказать, что звезда не кульминирует:

$$h=h’=90^{\circ}+\delta -\varphi=90^{\circ}+27^{\circ}51′-90^{\circ}=27^{\circ}51’$$

$$z=z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-27^{\circ}51’=62^{\circ}09’$$

На южном полюсе $\varphi=-90^{\circ}$, $\varphi<\delta$, тоже совпадают высоты кульминаций:

$$h=h’=90^{\circ}-\delta +\varphi=90^{\circ}-27^{\circ}51′-90^{\circ}=-27^{\circ}51’$$

$$z=z’=90^{\circ}-h =90^{\circ}-(-27^{\circ}51′)=117^{\circ}51’$$