Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 10

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 17. На координатной плоскости xOy рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

    \[\begin{Bmatrix}{ y - x \geqslant \mid x + y \mid,}\\{\frac{x^2 +6x + y^2 + 8y}{3y - x - 6} \leqslant 0}. }\end{matrix}\]

Изобразите фигуру M и найдите ее площадь.

Решение. Преобразуем второе неравенство:

    \[\frac{x^2 +6x + y^2 + 8y}{3y - x - 6}  \leqslant 0\]

    \[\frac{x^2 +6x +9+ y^2 + 8y+16-25}{3y - x - 6}  \leqslant 0\]

    \[\frac{(x+3)^2+ (y+4)^2-25}{3y - x - 6}  \leqslant 0\]

В числителе уравнение окружности, в знаменателе – уравнение прямой. Окружность имеет центр в точке (-3; -4)  и радиус 5. Прямая определяется уравнением

    \[y=\frac{x+6}{3}\]

И является выколотой – во избежание равенства нулю знаменателя. Неравенство может быть переписано в виде двух систем:

    \[\begin{Bmatrix}{ (x+3)^2+ (y+4)^2-25\leqslant 0}\\{3y - x - 6> 0} }\end{matrix}\]

Или

    \[\begin{Bmatrix}{ (x+3)^2+ (y+4)^2-25\geqslant 0}\\{3y - x - 6< 0} }\end{matrix}\]

Истолковываем первую систему: имеем окружность и ее внутреннюю область, и область над прямой.

Истолковываем вторую систему: имеем внешнюю область (вне окружности), и область под прямой.

К задаче 17

Теперь обратимся к первому неравенству. Этому неравенству соответствуют координаты любой точки второго квадранта координатной плоскости. Установить это легко: в первом квадранте обе координаты любой точки положительны, имеем неравенство:

    \[y - x \geqslant x + y\]

    \[- x \geqslant x\]

    \[2x \leqslant 0\]

Что неверно.

Во втором квадранте координата x отрицательна,

    \[y - x \geqslant x + y\]

    \[y- x \geqslant y-x\]

Верно.

И так же проверяем третий и четвертый квадранты и понимаем, что нас устраивает только второй.

Площадь фигуры равна площади ABC

Теперь давайте определять площадь фигуры. Проведем AB и обратим внимание, что площадь закрашенной фигуры равна площади треугольника ABC. А эта площадь равна трем.

Ответ: 3.

Задача 18. Окружность, центр которой лежит на прямой y = b, пересекает параболу y = \frac{3}{4}x^2 хотя бы в трех точках: одна из этих точек начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой y = \frac{3}{4}x+b. Найдите все значения параметра b, при которых описанная конфигурация возможна.

К задаче 18

Решение. Пусть Q – центр окружности. Он, соответственно, имеет ординату b.  Точка A пересечения прямой с окружностью имеет координаты (x_1; y_1), точка B – координаты (x_2; y_2).

Вводим обозначения для удобства

В точке T прямая y = \frac{3}{4}x+b пересекает ось y, следовательно, ордината точки T равна b. Значит, отрезок QT параллелен оси x и является высотой треугольника OQC. Точка C имеет координаты (0; 2b), и треугольник QOC – равнобедренный.

Тангенс угла TAH равен

    \[\operatorname{tg}\angle (TAH)=\frac{3}{4}\]

Тогда его косинус и синус:

    \[\cos \angle (TAH)=\frac{4}{5}\]

    \[\sin \angle (TAH)=\frac{3}{5}\]

С другой стороны,

    \[\cos \angle (TAH)=\frac{AH}{AT}=\frac{4}{5}\]

Откуда

    \[AT=\frac{5}{4}AH=\frac{5x_1}{4}\]

В треугольнике TBL

    \[\frac{TL}{BT}=\frac{4}{5}\]

С другой стороны,

    \[\cos \angle (TAH)=\frac{TL}{BT}=\frac{4}{5}\]

    \[TL=\frac{4}{5}BT\]

    \[BT=\frac{5}{4}TL=\frac{5}{4}x_2\]

Теперь применим теорему о секущих в окружности. Согласно ей,

    \[CT\cdot TO=AT\cdot BT\]

Но CT=TO, поэтому

    \[CT^2= AT\cdot BT=\frac{5x_1}{4}\cdot \frac{5}{4}x_2=\frac{25}{16}x_1x_2\]

Или

    \[b^2=\frac{25}{16}x_1x_2\]

Осталось найти произведение x_1x_2. Парабола пересекает прямую, значит, можно приравнять их уравнения:

    \[\frac{3}{4}x^2=\frac{3}{4}x+b\]

    \[x^2-x-\frac{4}{3}b=0\]

Согласно теореме Виета x_1x_2=-\frac{4}{3}b, подставим:

    \[b^2=\frac{25}{16}x_1x_2=\frac{25}{16}\cdot \left(-\frac{4}{3}b\right)\]

    \[b=\frac{25}{12}\]

Ответ: b=\frac{25}{12}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *