Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 2

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!

Задача 3. С помощью преобразований графиков постройте графики следующих функций:

а) y = \mid x^2 - 3\mid x \mid -2 \mid;

б) y = \mid \frac{1}{\mid x \mid -2x +2} \mid;

в) y = \frac{3 - 2x}{1 -x};

г) y = - \sqrt{8 - 2\mid x \mid - x^2};

д) y = \mid 2 - \mid 1 - 2x \mid \mid.

Решаем а). Построим график функции y=x^2-3x-2. Это обыкновенная парабола, ветвями вверх. Координаты вершины x_0=1,5, y_0=-4,25.

Этап построения 1 – строим параболу

Теперь наложим модуль на x:

    \[y=\mid x \mid^2-3\mid x \mid -2\]

Такая операция отражает всю правую часть параболы налево (относительно оси y, как в зеркале).

Этап 2 – отражаем относительно вертикальной оси

А теперь наложим внешний модуль, на всю функцию:

Этап 3 – отражаем вверх все точки, которые имеют отрицательную ординату.

Он отражает все, что оказалось под осью x симметрично наверх.

Решаем б). При x\geqslant 0 модуль снимаем с положительным знаком, получим

    \[y=\frac{1}{2-x}\]

Это гипербола (ее кусок).

При x<0 получим:

    \[y=\frac{1}{2-3x}\]

Это тоже гипербола, но у нее другой коэффициент. Строим в правой полуплоскости первую, в левой – вторую.

Для пункта б)

И накладываем внешний модуль:

Для пункта б) – окончание построения.

Решаем в). Преобразуем выражение:

    \[y = \frac{3 - 2x}{1 -x}= \frac{2 - 2x+1}{1 -x}=2+\frac{1}{1-x}\]

Имеем гиперболу, которая смещена вправо на 1 – на это указывает 1-x, имеет отрицательный коэффициент, и сдвинута вверх по оси y на 2 единицы. То есть, если строить, поэтапно преобразуя график, то сначала нужно построить гиперболу y=-\frac{1}{x}, затем подвинуть ее вправо на 1 и получим y=\frac{1}{1-x}, и затем подняли на 2 вверх.

Для пункта в)

Решаем г). Преобразуем:

    \[y = - \sqrt{8 - 2\mid x \mid - x^2}=  - \sqrt{-1 - 2\mid x \mid - x^2+9}=  - \sqrt{-(1+ \mid x \mid)^2 +9}=- \sqrt{9-(1+ \mid x \mid)^2}\]

Если возвести в квадрат, то получим

    \[y^2=9-(1+ \mid x \mid)^2\]

    \[(1+ \mid x \mid)^2+ y^2=9\]

Получили уравнение окружности. Даже двух окружностей – потому что точке с некоторой координатой y соответствуют две точки с координатами x и -x. Эти две окружности – или их части – будут симметричны относительно оси y. Но, так как есть корень, то не вся окружность будет присутствовать. Сейчас будем разбираться, какая часть будет видима. У обеих окружностей радиус равен трем.

Базовая окружность

Так как после извлечения корня получаем положительное число, то -y \geqslant 0. Можно нарисовать ту часть окружности, что в первом квадранте. Так как перед корнем  – минус, то эту нарисованную часть надо отразить вниз, под ось x. А теперь отразить еще раз – относительно оси y. Вот что получится:

Две окружности – с учетом модуля (это этап построения, нас интересуют только части окружностей, см. следующий рисунок)

Выделили часть в первом квадранте и отразили относительно оси y.

Получаем в итоге:

Решаем д). Строим поэтапно, сначала – y=1-2x

Первый этап – прямая

Затем – y=\mid 1-2x \mid

Второй этап – модуль

Переворачиваем – добавляем минус: y=-\mid 1-2x \mid

Третий этап – перевернули

Поднимаем на две единицы: y=2-\mid 1-2x \mid

Четвертый этап – поднимаем на 2 единицы

Накладываем внешний модуль: y=\mid  2-\mid 1-2x \mid  \mid

И, наконец, отражаем вверх все, что ниже оси x

Один комментарий

  • Евгения
    |

    Во втором задании еще внешний модуль есть

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *