Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 5

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 7. Графики функций  f(x) = 2x^2 +2x -1 и g(x) = -5x^2 - 2x +3 пересекаются в двух точках. Найти коэффициенты a и b в уравнении прямой y = ax + b, проходящей через те же точки.

Решение. Приравняем, раз графики пересекаются:

    \[2x^2 +2x -1=-5x^2 - 2x +3\]

    \[7x^2 +4x -4=0\]

    \[D=16+16\cdot 7=(8\sqrt{2})^2\]

    \[x_{1,2}=\frac{-4 \pm 8\sqrt{2}}{14}=\frac{-2\pm 4\sqrt{2}}{7}\]

Найдем ординату для первого корня:

    \[y_1=2\left(\frac{4\sqrt{2}-2}{7}\right)^2+2\left(\frac{4\sqrt{2}-2}{7}\right)-1\]

    \[y_1=2\left(\frac{32-16\sqrt{2}+4}{49}\right)+\frac{8\sqrt{2}-4}{7}-1\]

    \[y_1=\left(\frac{64-32\sqrt{2}+8}{49}\right)+\frac{56\sqrt{2}-28}{49}-1\]

    \[y_1=\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1\]

Найдем ординату для второго корня:

    \[y_2=2\left(\frac{-4\sqrt{2}-2}{7}\right)^2-2\left(\frac{4\sqrt{2}+2}{7}\right)-1\]

    \[y_2=2\left(\frac{32+16\sqrt{2}+4}{49}\right)-\frac{8\sqrt{2}+4}{7}-1\]

    \[y_2=\left(\frac{64+32\sqrt{2}+8}{49}\right)-\frac{56\sqrt{2}+28}{49}-1\]

    \[y_2=\frac{44-24\sqrt{2}}{49}-1\]

Подставляем в уравнение прямой y=kx+b координаты первой точки: (\frac{-2+4\sqrt{2}}{7};\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1):

    \[\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1=k\cdot \frac{-2+4\sqrt{2}}{7}+b\]

Подставляем в уравнение прямой y=kx+b координаты второй точки: (\frac{-2-4\sqrt{2}}{7};\frac{44-24\sqrt{2}}{49}-1):

    \[\frac{44-24\sqrt{2}}{49}-1=k\cdot \frac{-2-4\sqrt{2}}{7}+b\]

Вычитаем из первого уравнения прямой второе:

    \[\frac{48\sqrt{2}}{49}=k\left(\frac{4\sqrt{2} -2}{7}+\frac{2+4\sqrt{2}}{7}\right)\]

    \[\frac{48\sqrt{2}}{49}=k\frac{8\sqrt{2}}{7}\]

    \[k=\frac{6}{7}\]

И теперь находим второй коэффициент, подставляя k в уравнение прямой:

    \[\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1=6\cdot \frac{4\sqrt{2}-2}{49}+b\]

    \[\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1-6\cdot \frac{4\sqrt{2}-2}{49}=b\]

    \[\frac{44}{49}-1+\cdot \frac{12}{49}=b\]

    \[b=\frac{56}{49}-1=\frac{8}{7}-1=\frac{1}{7}\]

Ответ: k=\frac{6}{7}, b=\frac{1}{7}.

Задача 8. При каких  a функция f(x) = x^2 - 4\mid x -a^2 \mid - 10x имеет хотя бы одну точку максимума?

Решение:

При x -a^2\geqslant 0

    \[f(x) = x^2 - 4(x -a^2)- 10x=x^2-14x+4a^2\]

Это парабола, ветви направлены вверх, а вершина находится в точке x_0=7.

При x -a^2< 0

    \[f(x) = x^2 + 4(x -a^2)- 10x=x^2-6x-4a^2\]

Это парабола, вершина которой находится в точке x_0=3, ветви вверх.

Точка пересечения парабол и будет точкой максимума. И нужно, чтобы они пересеклись в пространстве между их вершинами.

К задаче 8

Заметим, что при x=a^2 получим одну и ту же функцию: x^2-10x. В этом случае максимум – точка стыка парабол – будет отсутствовать. Значит, должны соблюдаться условия:

    \[\begin{Bmatrix}{ a^2<7}\\{a^2>3}\end{matrix}\]

Решение этой системы:

    \[x \in [-\sqrt{7}; -\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3};\sqrt{7}]\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *