Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 8

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 13. Постройте графики следующих функций:

а) f(x) = [2x - 0,8];

б) f(x) = \{2x +0,4\}.

Квадратные скобки – операция извлечения целой части числа. Если не уверены, как строить – составьте таблицу, в которой определите f(x) для различных x с шагом 0,2, например.

График к задаче 13, а)

Фигурные скобки – это дробная часть числа. Совет тот же: постройте для разных точек с небольшим шагом.

График к задаче 13, б)

Задача 14. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых следующая система уравнений имеет единственной решение

    \[\begin{Bmatrix}{ (x - 3a - 2)^2 + (y - a +1)^2 =25}\\{(x -2a -1)^2 + (y - a +1)^2 = 81}. }\end{matrix}\]

Решение.

Оба уравнения изображаются окружностями. У первой радиус равен 5, а у второй – 9. Обе окружности подвижные. Рассмотрим первую.

    \[x=3a+2\]

    \[a=\frac{x-2}{3}\]

    \[y=a-1=\frac{x-2}{3}-1=\frac{x}{3}-\frac{5}{3}\]

Вот по этой прямой и перемещается центр первой окружности.

Рассмотрим вторую:

    \[x=2a+1\]

    \[a=\frac{x-1}{2}\]

    \[y=a-1=\frac{x-1}{2}-1=\frac{x}{2}-\frac{3}{2}\]

По такой прямой перемещается центр второй окружности.

Единственное решение – при касании окружностей. Если касание внешнее, то расстояние между центрами должно быть равно сумме радиусов.

    \[\sqrt{(3a+2-2a-1)^2+(a-1-a+1)^2}=14\]

    \[(a+1)^2=196\]

    \[a=13\]

    \[a=-15\]

Если касание внутреннее, то расстояние между центрами должно быть равно разности радиусов.

    \[\sqrt{(3a+2-2a-1)^2+(a-1-a+1)^2}=4\]

    \[(a+1)^2=16\]

    \[a=3\]

    \[a=-5\]

Ответ: a \in {-15; 13; -5; 3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *