Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 4

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!

Задача 6. Изобразите на координатной плоскости xOy множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям:

а) 2x^2 + \frac{x}{y} = 0;

б) x = - \frac{x^2 + y^2 +2}{4};

в) xy = \frac{\mid x -2y +3 \mid +y^2}{4} +x^2;

г) \mid \frac{y}{2} \mid = 1 - \mid x \mid;

д) \mid y +1 \mid = \frac{x}{2} +1;

е) y\mid x \mid = \frac{\mid y \mid}{y -1}.

Решение. Строим а).

    \[2x^2 + \frac{x}{y} = 0\]

    \[2x^2 =- \frac{x}{y}\]

    \[y=-\frac{x}{2x^2}=-\frac{1}{2x}\]

    \[x \neq 0; y \neq 0\]

.

К пункту а)

Строим б).

    \[x = - \frac{x^2 + y^2 +2}{4}\]

    \[-4x = x^2 + y^2 +2\]

    \[x^2 +4x+4+ y^2 =2\]

    \[(x+2)^2+ y^2 =(\sqrt{2})^2\]

Это окружность с центром в точке (-2; 0) и радиусом \sqrt{2}. Я ее строить не буду – это слишком просто.

Строим в).

    \[xy = \frac{\mid x -2y +3 \mid +y^2}{4} +x^2\]

    \[4xy = \mid x -2y +3 \mid +y^2+4x^2\]

    \[\mid x -2y +3 \mid +y^2+4x^2-4xy =0\]

    \[\mid x -2y +3 \mid +(y-2x)^2 =0\]

Имеем сумму двух неотрицательных величин, которая равна нулю. Это может быть только при равенстве нулю обоих слагаемых.

    \[y-2x=0\]

    \[y=2x\]

    \[x -2y +3=0\]

Подставляем:

    \[x -4x +3=0\]

    \[x=1\]

    \[y=2\]

То есть это – точка на координатной плоскости с координатами (1; 2).

Решаем г).

    \[\mid \frac{y}{2} \mid = 1 - \mid x \mid\]

    \[\mid y \mid = 2 - 2\mid x \mid\]

    \[2\mid x \mid+\mid y \mid = 2\]

С таким мы уже сталкивались в задаче 4 б) (смотри предыдущую статью).

Можно оба модуля раскрыть с плюсами – получив прямую в первом квадранте. Тогда в остальных квадрантах получим ее отражение.

К пункту г)

Строим д).

    \[\mid y +1 \mid = \frac{x}{2} +1\]

При y+1\geqslant 0

    \[y +1  = \frac{x}{2} +1\]

    \[y= \frac{x}{2}\]

При   y+1< 0

    \[-y -1= \frac{x}{2} +1\]

    \[y=-2-\frac{x}{2}\]

Строим:

К пункту д)

 

Строим е).

    \[y\mid x \mid = \frac{\mid y \mid}{y -1}\]

    \[\mid x \mid = \frac{\mid y \mid}{y(y -1)}\]

При y \geqslant 0, x\geqslant 0

    \[x  = \frac{1}{y -1}\]

    \[y -1=\frac{1}{x}\]

    \[y=1+\frac{1}{x}\]

При y \geqslant 0, x<0

    \[-x = \frac{1}{y -1}\]

    \[y -1=-\frac{1}{x}\]

    \[y =1-\frac{1}{x}\]

При y<0, x\geqslant 0

    \[x = \frac{1}{1-y}\]

    \[1-y=\frac{1}{x}\]

    \[y=1-\frac{1}{x}\]

При y<0, x<0

    \[-x= \frac{1}{1-y}\]

    \[1-y=-\frac{1}{x}\]

    \[y=1+\frac{1}{x}\]

Строим в каждом квадранте свою гиперболу:

К пункту е)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *