[latexpage]
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 19. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{Bmatrix}{ \mid y + 6 – x \mid + \mid y +6 +x \mid = 12}\\{(\mid x \mid – 8)^2 + (\mid y \mid – 6)^2 = a}. }\end{matrix}$$
имеет ровно два решения.
Решение. Первое уравнение задает квадрат со стороной 12. Убедимся в этом.
Если $y+6-x \geqslant 0$, то
$$y\geqslant x-6$$
То есть задана область над прямой $y=x-6$.
Если $y +6 +x\geqslant 0$, то
$$y\geqslant -x-6$$
Задана область над прямой $y=-x-6$. Изобразим обе прямые:

К задаче 19 – “служебные” прямые
Эти две прямые разбили нам плоскость на 4 угла. «Северный» угол расположен над обеими прямыми: в этой области мы раскроем оба модуля с плюсом. «Южный» угол расположен под обеими прямыми, и оба модуля в нем мы раскроем с минусом. В «восточном» углу мы находимся под первой прямой и над второй: первый модуль раскроем с минусом, второй – с плюсом. В «западном» углу – соответственно, наоборот. Делаем!

Знаки снятия модулей
«Северный» угол:
$$y + 6 – x + y +6 +x = 12$$
$$2y=0$$
$$y=0$$
«Южный» угол:
$$-y – 6 + x – y -6 -x = 12$$
$$-y – 6 + x – y -6 -x = 12$$
$$-2y=24$$
$$y=-12$$
«Восточный» угол:
$$-y – 6 +x + y +6 +x = 12$$
$$2x=12$$
$$x=6$$
«Западный» угол:
$$y + 6 – x – y -6 -x = 12$$
$$-2x=12$$
$$x=-6$$
Вот и получился квадрат.
Второе уравнение – система окружностей, центры которых расположены симметрично, в точках с координатами $(8; 6), (-8; 6), (8; -6), (-8; -6)$. А радиус окружности переменный и равен $\sqrt{a}$.
Так как квадрат расположен ниже оси $x$, то две верхние окружности – в первом и втором квадрантах – не коснутся его, а вот две окружности, расположенные в третьем и четвертом квадрантах, при $a=4$ как раз коснутся квадрата. Значит, $a=4$ нам подходит.

Первое решение
Но есть еще одно решение! Так как каждая окружность живет строго в своем квадранте, то при $a=100$ пара верхних окружностей пройдут через точку $(0;0)$, а пара нижних – через точку $(0; -12)$, что также даст два решения:

Второе решение
Задача 20. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\mid \frac{5}{x} – 4 \mid = ax -1$$
на промежутке $(0; +\infty)$ имеет более двух корней.
Решение. Справа – прямая, проходящая через точку $(0;-1)$ и меняющая свой коэффициент наклона (пучок прямых). Слева – гипербола с коэффициентом $k=5$ и смещенная вниз на 4 единицы, причем вся та часть, которая окажется под осью $x$ – будет отражена наверх. Строим.

Построили то, что “внутри” модуля

Отразили вверх все, что ниже оси x
Теперь будем крутить прямую и искать такие ее положения, чтобы данный график ею был пересечен более двух раз.
При любых отрицательных $a$ решение одно – пересекаем левую ветвь. При $a=0$ решений нет.
При положительных $a$ появляется одно решение. Вплоть до момента, когда прямая пройдет через нижнюю точку графика (носик), будет одно решение.

a>0, но решение одно

Два решения, прямая проходит через “носик”
А в момент прохождения через носик – уже два. Но нас это все равно не устраивает, так как нам нужно более двух корней.
Определим абсциссу «носика»: ордината равна нулю.
$$0=\frac{5}{x} – 4$$
$$\frac{5}{x} = 4$$
$$x=\frac{5}{4}$$
Тогда подставим координаты «носика» в уравнение прямой:
$$0=a \cdot \frac{5}{4}-1$$
$$a=\frac{4}{5}$$
Это значение параметра нам не подойдет, но оно пограничное – следом за ним и вплоть до момента касания прямой и графика функции $y=4-\frac{5}{x}$. Приравняем ординаты, чтобы определить, при каком $a$ будет касание графиков:

Три решения
$$4-\frac{5}{x}= ax -1$$
$$4x-5= ax^2 -x$$
$$ax^2-5x+5=0$$

Касание – и два решения
При касании одна общая точка, значит, одно решение, значит, дискриминант равен нулю:
$$D=25-20a=0$$
$$a=\frac{5}{4}$$
Таким образом, три решения будут при $a \in (\frac{4}{5}; \frac{5}{4})$.
Ответ: $a \in (\frac{4}{5}; \frac{5}{4})$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...