Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Второй закон Ньютона, Олимпиадная физика

Второй закон Ньютона: нити и блоки, подготовка к олимпиадам. 9 класс

В статье собраны задачи, которые включают в себя не только прямолинейное движение тел под действием сил, но и вызванное этими силами движение по окружности. Поэтому понадобятся формулы, выражающие центростремительное ускорение через линейную и угловую скорости.

Задача 1. Груз, лежащий на столе, связан легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через идеальный блок, с грузом массой m=0,25 кг. На первый груз начала действовать горизонтальная постоянная сила F, равная по модулю 9 Н. Второй груз при этом начал двигаться с ускорением a=2 м/c^{2}, направленным вверх. Какова масса первого груза? Ответ выразить в кг, округлив до целых. Трением между грузом и поверхностью стола пренебречь.

К задаче 1

Решение.

Поскольку грузы связаны нерастяжимой нитью, их ускорения равны. Второй закон Ньютона для первого груза в проекции на горизонтальную ось приобретает вид

    \[F-T=M\cdot a,\]

где M — искомая масса, а T — сила натяжения нити. Для второго груза в проекции на вертикальную ось имеем:

    \[T-mg=ma\]

Решая эту систему уравнений, получаем значение массы первого груза:

    \[M=\frac{F-m\cdot (g+a)}{a}=3\]

Ответ: 3 кг.

 

Задача 2. Два тела массой m=400 г каждое, связанные нитью длиной L=80 см, движутся со скоростью \upsilon=4 м/с, направленной перпендикулярно нити, по гладкому горизонтальному столу. Середина нити натыкается на вбитый в стол гвоздь. Какова сила натяжения нити сразу после этого? Ответ дать в Ньютонах, округлив до целых.

Решение.

В момент касания нитью гвоздя скорости тел остаются прежними \upsilon, но траектория движения меняется на окружность радиуса \frac{L}{2}. Рассмотрим движение любого из грузов. Закон Ньютона в проекции на нить примет вид

    \[m\frac{2\upsilon^2}{L}=T,\]

откуда

    \[T=\frac{2m\cdot \upsilon^2}{L}=16\]

Ответ: 16 Н.

Задача 3. На карусели радиусом R=5 м на подвесах длиной L=5 м вращаются лодочки. Сколько оборотов в минуту должна делать карусель, чтобы лодочки отклонились от вертикали на \alpha=30^{\circ}? В ответ записать число оборотов, округлив до десятых.

Решение.

Лодочки вращаются по окружности, радиус которой r=R+L\sin \alpha=7,5 м.

Обозначим через T силу натяжения подвеса, а через \omega — угловую скорость карусели. Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную (OX) и вертикальную (OY) оси:

    \[OX:  T\cdot \sin\alpha=m\cdot \omega^2\cdot r=m\cdot \omega^2(R+L\sin\alpha)\]

    \[OY:  T\cdot \cos\alpha=mg\]

Разделив одно уравнение на другое, получим

    \[\frac{\omega^2\cdot r }{g}=\operatorname{tg}{\alpha},\]

отсюда выразим \omega.

    \[\omega=\sqrt{\frac{g\cdot \operatorname{tg}{\alpha}}{r}}.\]

И вот теперь можем записать

    \[\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g\cdot \operatorname{tg}}{ R+L\sin\alpha }}\approx 0,14\]

Поскольку 0,14 об/с=8,4 об/мин

Ответ: 8,4 об/мин.

 

Задача 4. В аттракционе человек массой m=70 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. Каков радиус круговой траектории, если в верхней точке сила давления человека на сидение тележки равна F=700 Н при скорости движения тележки \upsilon=20 м/с? Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

При движении по окружности согласно второму закону Ньютона равнодействующая силы тяжести и силы упругости создает центростремительное ускорение. Сила \vec P давления на сидение по третьему закону Ньютона равна по модулю силе \vec N упругости, действующей на человека. Из второго закона Ньютона получается, что

    \[ma=mg+N,\]

    \[N=P.\]

«Раскрываем» центростремительное ускорение:

    \[a=\frac{\upsilon^2}{R}.\]

Находим R:

    \[R=\frac{\upsilon^2\cdot m}{mg+P}=20.\]

Ответ: 20 м.

Задача 5. Конец A нити в системе, изображенной на рисунке, двигают в горизонтальном направлении вправо с некоторым ускорением. При каком максимальном значении ускорения a груз массой m_2 не будет отрываться от подставки, а нить, к другому концу которой прикреплен груз массой m_1, будет оставаться натянутой? Нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. m_2=4 кг, m_1=1 кг.

Ответ дать в м/c^{2}, округлив до целых. g=10 м/c^{2}

К задаче 5

Решение.

Поскольку груз не отрывается от подставки, а нить нерастяжима, ускорение груза m_1 по модулю равно ускорению a точки A нити. В силу того, что нить и блоки невесомы, а трение отсутствует, сила натяжения вдоль всей нити одинакова. Обозначим ее через T. Запишем уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

    \[m_1a=T-m_1g.\]

На груз m_2 действует вверх удвоенная сила натяжения нити 2T и сила реакции подставки, а вниз – сила тяжести . Условие того, чтобы груз m_2 не отрывался от подставки при максимально возможном ускорении, имеет вид: m_2g=2T. Подставив T из первого уравнения в это неравенство, получаем:

    \[a=g\left(\frac{m_2}{2m_1}-1\right)=10.\]

Ответ : 10 м/c^{2}

 

Задача 6. Полусферическая чаша радиусом R=0,2 м вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью \omega=10 c^{-1}. В чаше лежит шарик, вращающийся вместе с ней. В каком месте чаши он находится? Место определить как угол отклонения от вертикали. Ответ выразить в градусах, округлив до целых.

Решение.

В установившемся режиме шарик вращается по окружности радиуса

    \[r=R\cdot \sin \alpha.\]

Из второго закона Ньютона

    \[m\cdot \omega^2\cdot R\cdot \sin \alpha=m\cdot g\cdot \operatorname{tg}{\alpha},\]

откуда

    \[\alpha=\arccos{\frac{g}{\omega^2\cdot R}}=\arccos{\frac{1}{2}}=60^{\circ}.\]

Ответ: 60^{\circ}.

 

Задача 7. Шарик массой m=100 г, подвешенный на нити длиной L, приведен во вращательное движение в горизонтальной плоскости. Какова должна быть прочность нити F, чтобы радиус R окружности, по которой движется шарик, стал равным \frac{\sqrt 3}{2}L? Ответ выразить в Н, округлив до целых. Считать, что g=10 м/c^{2}

Решение.

Шарик движется равномерно по окружности под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Можно записать, что

    \[mg=T\cos \alpha\]

А

    \[ma=T\sin \alpha\]

И понятно, что первого уравнения, в общем, достаточно:

    \[T=\frac{mg}{\cos \alpha},\]

где

    \[\cos \alpha=\frac{\sqrt{L^2-R^2}}{L},\]

откуда окончательно получим, что

    \[T=2mg=2.\]

Ответ: 2 Н.

 

Комментариев - 8

  • Стас
    |

    Почему в 5-ой задаче не учитывается сила натяжения нити под средним блоком? Как может сила реакции подставки для нижнего груза направлена через нить?

    Ответить
    • Анна
      |

      Под средним блоком действует сила m_2g.

      Ответить
  • Стас
    |

    Но нить ведь тоже есть и она натянута!

    Ответить
    • Анна
      |

      Конечно, натянута. Можно обозначить эту силу как Q. Тогда Q=2T, Q=m_2g, 2T=m_2g. Такие подробности обычно опускают, ведь понятно, что если нить и блок невесомы, можно эту нить укоротить до нуля и тогда груз будет непосредственно крепиться к блоку.

      Ответить
  • Стас
    |

    Не совсем понятно… Почему тогда другие нити не укорачивают до нуля и учитывают в них силу натяжения? Может тут просто надо учитывать только ту часть нити, которая движется?

    Ответить
    • Анна
      |

      Вот, например, первая задача. Никто не пишет, что на стержень действуют силы натяжения нитей, сразу используют силы тяжести. https://easy-physic.ru/statika-pravilo-momentov-3/

      Ответить
      • Анна
        |

        https://easy-physic.ru/podgotovka-k-olimpiadam-pravilo-momentov-8-klass/ – аналогично, груз массой M действует с силой Mg, силу натяжения нити опустили. Но другие силы натяжения, без обозначения и применения которых не обойтись, обязательно и обозначают, и используют при составлении уравнений.

        Ответить
  • Анна
    |

    Ну, положим, эта нить по условию не движется.

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *