Введение в параметры

Введение в параметры – 9

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 15. Найдите количество решений следующего уравнения в зависимоcти от значений параметра $a$ (где $\{x\}$ – дробная часть числа $x$ :

$a - \{x\} = - \sqrt{2x - x^2}$

Решение. Воспользуемся графическим методом. Слева – график дробной части числа, подвижный при этом. Справа – стационарная полуокружность, нижняя ее половина. Займемся ею.

$y=- \sqrt{2x - x^2}$

$y^2=2x - x^2$

$y^2+x^2-2x+1=1$

$(x-1)^2+y^2=1$

Центр полуокружности в точке $(1,0)$ , радиус ее равен 1.

Строим полуокружность и график дробной части числа. Так как второй – подвижный, начинаем его двигать. При $a \in (-\infty; -1)$ – нет решений.

Графики не пересекаются – решений нет.

При $a=-1$ – одно решение.

Одно решение

От $-1$ до касания сохраняется одно решение, а касание произойдет при $a=-0,5$ – появилось два решения.

Касание слева добавило второе решение

При $a \in (-0,5; 0)$ – три решения, при $a=0$ – четыре.

Слева – три решения, справа – 4

При $a \in (0; 1]$ – одно решение.

Слева – одно решение, в центре – все еще одно (a=1), справа – уже нет решений.

При $a>1$ решений нет.

Задача 16. Найдите количество решений следующего уравнения в зависимости от значений параметра $a$ (где $[x]$ – целая часть числа $x$ :

$a -[x] = - \sqrt{4 - x^2}$

Решение. Справа опять полуокружность:

$y= - \sqrt{4 - x^2}$

$y^2=4 - x^2$

$x^2+y^2=4$

Центр в начале координат, радиус 2, существует только нижняя часть окружности.

Левая часть – подвижный график целой части. Начинаем двигать его снизу вверх. При $a$ от $-\infty$ до касания нет решений. Касание произойдет при $x=-1$ . Подставим: