Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи, Олимпиадная физика

Кинематические связи, 10 класс. Олимпиадная подготовка.

В статье предложена подборка задач для олимпиадной подготовки десятиклассников по теме “Второй закон Ньютона”, “Кинематические связи”.

 

Задача 1. Два бруска с массами m=250 г и 3m соединенные перекинутой через идеальный блок невесомой нерастяжимой нитью, покоятся на горизонтальной поверхности (см. рисунок). Участки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны. Известно, что коэффициенты трения нижнего бруска о плоскость и между брусками одинаковы и равны \mu=0,5. С каким ускорением начнет двигаться нижний брусок, если потянуть его вдоль поверхности от блока с силой F=10 Н? Ускорение свободного падения считать равным g=10 м/с^{2}. Ответ выразить в м/с^{2}, округлив до десятых.

К задаче 1

Решение.

Если сила F достаточна для того, чтобы привести бруски в движение, силы трения будут равны своему максимальному значению: сила трения между брусками равна F_1=\mu mg, а сила трения между нижним бруском и плоскостью F_2=\mu(m+3m)g=4\mu mg. Запишем уравнения движения брусков в проекции на горизонтальную ось:

    \[\begin{Bmatrix}{ma=\mu mg-T\qquad\qquad\quad}\\{3mA=F-T-4\mu mg-\mu mg}\end{matrix}\]

(здесь A и a – ускорения нижнего и верхнего брусков, а T – сила натяжения нити). Кроме того, поскольку нить нерастяжима, ускорения брусков связаны уравнением кинематической связи a=-A. Подставляя его в первое из уравнений движения, выразим силу натяжения через A:\quad T=\mu mg+mA. После этого из второго уравнения находим

    \[A=\frac{F-6\mu mg}{4m}.\]

При F<6\mu mg эта формула дает отрицательные значения ускорения, что физически бессмысленно. Очевидно, это означает, что при такой величине силы бруски не придут в движение из-за трения. В нашем случае F>6\mu mg=7,5 Н. Поэтому ускорение нижнего бруска A=\frac{F-6\mu mg}{4m}=2,5 м/с^2.

Ответ: 2,5 м/с^2.

 

Задача 2. Самолет совершает «мертвую петлю», двигаясь в вертикальной плоскости со скоростью \upsilon=360 км/ч. Чему равен радиус петли, если в верхней точке траектории летчик испытывает состояние невесомости? Ответ дать в метрах, округлив до целых. Считать, что g=10 м/с^{2}.

Решение.

При движении по окружности второй закон Ньютона, записанный для лётчика, имеет вид

    \[\frac{m\cdot\upsilon^2}{R}=N+mg,\]

где N — сила реакции опоры, действующая на лётчика со стороны кресла. Сила тяжести вместе с силой реакции заставляют двигаться лётчика по окружности. В состоянии невесомости N=0, откуда

    \[\frac{m\cdot\upsilon^2}{R}=mg,\]

откуда

    \[R=\frac{\upsilon^2}{g}=1000.\]

Ответ: 1000 м.

Задача 3. Найти ускорение рамы массы M=350 г в системе, показанной на рисунке. Трение между грузом массы m=180 г и рамой отсутствует. Блок идеальный, нить нерастяжима и невесома. Коэффициент трения между рамой и горизонтальной поверхностью \mu=0,25. Ускорение свободного падения принять равным g\approx 9,8 м/с^2. Ответ выразить в дм/с^2, округлив до целых.

К задаче 3

Решение.

Направим ось x горизонтально влево, а ось y — вертикально вниз. Запишем уравнения движения рамы в проекции на ось x и груза — в проекции на оси x и y:

    \[\begin{Bmatrix} {M\cdot a^*=T-N-F_{mp}}\\ {m\cdot a_x=N\qquad\qquad~~}\\ {m\cdot a_y=mg-T\qquad} \end{matrix}\]

Расставили силы в на раму и груз

T — сила натяжения нити, N — сила нормальной реакции рамы, действующая на груз. Учтем, что при движении рамы (то есть при a^*>0) сила трения скольжения F_{mp}=\mu\cdot(M\cdot g+T).

Заметим также, что при смещении рамы на расстояние \Delta X груз должен сместиться по обеим осям ровно на такое же расстояние: поскольку груз прижат к вертикальной поверхности рамы, то \Delta x=\Delta X, поскольку длина нити неизменна, то \Delta y=\Delta X. Следовательно, уравнения кинематической связи имеют вид a_x=a_y=a^*.

С учетом этого находим, что T=m\cdot(g-a^*), N=m\cdot a^*, F_{mp}=\mu[M\cdot g+m\cdot(g-a^*)]. Подставив эти соотношения в уравнение движения рамы, найдем:

    \[M\cdot a^*=m\cdot(g-2a^*)-\mu\cdot[M\cdot g+m\cdot(g-a^*)]\]

    \[\Downarrow\]

    \[[M+(2-\mu)\cdot m]a^*=[m-\mu\cdot(M+m)]\cdot g,\]

то есть

    \[a^*=\frac{m-\mu\cdot(M+m)}{M+(2-\mu)\cdot m}\cdot g\approx0,7.\]

Отметим, что ускорение рамы получилось положительным, то есть при значениях параметров системы, заданных в условии, рама действительно движется.

Ответ: 0,7 м/с^2.

 

Задача 4. Какую силу надо прикладывать к невесомому блоку, чтобы он двигался вверх с ускорением a=2 м/с^2? Масса правого груза m=1 кг, а левого 2m. Ответ дать Ньютонах, округлив до целых. Считать, что g=10 м/с^2.

К задаче 4

Решение.

Так как нить нерастяжима, то кинематическая связь на ускорения будет иметь вид: a=\frac{a_1+a_2}{2}, где a_1 и a_2 — проекции ускорений соответствующих грузов на вертикальную ось. Запишем уравнения движения грузов в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

    \[\begin{Bmatrix}{m\cdot a_1=T-mg\quad}\\{2m\cdot a_2=T-2mg}\end{matrix}\]

Решая систему уравнений относительно T, получим, что

    \[T=\frac{4m\cdot(a+g)}{3}\]

Так как блок невесом, то

    \[F=2T=\frac{8m\cdot(a+g)}{3}=32.\]

Ответ: 32 Н.

Задача 5. Конец  нити в системе, изображенной на рисунке, двигают в горизонтальном направлении вправо с некоторым ускорением. При каком максимальном значении ускорения a груз массой m_2 не будет отрываться от подставки, а нить, к другому концу которой прикреплен груз массой m_1, будет оставаться натянутой? Нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. m_2=4 кг, m_1=1 кг.

Ответ дать в м/с^2, округлив до целых. g=10 м/с^2.

К задаче 5

Решение.

Поскольку груз не отрывается от подставки, а нить не растяжима, ускорение груза m_1 по модулю равно ускорению a точки  нити, в силу того, что нить и блоки невесомы, а трение отсутствует, сила натяжения вдоль всей нити одинакова. Обозначим ее через T. Запишем уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: m_1a=T-m_1g.

На груз m_2 действует вверх удвоенная сила натяжения нити 2T и сила реакции подставки, а вниз – сила тяжести. Условие того, чтобы груз m_2 не отрывался от подставки при максимально возможном ускорении, имеет вид: m_2g=2T. Подставив T из первого уравнения в это равенство, получаем:

    \[a=g\left(\frac{m_2}{2m_1}-1\right)=10.\]

Ответ: 10 м/с^2.

 

Задача 6. Стержень длиной L=30 см лежит на горизонтальном полу. Коэффициент трения между ними \mu=0,2. На один из концов стержня вдоль его оси начинает действовать постоянная сила F=24 Н. Чему равна сила натяжения в поперечном сечении стержня, находящемся на расстоянии \frac{L}{3} от этого конца? Ответ дать в Н, округлив до целых.

К задаче 6

Решение.

Второй закон Ньютона для всего стержня в проекции на горизонтальную ось имеет вид ma=F-\mu mg. Для передней части, которая имеет массу \frac{2}{3}m  он имеет вид \frac{2}{3}ma=T-\frac{2}{3}\mu mg.

Выходит, что T=\frac{2}{3}F=16 Н.

Ответ: 16 Н.

Комментариев - 6

  • Грач
    |

    Здравствуйте Почему в Первой Задаче Мы берем 6umg?. Когда между полом и нижним препятствием оно равно 4umg А между верхним и нижним umg И того 5umg.

    Ответить
    • Анна
      |

      Потому что уравнения вычли друг из друга.

      Ответить
  • Грач
    |

    Но если Вычли Тогда -T В верху Должен Был Стать +T Так ведь?

    Ответить
    • Анна
      |

      Из первого вычли второе. Сила натяжения нити исчезла.

      Ответить
  • Грач
    |

    Хочу Сказать Что получим 2ma А не 4ma

    Ответить
    • Анна
      |

      Именно 4. Учите математику.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *