Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 11

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 19. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

    \[\begin{Bmatrix}{ \mid y + 6 - x \mid + \mid y +6 +x \mid = 12}\\{(\mid x \mid - 8)^2 + (\mid y \mid - 6)^2 = a}. }\end{matrix}\]

имеет ровно два решения.

Решение. Первое уравнение задает квадрат со стороной 12. Убедимся в этом.

Если y+6-x \geqslant 0, то

    \[y\geqslant x-6\]

То есть задана область над прямой y=x-6.

Если y +6 +x\geqslant 0, то

    \[y\geqslant -x-6\]

Задана область над прямой y=-x-6. Изобразим обе прямые:

К задаче 19 – “служебные” прямые

Эти две прямые разбили нам плоскость на 4 угла. «Северный» угол расположен  над обеими прямыми: в этой области мы раскроем оба модуля с плюсом. «Южный» угол расположен под обеими прямыми, и оба модуля в нем мы раскроем с минусом. В «восточном» углу мы находимся под первой прямой и над второй: первый модуль раскроем с минусом, второй – с плюсом. В «западном» углу – соответственно, наоборот. Делаем!

Знаки снятия модулей

«Северный» угол:

    \[y + 6 - x  + y +6 +x = 12\]

    \[2y=0\]

    \[y=0\]

«Южный» угол:

    \[-y - 6 + x  - y -6 -x = 12\]

    \[-y - 6 + x  - y -6 -x = 12\]

    \[-2y=24\]

    \[y=-12\]

«Восточный» угол:

    \[-y - 6 +x  + y +6 +x = 12\]

    \[2x=12\]

    \[x=6\]

«Западный» угол:

    \[y + 6 - x  - y -6 -x = 12\]

    \[-2x=12\]

    \[x=-6\]

Вот и получился квадрат.

Второе уравнение – система окружностей, центры которых расположены симметрично, в точках с координатами (8; 6), (-8; 6), (8; -6), (-8; -6). А радиус окружности переменный и равен \sqrt{a}.

Так как квадрат расположен ниже оси x, то две верхние окружности – в первом и втором квадрантах – не коснутся его, а вот две окружности, расположенные в третьем и четвертом квадрантах, при a=4 как раз коснутся квадрата. Значит, a=4 нам подходит.

Первое решение

Но есть еще одно решение! Так как каждая окружность живет строго в своем квадранте, то при a=100 пара верхних окружностей пройдут через точку (0;0), а пара нижних – через точку (0; -12), что также даст два решения:

Второе решение

Задача 20. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

    \[\mid \frac{5}{x} - 4 \mid = ax -1\]

на промежутке (0; +\infty) имеет более двух корней.

Решение. Справа – прямая, проходящая через точку (0;-1) и меняющая свой коэффициент наклона (пучок прямых). Слева – гипербола с коэффициентом k=5 и смещенная вниз на 4 единицы, причем вся та часть, которая окажется под осью x – будет отражена наверх. Строим.

Построили то, что “внутри” модуля

Отразили вверх все, что ниже оси x

Теперь будем крутить прямую и искать такие ее положения, чтобы данный график ею был пересечен более двух раз.

При любых отрицательных a решение одно – пересекаем левую ветвь. При a=0 решений нет.

При положительных a появляется одно решение. Вплоть до момента, когда прямая пройдет через нижнюю точку графика (носик), будет одно решение.

a>0, но решение одно

Два решения, прямая проходит через “носик”

А в момент прохождения через носик – уже два. Но нас это все равно не устраивает, так как нам нужно более двух корней.

Определим абсциссу «носика»: ордината равна нулю.

    \[0=\frac{5}{x} - 4\]

    \[\frac{5}{x} = 4\]

    \[x=\frac{5}{4}\]

Тогда подставим координаты «носика» в уравнение прямой:

    \[0=a \cdot \frac{5}{4}-1\]

    \[a=\frac{4}{5}\]

Это значение параметра нам не подойдет, но оно пограничное – следом за ним и вплоть до момента касания прямой и графика функции y=4-\frac{5}{x}. Приравняем ординаты, чтобы определить, при каком a будет касание графиков:

Три решения

    \[4-\frac{5}{x}= ax -1\]

    \[4x-5= ax^2 -x\]

    \[ax^2-5x+5=0\]

Касание – и два решения

При касании одна общая точка, значит, одно решение, значит, дискриминант равен нулю:

    \[D=25-20a=0\]

    \[a=\frac{5}{4}\]

Таким образом, три  решения будут при a \in (\frac{4}{5}; \frac{5}{4}).

Ответ: a \in (\frac{4}{5}; \frac{5}{4}).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *