Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Вторая экваториальная система координат и другие задачи.

Несколько интересных задач по астрономии прислала ученица. Публикую решения.

Задача 1. Спутник Урана Ариэль вращается вокруг Урана с периодом приблизительно 2,5 земных суток, а большая полуось его орбиты составляет 191 тыс. км. Найдите большую полуось орбиты спутника Титания, если период его обращения вокруг Урана равен 8,7 земных суток.

Решение: для решения используем третий закон Кеплера.

    \[\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}\]

Выразим a_2 – большую полуось орбиты спутника Титания.

    \[a_2^3=\frac{a_1^3 T_2^2}{ T_1^2}\]

    \[a_2 =a_1 \sqrt[3]{\frac{ T_2^2}{ T_1^2}}\]

Подставим:

    \[a_2 =191\sqrt[3]{\frac{ 8,7^2}{ 2,5^2}}=438,6\]

Ответ: 438,6 тыс. км.

 

Задача 2. 9 июля 2019 года Сатурн находился в противоположном Солнцу направлении. Период обращения Земли вокруг Солнца равен 365 земных суток, а Сатурна – 10759 земных суток. Средний радиус орбиты Сатурна равен 9,58 а.е. В какой день Сатурн находился на угловом расстоянии , если считать орбиты планет окружностями?

К задаче 2.

Решение. На рисунке показано первоначальное положение планет и Солнца и новое, когда Сатурн находится в так называемой «восточной элонгации».

Определим угловую скорость Земли в градусах в сутки:

    \[\omega_E=\frac{\Phi}{T_E}=\frac{360^{\circ}}{365}=0,9863\]

И Сатурна (в градусах в сутки):

    \[\omega_S=\frac{\Phi}{T_S}=\frac{360^{\circ}}{10759}=0,0335\]

Земля «убегает» от Сатурна, так как ее угловая скорость больше. То есть задача превращается в задачу на движение вдогонку. Угловая скорость сближения равна

    \[\omega=\omega_E-\omega_S=0,9863-0,0335=0,9528\]

Определим, какой угол должен быть между направлением Земля-Солнце и направлением Сатурн-Солнце. Косинус этого угла

    \[\cos \alpha=\frac{1}{9,58}=0,1044\]

Сам угол равен

    \[\alpha=\arccos(0,1044)=84^{\circ}\]

Время удаления в сутках  равно

    \[t=\frac{\alpha }{\omega }=\frac{84}{0,9528}=88,2\]

Таким образом, от первого положения до второго, изображенного на рисунке пройдет 88 суток. Осталось посчитать, какая будет дата через 88 дней после 9 июля. Пройдет 22 дня в июле, 31 в августе, 30 в сентябре и 5 в октябре. Таким образом, указанная конфигурация получится 5 октября.

Ответ: 5 октября.

Задача 3. На рисунке показано, как ориентирована земная ось, небесный экватор и эклиптика (красная линия) для наблюдателя в средних широтах. Куда смещена точка восхода Солнца относительно географического востока вблизи даты 5 мая? Как изменяются прямое восхождение и склонение?

К задаче 3

Место восхода и захода Солнца, а следовательно, и его азимут изо дня в день изменяются. Начиная с 21 марта (когда Солнце восходит в точке востока, а заходит в точке запада) по 23 сентября восход Солнца наблюдается в норд-остовой четверти, а заход — в норд-вестовой. В точке весеннего равноденствия прямое восхождение и склонение Солнца равны нулю. Обе эти величины после 21 марта увеличиваются. Прямое восхождение Солнца меняется на 59',2 за сутки. До 5 мая (с 21 марта) пройдет 10 дней марта, 30 – апреля, и 5 – мая. Всего 45 дней. Прямое восхождение, таким образом, изменится на 44,4^{\circ}. Прямое восхождение будет увеличиваться и после 22 июня – дня летнего солнцестояния.

Склонение Солнца будет расти, но неравномерно. Изменение склонения за сутки принимают равным 0,4^{\circ} в течение одного месяца до равноденствия и одного месяца после, а изменение 0,1^{\circ} в течение одного месяца до солнцестояний и одного месяца после солнцестояний; все остальное время изменение склонения Солнца принимают равным 0,3^{\circ}. Таким образом, 30 дней после 21 марта склонение увеличивается по 0,4^{\circ} в сутки, затем 15 дней по 0,3^{\circ} в сутки – итого

    \[\delta =30\cdot0,4^{\circ}+15\cdot0,3^{\circ}=16,5^{\circ}\]

После прохождения точки летнего солнцестояния склонение Солнца будет уменьшаться.

Максимальная высота Солнца для широты Петербурга на 5 мая

    \[h_{max}=\delta +90^{\circ}-\varphi=16,5^{\circ}+90^{\circ}-60^{\circ}=46,5^{\circ}\]

Ответ: прямое восхождение на 5 мая \delta =16,5^{\circ}, высота Солнца для широты Петербурга на 5 мая h_{max}=46,5^{\circ}. Восход Солнца наблюдается в норд-остовой четверти.

Задача 4. Ось собственного вращения земли наклонена по отношению к оси вращения под углом 23^{\circ} 26'' 14'. Наблюдатель находится в точке 50^{\circ} северной широты. Найти высоту Солнца над горизонтом в дни зимнего и летнего солнцестояния с точностью до угловой секунды.

Решение. Высота Солнца летом

    \[h_{max1}=\delta +90^{\circ}-\varphi=23^{\circ} 26'' 14'+90^{\circ}-50^{\circ}=73^{\circ} 26' 14''\]

Высота зимой

    \[h_{max2}=-\delta +90^{\circ}-\varphi=-23^{\circ} 26'' 14'+90^{\circ}-50^{\circ}=16^{\circ} 33' 46''\]

Ответ: 73^{\circ} 26' 14'', 16^{\circ} 33' 46''.

 

Задача 5. Северный полярный круг – это граница области, куда в любое время суток не попадает солнечный свет в день зимнего солнцестояния. Сделайте рисунок, на котором изобразите Землю, ход солнечных лучей и полярный круг. Определите северную широту параллели, на которой расположен Северный полярный круг.

К задаче 5

    \[\varphi= 90^{\circ}-\delta =90^{\circ}-23^{\circ} 26' 14''=66^{\circ} 33' 46''\]

Ответ: 66^{\circ} 33' 46''

Задача 6. Приведите в соответствие координаты звезд в экваториальной системе координат и время и место, откуда они видны. Координаты Солнца в это время равны  \delta =0^{\circ} 0', прямое восхождение 0 (точка весеннего равноденствия). Ответ объясните.

Звезда 1 благодаря высоте +77^{\circ}, видна ночью в северном полушарии – Г. Звезда 2 находится в южном полушарии (склонение отрицательно), поэтому она видна ночью в южном полушарии – Д. Звезда 3 находится почти в том же месте неба, что и Солнце, и поэтому не видна из-за солнечного света – А. Звезда 4 поднимается очень невысоко над горизонтом – всего на 4 градуса, и на три часа отстоит от солнца – видна в обоих полушариях на закате (В). Звезда 5 имеет малое отрицательное склонение, она видна на рассвете в обоих полушариях – Б.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *