Вступительный экзамен в лицей НИУ ВШЭ, вторая часть демонстрационной версии 2018

В этой статье мы рассмотрим задачи вступительного экзамена в лицей НИУ ВШЭ, вторую часть демонстрационной версии 2018. Первая часть – совсем простая, я не стала выставлять решения. Однако тем, кто сдает, могу порекомендовать отнестись к ней крайне внимательно: экзаменаторы часто предпочтение отдают абитуриентам “с крепкой базой” – тем, кто решает простые задания безошибочно, потому что навыки решения доведены до автоматизма. То есть желательно решить обе части, первую при этом – без ошибок.

Задание 1. Найдите все значения , для каждого из которых имеет смысл выражение:

Так как в знаменателе сумма двух неотрицательных величин, заботиться о не равенстве знаменателя нулю не нужно (проверим это позже).

Проследим, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

Точки смены знака первого неравенства – и , второго – и . Решение первого неравенства , второго – .

Наложим решения одно на другое, решение системы . Однако точка 2 – общее решение обоих неравенств, она обратит в ноль оба корня и весь знаменатель. Поэтому ее надо из решения выбросить, остается .

Ответ: .

Задание 2. В начале первого года в банк был внесен вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. Известно, что доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения, если процентная ставка по вкладу остается постоянной в течение всего срока хранения, и вкладчик не будет проводить операций по вкладу?

По увеличению суммы вклада за первый год сразу определяем процент: 10%. То есть в конце второго года сумма опять вырастет на 10%, однако начисляться они будут на сумму 2200, поэтому составят 220 руб. Поэтому третий год в банке будет находиться сумма 2420 рублей, и в конце на нее снова начислят 10% – еще 242 рубля. В итоге за три года сумма вклада выросла на 200+220+242=662 рубля.

Ответ: 662 р.

Задание 3. Найдите значение параметра такое, что система уравнений

имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек , найдите графически точку пересечения прямой  и отрезка . В ответе укажите значение параметра и координаты точки пересечения.

Данная система уравнений задает две прямые. Первая

Вторая

Чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпасть. Для этого у них должен оказаться равным коэффициент наклона, а также и свободный член:

Следовательно, у нас

Откуда

Но

Тогда обе прямые задаются уравнением:

Отрезок вертикально расположен, вдоль прямой . Если подставить это значение в уравнение прямой, получим вторуб координату точки пересечения:

Построим прямую и отрезок и покажем, что вычисления верны:

Рисунок 1

Ответ: , координаты точки пересечения (-2;2).

Задание 4. Окружность с центром в точке вписана в равнобедренную трапецию с боковой стороной .

1) Докажите, что треугольник прямоугольный.

2) Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4.

Рисунок 2

Окружность вписана в угол , поэтому ее центр лежит на биссектрисе угла , и –  биссектриса. Аналогично, окружность вписана в угол и, следовательно, – тоже биссектриса. Обозначим углы, на которые эти две прямые делят и и . Тогда

Тогда угол  – так как сумма острых углов в этом треугольнике равна .

Проведем радиус окружности в точку касания со стороной – . Обозначим длины отрезков, на которые разобьет сторону как и . Тогда по теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, запишем:

Откуда

Площадь треугольника найдем по традиционной формуле:

Ответ: .

Задание 5. Найдите все значения параметра такие, что уравнение

имеет ровно три различных решения.

Построим правую и левую части уравнения отдельно. Раскрыв модуль со знаком «плюс» на интервале , получим параболу , на интервале раскроем модуль со знаком «минус» и получим  параболу . Определяем координаты вершин для обеих: и . Строим обе, каждую – в своей области существования:

Рисунок 3

Теперь построим график прямой . По счастью, коэффициент наклона неизменен, наша прямая просто двигается вверх-вниз по оси . Три пересечения у графиков будут от пересечения прямой точки , до точки касания вверху:

Рисунок 4

Рисунок 5

Внизу

Верху рассчитаем значение параметра, приравняв ординаты обеих графиков. Прямая касается параболы , следовательно, ординаты равны и общая точка – единственная, а, следовательно, корень полученного уравнения – единственный:

Точки и в ответ не возьмем – там мы имеем два пересечения. Итак, ответ: .