Вторая экваториальная система координат и другие задачи.

[latexpage]

Несколько интересных задач по астрономии прислала ученица. Публикую решения.

Задача 1. Спутник Урана Ариэль вращается вокруг Урана с периодом приблизительно 2,5 земных суток, а большая полуось его орбиты составляет 191 тыс. км. Найдите большую полуось орбиты спутника Титания, если период его обращения вокруг Урана равен 8,7 земных суток.

Решение: для решения используем третий закон Кеплера.

$$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$$

Выразим $a_2$ – большую полуось орбиты спутника Титания.

$$ a_2^3=\frac{a_1^3 T_2^2}{ T_1^2}$$

$$ a_2 =a_1 \sqrt[3]{\frac{ T_2^2}{ T_1^2}}$$

Подставим:

$$ a_2 =191\sqrt[3]{\frac{ 8,7^2}{ 2,5^2}}=438,6$$

Ответ: 438,6 тыс. км.

Задача 2. 9 июля 2019 года Сатурн находился в противоположном Солнцу направлении. Период обращения Земли вокруг Солнца равен 365 земных суток, а Сатурна – 10759 земных суток. Средний радиус орбиты Сатурна равен 9,58 а.е. В какой день Сатурн находился на угловом расстоянии , если считать орбиты планет окружностями?

К задаче 2.

Решение. На рисунке показано первоначальное положение планет и Солнца и новое, когда Сатурн находится в так называемой «восточной элонгации».

Определим угловую скорость Земли в градусах в сутки:

$$\omega_E=\frac{\Phi}{T_E}=\frac{360^{\circ}}{365}=0,9863$$

И Сатурна (в градусах в сутки):

$$\omega_S=\frac{\Phi}{T_S}=\frac{360^{\circ}}{10759}=0,0335$$

Земля «убегает» от Сатурна, так как ее угловая скорость больше. То есть задача превращается в задачу на движение вдогонку. Угловая скорость сближения равна

$$\omega=\omega_E-\omega_S=0,9863-0,0335=0,9528$$

Определим, какой угол должен быть между направлением Земля-Солнце и направлением Сатурн-Солнце. Косинус этого угла

$$\cos \alpha=\frac{1}{9,58}=0,1044$$

Сам угол равен

$$\alpha=\arccos(0,1044)=84^{\circ}$$

Время удаления в сутках  равно

$$t=\frac{\alpha }{\omega }=\frac{84}{0,9528}=88,2$$

Таким образом, от первого положения до второго, изображенного на рисунке пройдет 88 суток. Осталось посчитать, какая будет дата через 88 дней после 9 июля. Пройдет 22 дня в июле, 31 в августе, 30 в сентябре и 5 в октябре. Таким образом, указанная конфигурация получится 5 октября.

Ответ: 5 октября.

Задача 3. На рисунке показано, как ориентирована земная ось, небесный экватор и эклиптика (красная линия) для наблюдателя в средних широтах. Куда смещена точка восхода Солнца относительно географического востока вблизи даты 5 мая? Как изменяются прямое восхождение и склонение?

К задаче 3

Место восхода и захода Солнца, а следовательно, и его азимут изо дня в день изменяются. Начиная с 21 марта (когда Солнце восходит в точке востока, а заходит в точке запада) по 23 сентября восход Солнца наблюдается в норд-остовой четверти, а заход — в норд-вестовой. В точке весеннего равноденствия прямое восхождение и склонение Солнца равны нулю. Обе эти величины после 21 марта увеличиваются. Прямое восхождение Солнца меняется на $59’,2$ за сутки. До 5 мая (с 21 марта) пройдет 10 дней марта, 30 – апреля, и 5 – мая. Всего 45 дней. Прямое восхождение, таким образом, изменится на $44,4^{\circ}$. Прямое восхождение будет увеличиваться и после 22 июня – дня летнего солнцестояния.

Склонение Солнца будет расти, но неравномерно. Изменение склонения за сутки принимают равным $0,4^{\circ}$ в течение одного месяца до равноденствия и одного месяца после, а изменение $0,1^{\circ}$ в течение одного месяца до солнцестояний и одного месяца после солнцестояний; все остальное время изменение склонения Солнца принимают равным $0,3^{\circ}$. Таким образом, 30 дней после 21 марта склонение увеличивается по $0,4^{\circ}$ в сутки, затем 15 дней по $0,3^{\circ}$ в сутки – итого

$$\delta =30\cdot0,4^{\circ}+15\cdot0,3^{\circ}=16,5^{\circ}$$

После прохождения точки летнего солнцестояния склонение Солнца будет уменьшаться.

Максимальная высота Солнца для широты Петербурга на 5 мая

$$h_{max}=\delta +90^{\circ}-\varphi=16,5^{\circ}+90^{\circ}-60^{\circ}=46,5^{\circ}$$

Ответ: прямое восхождение на 5 мая $\delta =16,5^{\circ}$, высота Солнца для широты Петербурга на 5 мая $h_{max}=46,5^{\circ}$. Восход Солнца наблюдается в норд-остовой четверти.

Задача 4. Ось собственного вращения земли наклонена по отношению к оси вращения под углом $23^{\circ} 26’’ 14’$. Наблюдатель находится в точке $50^{\circ}$ северной широты. Найти высоту Солнца над горизонтом в дни зимнего и летнего солнцестояния с точностью до угловой секунды.

Решение. Высота Солнца летом

$$h_{max1}=\delta +90^{\circ}-\varphi=23^{\circ} 26’’ 14’+90^{\circ}-50^{\circ}=73^{\circ} 26’ 14’’$$

Высота зимой

$$h_{max2}=-\delta +90^{\circ}-\varphi=-23^{\circ} 26’’ 14’+90^{\circ}-50^{\circ}=16^{\circ} 33’ 46’’$$

Ответ: $73^{\circ} 26’ 14’’$, $16^{\circ} 33’ 46’’$.

Задача 5. Северный полярный круг – это граница области, куда в любое время суток не попадает солнечный свет в день зимнего солнцестояния. Сделайте рисунок, на котором изобразите Землю, ход солнечных лучей и полярный круг. Определите северную широту параллели, на которой расположен Северный полярный круг.

К задаче 5

$$\varphi= 90^{\circ}-\delta =90^{\circ}-23^{\circ} 26’ 14’’=66^{\circ} 33’ 46’’$$

Ответ: $66^{\circ} 33’ 46’’$

Задача 6. Приведите в соответствие координаты звезд в экваториальной системе координат и время и место, откуда они видны. Координаты Солнца в это время равны  $\delta =0^{\circ} 0’$, прямое восхождение 0 (точка весеннего равноденствия). Ответ объясните.

Звезда 1 благодаря высоте $+77^{\circ}$, видна ночью в северном полушарии – Г. Звезда 2 находится в южном полушарии (склонение отрицательно), поэтому она видна ночью в южном полушарии – Д. Звезда 3 находится почти в том же месте неба, что и Солнце, и поэтому не видна из-за солнечного света – А. Звезда 4 поднимается очень невысоко над горизонтом – всего на 4 градуса, и на три часа отстоит от солнца – видна в обоих полушариях на закате (В). Звезда 5 имеет малое отрицательное склонение, она видна на рассвете в обоих полушариях – Б.