Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 9

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 15. Найдите количество решений следующего уравнения в зависимоcти от значений параметра a (где\{x\} – дробная часть числа x:

    \[a - \{x\} = - \sqrt{2x - x^2}\]

.

Решение. Воспользуемся графическим методом. Слева – график дробной части числа, подвижный при этом. Справа – стационарная полуокружность, нижняя ее половина. Займемся ею.

    \[y=- \sqrt{2x - x^2}\]

    \[y^2=2x - x^2\]

    \[y^2+x^2-2x+1=1\]

    \[(x-1)^2+y^2=1\]

Центр полуокружности в точке (1,0), радиус ее равен 1.

Строим полуокружность и график дробной части числа. Так как второй – подвижный, начинаем его двигать. При a \in (-\infty; -1) – нет решений.

Графики не пересекаются – решений нет.

При a=-1 – одно решение.

Одно решение

От -1 до касания сохраняется одно решение, а касание произойдет при a=-0,5 – появилось два решения.

Касание слева добавило второе решение

При a \in (-0,5; 0) – три решения, при a=0 – четыре.

Слева – три решения, справа – 4

При a \in (0; 1] – одно решение.

Слева – одно решение, в центре – все еще одно (a=1), справа – уже нет решений.

При a>1 решений нет.

Задача 16. Найдите количество решений следующего уравнения в зависимости от значений параметра a (где [x] – целая часть числа x:

    \[a -[x] = - \sqrt{4 - x^2}\]

Решение. Справа опять полуокружность:

    \[y= - \sqrt{4 - x^2}\]

    \[y^2=4 - x^2\]

    \[x^2+y^2=4\]

Центр в начале координат, радиус 2, существует только нижняя часть окружности.

Левая часть – подвижный график целой части. Начинаем двигать его снизу вверх. При a от -\infty до касания нет решений. Касание произойдет при x=-1. Подставим:

    \[a+1=-\sqrt{3}\]

    \[a=-1-\sqrt{3}\]

Слева – еще нет решений, справа – одно.

Двигаем выше, до a=-2 сохраняется одно решение, при a=2 – три. Три решения сохраняются до a=-\sqrt{3}.

Слева – одно решение, справа – три (а=-2)

Далее при a \in (-\sqrt{3}; -1] – одно решение.

Одно решение в указанном интервале

При a \in (-1; -1+\sqrt{3}) – нет решений. При a=-1+\sqrt{3} – одно решение.

Слева а=-1 и одно решение, справа – тоже одно решение после некоторого интервала, в котором решения отсутствовали

Далее при a \in (-1+\sqrt{3}; 1] – одно решение.

Слева – одно решение, справа нет решений.

Решений далее не будет до a=2 – здесь одно решение. И при a>2 – более нет решений.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *