Введение в параметры – 11

[latexpage]

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 19. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{Bmatrix}{ \mid y + 6 – x \mid + \mid y +6 +x \mid = 12}\\{(\mid x \mid – 8)^2 + (\mid y \mid – 6)^2 = a}. }\end{matrix}$$

имеет ровно два решения.

Решение. Первое уравнение задает квадрат со стороной 12. Убедимся в этом.

Если $y+6-x \geqslant 0$, то

$$y\geqslant x-6$$

То есть задана область над прямой $y=x-6$.

Если $y +6 +x\geqslant 0$, то

$$y\geqslant -x-6$$

Задана область над прямой $y=-x-6$. Изобразим обе прямые:

К задаче 19 – “служебные” прямые

Эти две прямые разбили нам плоскость на 4 угла. «Северный» угол расположен  над обеими прямыми: в этой области мы раскроем оба модуля с плюсом. «Южный» угол расположен под обеими прямыми, и оба модуля в нем мы раскроем с минусом. В «восточном» углу мы находимся под первой прямой и над второй: первый модуль раскроем с минусом, второй – с плюсом. В «западном» углу – соответственно, наоборот. Делаем!

Знаки снятия модулей

«Северный» угол:

$$y + 6 – x  + y +6 +x = 12$$

$$2y=0$$

$$y=0$$

«Южный» угол:

$$-y – 6 + x  – y -6 -x = 12$$

$$-y – 6 + x  – y -6 -x = 12$$

$$-2y=24$$

$$y=-12$$

«Восточный» угол:

$$-y – 6 +x  + y +6 +x = 12$$

$$2x=12$$

$$x=6$$

«Западный» угол:

$$y + 6 – x  – y -6 -x = 12$$

$$-2x=12$$

$$x=-6$$

Вот и получился квадрат.

Второе уравнение – система окружностей, центры которых расположены симметрично, в точках с координатами $(8; 6), (-8; 6), (8; -6), (-8; -6)$. А радиус окружности переменный и равен $\sqrt{a}$.

Так как квадрат расположен ниже оси $x$, то две верхние окружности – в первом и втором квадрантах – не коснутся его, а вот две окружности, расположенные в третьем и четвертом квадрантах, при $a=4$ как раз коснутся квадрата. Значит, $a=4$ нам подходит.

Первое решение

Но есть еще одно решение! Так как каждая окружность живет строго в своем квадранте, то при $a=100$ пара верхних окружностей пройдут через точку $(0;0)$, а пара нижних – через точку $(0; -12)$, что также даст два решения:

Второе решение

Задача 20. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\mid \frac{5}{x} – 4 \mid = ax -1$$

на промежутке $(0; +\infty)$ имеет более двух корней.

Решение. Справа – прямая, проходящая через точку $(0;-1)$ и меняющая свой коэффициент наклона (пучок прямых). Слева – гипербола с коэффициентом $k=5$ и смещенная вниз на 4 единицы, причем вся та часть, которая окажется под осью $x$ – будет отражена наверх. Строим.

Построили то, что “внутри” модуля

Отразили вверх все, что ниже оси x

Теперь будем крутить прямую и искать такие ее положения, чтобы данный график ею был пересечен более двух раз.

При любых отрицательных $a$ решение одно – пересекаем левую ветвь. При $a=0$ решений нет.

При положительных $a$ появляется одно решение. Вплоть до момента, когда прямая пройдет через нижнюю точку графика (носик), будет одно решение.

a>0, но решение одно

Два решения, прямая проходит через “носик”

А в момент прохождения через носик – уже два. Но нас это все равно не устраивает, так как нам нужно более двух корней.

Определим абсциссу «носика»: ордината равна нулю.

$$0=\frac{5}{x} – 4$$

$$\frac{5}{x} = 4$$

$$x=\frac{5}{4}$$

Тогда подставим координаты «носика» в уравнение прямой:

$$0=a \cdot \frac{5}{4}-1$$

$$a=\frac{4}{5}$$

Это значение параметра нам не подойдет, но оно пограничное – следом за ним и вплоть до момента касания прямой и графика функции $y=4-\frac{5}{x}$. Приравняем ординаты, чтобы определить, при каком $a$ будет касание графиков:

Три решения

$$4-\frac{5}{x}= ax -1$$

$$4x-5= ax^2 -x$$

$$ax^2-5x+5=0$$

Касание – и два решения

При касании одна общая точка, значит, одно решение, значит, дискриминант равен нулю:

$$D=25-20a=0$$

$$a=\frac{5}{4}$$

Таким образом, три  решения будут при $a \in (\frac{4}{5}; \frac{5}{4})$.

Ответ: $a \in (\frac{4}{5}; \frac{5}{4})$.