Второй закон Ньютона: нити и блоки, подготовка к олимпиадам. 9 класс

[latexpage]

В статье собраны задачи, которые включают в себя не только прямолинейное движение тел под действием сил, но и вызванное этими силами движение по окружности. Поэтому понадобятся формулы, выражающие центростремительное ускорение через линейную и угловую скорости.

Задача 1. Груз, лежащий на столе, связан легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через идеальный блок, с грузом массой $m=0,25$ кг. На первый груз начала действовать горизонтальная постоянная сила $F$, равная по модулю 9 Н. Второй груз при этом начал двигаться с ускорением $a=2$ м/c$^{2}$, направленным вверх. Какова масса первого груза? Ответ выразить в кг, округлив до целых. Трением между грузом и поверхностью стола пренебречь.

К задаче 1

Решение.

Поскольку грузы связаны нерастяжимой нитью, их ускорения равны. Второй закон Ньютона для первого груза в проекции на горизонтальную ось приобретает вид $$F-T=M\cdot a,$$

где $M$ — искомая масса, а $T$ — сила натяжения нити. Для второго груза в проекции на вертикальную ось имеем:

$$T-mg=ma$$

Решая эту систему уравнений, получаем значение массы первого груза:

$$M=\frac{F-m\cdot (g+a)}{a}=3$$

Ответ: 3 кг.

Задача 2. Два тела массой $m=400$ г каждое, связанные нитью длиной $L=80$ см, движутся со скоростью $\upsilon=4$ м/с, направленной перпендикулярно нити, по гладкому горизонтальному столу. Середина нити натыкается на вбитый в стол гвоздь. Какова сила натяжения нити сразу после этого? Ответ дать в Ньютонах, округлив до целых.

Решение.

В момент касания нитью гвоздя скорости тел остаются прежними $\upsilon$, но траектория движения меняется на окружность радиуса $\frac{L}{2}$. Рассмотрим движение любого из грузов. Закон Ньютона в проекции на нить примет вид

$$m\frac{2\upsilon^2}{L}=T, $$

откуда

$$T=\frac{2m\cdot \upsilon^2}{L}=16$$

Ответ: 16 Н.

Задача 3. На карусели радиусом $R=5$ м на подвесах длиной $L=5$ м вращаются лодочки. Сколько оборотов в минуту должна делать карусель, чтобы лодочки отклонились от вертикали на $\alpha=30^{\circ}$? В ответ записать число оборотов, округлив до десятых.

Решение.

Лодочки вращаются по окружности, радиус которой $r=R+L\sin \alpha=7,5$ м.

Обозначим через $T$ силу натяжения подвеса, а через $\omega$ — угловую скорость карусели. Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную $(OX)$ и вертикальную $(OY)$ оси:

$$OX:  T\cdot \sin\alpha=m\cdot \omega^2\cdot r=m\cdot \omega^2(R+L\sin\alpha)$$

$$OY:  T\cdot \cos\alpha=mg$$

Разделив одно уравнение на другое, получим

$$\frac{\omega^2\cdot r }{g}=\operatorname{tg}{\alpha},$$

отсюда выразим $\omega$.

$$\omega=\sqrt{\frac{g\cdot \operatorname{tg}{\alpha}}{r}}.$$

И вот теперь можем записать

$$\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g\cdot \operatorname{tg}}{ R+L\sin\alpha }}\approx 0,14$$

Поскольку 0,14 об/с=8,4 об/мин

Ответ: 8,4 об/мин.

Задача 4. В аттракционе человек массой $m=70$ кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Каков радиус круговой траектории, если в верхней точке сила давления человека на сидение тележки равна $F=700$ Н при скорости движения тележки $\upsilon=20$ м/с? Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}$. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

При движении по окружности согласно второму закону Ньютона равнодействующая силы тяжести и силы упругости создает центростремительное ускорение. Сила $\vec P$ давления на сидение по третьему закону Ньютона равна по модулю силе $\vec N$ упругости, действующей на человека. Из второго закона Ньютона получается, что

$$ma=mg+N,$$

$$N=P.$$

«Раскрываем» центростремительное ускорение:

$$a=\frac{\upsilon^2}{R}.$$

Находим $R$:

$$R=\frac{\upsilon^2\cdot m}{mg+P}=20.$$

Ответ: 20 м.

Задача 5. Конец $A$ нити в системе, изображенной на рисунке, двигают в горизонтальном направлении вправо с некоторым ускорением. При каком максимальном значении ускорения $a$ груз массой $m_2$ не будет отрываться от подставки, а нить, к другому концу которой прикреплен груз массой $m_1$, будет оставаться натянутой? Нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. $m_2=4$ кг, $m_1=1$ кг.

Ответ дать в м/c$^{2}$, округлив до целых. $g=10$ м/c$^{2}$

К задаче 5

Решение.

Поскольку груз не отрывается от подставки, а нить нерастяжима, ускорение груза $m_1$ по модулю равно ускорению $a$ точки $A$ нити. В силу того, что нить и блоки невесомы, а трение отсутствует, сила натяжения вдоль всей нити одинакова. Обозначим ее через $T$. Запишем уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$$m_1a=T-m_1g.$$

На груз $m_2$ действует вверх удвоенная сила натяжения нити $2T$ и сила реакции подставки, а вниз – сила тяжести . Условие того, чтобы груз $m_2$ не отрывался от подставки при максимально возможном ускорении, имеет вид: $m_2g=2T.$ Подставив $T$ из первого уравнения в это неравенство, получаем:

$$a=g\left(\frac{m_2}{2m_1}-1\right)=10.$$

Ответ : 10 м/$c^{2}$

Задача 6. Полусферическая чаша радиусом $R=0,2$ м вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega=10$ c$^{-1}$. В чаше лежит шарик, вращающийся вместе с ней. В каком месте чаши он находится? Место определить как угол отклонения от вертикали. Ответ выразить в градусах, округлив до целых.

Решение.

В установившемся режиме шарик вращается по окружности радиуса

$$r=R\cdot \sin \alpha.$$

Из второго закона Ньютона

$$m\cdot \omega^2\cdot R\cdot \sin \alpha=m\cdot g\cdot \operatorname{tg}{\alpha},$$

откуда

$$\alpha=\arccos{\frac{g}{\omega^2\cdot R}}=\arccos{\frac{1}{2}}=60^{\circ}.$$

Ответ: $60^{\circ}.$

Задача 7. Шарик массой $m=100$ г, подвешенный на нити длиной $L$, приведен во вращательное движение в горизонтальной плоскости. Какова должна быть прочность нити $F$, чтобы радиус $R$ окружности, по которой движется шарик, стал равным $\frac{\sqrt 3}{2}L$? Ответ выразить в Н, округлив до целых. Считать, что $g=10$ м/c$^{2}$

Решение.

Шарик движется равномерно по окружности под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Можно записать, что

$$ mg=T\cos \alpha$$

А

$$ma=T\sin \alpha$$

И понятно, что первого уравнения, в общем, достаточно:

$$T=\frac{mg}{\cos \alpha},$$

где

$$\cos \alpha=\frac{\sqrt{L^2-R^2}}{L},$$

откуда окончательно получим, что

$$T=2mg=2.$$

Ответ: 2 Н.