Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 6

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 9. В зависимости от параметра \a найдите число решений системы

    \[\begin{Bmatrix}{ \mid x \mid - \mid y \mid = a}\\{x^2 + y^2 = a^2}. }\end{matrix}\]

Решение. Второе уравнение – уравнение окружности с переменным радиусом и центром в начале координат.

Разберемся с первым. Для простоты можно принять a равным любому числу. Пусть a=4.

В первом квадранте снимаем оба модуля с плюсом, получаем

    \[x-y=4\]

    \[y=x-4\]

В третьем квадранте оба модуля снимаем с минусами:

    \[-x+y=4\]

    \[y=4+x\]

Во втором квадранте первый модуль снимаем с минусом, второй – с плюсом:

    \[-x-y=4\]

    \[y=-x-4\]

И, наконец, в четвертом квадранте:

    \[x+y=4\]

    \[y=4-x\]

Строим:

Для a=4.

График построен для положительного a=4, вот график для отрицательного a=-4. Как видно, те же два решения.

Для a=-4.

Видно, что при любом a будет два решения. Но если a=0, то окружность вырождается в точку, и решение одно.

Ответ: при a=0 решение одно, в остальных случаях 2.

Задача 10. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t_0 рублей за единицу товара. Известно, что при налоге равном t рублей за единицу товара объем производства товара составляет 10000 - 2t единиц, если это число положительно. После того как государство с целью повышения объема налоговых поступлений увеличило налог в два с половиной раза (до t_1 = 2,5t_0), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого повышения, чтобы добиться максимально возможных налоговых сборов?

Решение. Налоговые сборы составляют f(t)=t(10000-2t) рублей при t \leqslant 5000.  Заметим, что графиком функции f(t) является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции f(t)  равно ординате вершины этой параболы. Поскольку при t_0 и при 2,5t_0 ординаты одинаковые, то эти точки расположены симметрично от вершины. Значит, абсцисса вершины параболы равна \frac{x_0+2,5x_0}{2}=1,75x_0. Так как 1,75x_0 составляет \frac{1,75x_0}{2,5x_0}=0,7 – то есть 70% от максимума, то государству следует понизить налог на 30%.

Ответ: 30%.

Один комментарий

  • Евгения
    |

    В задаче 9 первое уравнение прямо просит возвести его в квадрат. и српзу получается, что либо x, либо y равны 0. Ну и дальше легко.
    Решение не лучше вашего, просто другое.

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *