Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 3

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!

Задача 4. Постойте графики следующих уравнений:

а) \frac{x^2 + y^2}{2} = \mid x \mid - \mid y \mid +3,5;

б) \mid 2x - y \mid = \mid 2x +3y\mid;

в) \sqrt{(x -2)(y +3)} = \sqrt{2 -x}\sqrt{-y-3};

Решение.

Строим а). Преобразуем:

    \[x^2 + y^2= 2\mid x \mid -2 \mid y \mid +7\]

    \[x^2  - 2\mid x \mid +1+y^2 + 2\mid y \mid +1=9\]

    \[(\mid x \mid-1)^2+(\mid y \mid+1)^2=3^2\]

Получили уравнение, которое задает 4 симметричных части одной окружности, каждая из которых расположена в своем квадранте. Например, если снять модули с плюсом – а это означает, что мы рассматриваем первый квадрант – получим уравнение окружности

    \[(x-1)^2+(y+1)^2=3^2\]

Ее центр находится в точке (1; -1), радиус равен трем. В остальные квадранты полученную в первой четверти часть просто отразим – относительно обеих осей. И выйдет:

К задаче 4, а)

Строим б).

    \[\mid 2x - y \mid = \mid 2x +3y\mid\]

Приравниваем к нулю оба подмодульных выражения:

    \[2x - y=0\]

    \[y=2x\]

И

    \[2x+3y=0\]

    \[y=-\frac{2x}{3}\]

Если построить обе прямые, они нам разделят координатную плоскость на 4 области. В каждой из полученных секторов знаки модулей будут сниматься по-разному. Чтобы определить, с какими знаками где снимать модули, необходимо выбрать в каждой области точку, и ее координаты подставить в исходное выражение.

Опорные прямые

Например, возьмем точку A с координатами (2; 1). Тогда первое подмодульное выражение 2x-y=2\cdot 2-1=4-1>0, значит, первый модуль в «восточной» области снимется с «плюсом». Второе подмодульное выражение – 2x+3y=2\cdot 2+3>0 – тоже положительно, следовательно, второй модуль также снимется с «плюсом». Теперь возьмем точку B с координатами (-1; 3). Первое подмодульное выражение 2x-y=2\cdot (-1)-3=-5<0, значит, первый модуль в «северной» области снимется с «минусом». И так далее. Я указала знаки, с которыми нужно снимать модули во всех областях.

Знаки снятия модулей

Теперь для каждой области, снимая модули с указанными знаками, получаем уравнение, график которого надо будет построить в каждой области.

Восточная область, снимаем оба модуля с «плюсами»

    \[2x-y=2x+3y\]

    \[y=0\]

«Северная область» – получаем:

    \[y-2x=2x+3y\]

    \[-2y=4x\]

    \[y=-2x\]

«Южная» область:

    \[2x-y=-2x-3y\]

    \[4x=-2y\]

    \[y=-2x\]

И, наконец, «западная» область:

    \[y-2x=-2x-3y\]

    \[y=0\]

Строим то, что получилось:

Рыжие прямые – и есть график уравнения

Решаем в).

    \[\sqrt{(x -2)(y +3)} = \sqrt{2 -x}\sqrt{-y-3}\]

Преобразуем:

    \[\sqrt{(2-x)(-y -3)} = \sqrt{2 -x}\sqrt{-y-3}\]

    \[-y-3\geqslant 0\]

    \[y \leqslant -3\]

    \[2 -x\geqslant 0\]

    \[x \leqslant 2\]

Это целая область, и координаты любой из точек из этой области превратят уравнение в верное равенство:

К пункту в)

Задача 5. Изобразите на плоскости xOy множество точек, удовлетворяющих системе неравенств

    \[\begin{Bmatrix}{ y \leqslant -x^2 +2, }\\{x^2 + (y -2)^2 y \leqslant 4.}\end{matrix}\]

Решение. Первая область – множество точек, ординаты которых меньше, чем ординаты точек параболы (область под параболой). Второе неравенство  – окружность и внутренность круга с координатами центра (0; 2) и радиусом 2. Так как это система неравенств, то нужна область, удовлетворяющая обоим – она закрашена бежевым на рисунке. Строим:

К задаче 5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *