Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5)), Функции и их свойства (задание 23)

Вступительный экзамен в лицей НИУ ВШЭ, вторая часть демонстрационной версии 2018

В этой статье мы рассмотрим задачи вступительного экзамена в лицей НИУ ВШЭ, вторую часть демонстрационной версии 2018. Первая часть – совсем простая, я не стала выставлять решения. Однако тем, кто сдает, могу порекомендовать отнестись к ней крайне внимательно: экзаменаторы часто предпочтение отдают абитуриентам “с крепкой базой” – тем, кто решает простые задания безошибочно, потому что навыки решения доведены до автоматизма. То есть желательно решить обе части, первую при этом – без ошибок.

Задание 1. Найдите все значения , для каждого из которых имеет смысл выражение:

    \[\frac{4x+2}{\sqrt{10-x^2-3x}+\sqrt{x^2+x-6}}\]

Так как в знаменателе сумма двух неотрицательных величин, заботиться о не равенстве знаменателя нулю не нужно (проверим это позже).

Проследим, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

    \[\begin{Bmatrix}{ 10-x^2-3\geqslant 0 }\\{ x^2+x-6\geqslant 0}\end{matrix}\]

Точки смены знака первого неравенства – -5 и 2, второго – -3 и 2. Решение первого неравенства -5\leqslant x \leqslant 2, второго – x \in (-\infty; -3] \cup [2;\infty).

Наложим решения одно на другое, решение системы x \in [-5;-3]\cup \{2\}. Однако точка 2 – общее решение обоих неравенств, она обратит в ноль оба корня и весь знаменатель. Поэтому ее надо из решения выбросить, остается x \in [-5;-3].

Ответ: x \in [-5;-3].

Задание 2. В начале первого года в банк был внесен вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. Известно, что доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения, если процентная ставка по вкладу остается постоянной в течение всего срока хранения, и вкладчик не будет проводить операций по вкладу?

По увеличению суммы вклада за первый год сразу определяем процент: 10%. То есть в конце второго года сумма опять вырастет на 10%, однако начисляться они будут на сумму 2200, поэтому составят 220 руб. Поэтому третий год в банке будет находиться сумма 2420 рублей, и в конце на нее снова начислят 10% – еще 242 рубля. В итоге за три года сумма вклада выросла на 200+220+242=662 рубля.

Ответ: 662 р.

Задание 3. Найдите значение параметра такое, что система уравнений

    \[\begin{Bmatrix}{ px+4y=p^2}\\{ x+py=2}\end{matrix}\]

имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек A(-2;-1), B(-2;4), найдите графически точку пересечения прямой x+py=2  и отрезка AB. В ответе укажите значение параметра и координаты точки пересечения.

Данная система уравнений задает две прямые. Первая

    \[y=\frac{p^2-px}{4}\]

Вторая

    \[y=\frac{2}{p}-\frac{x}{p}\]

Чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпасть. Для этого у них должен оказаться равным коэффициент наклона, а также и свободный член:

    \[y_1=k_1x+b_1\]

    \[y_2=k_2x+b_2\]

    \[k_1=k_2\]

    \[b_1=b_2\]

Следовательно, у нас

    \[-\frac{p}{4}=-\frac{1}{p}\]

Откуда

    \[p^2=4\]

    \[p=\pm 2\]

Но

    \[\frac{p^2}{4}=\frac{2}{p}\]

    \[p^3=8\]

    \[p=2\]

Тогда обе прямые задаются уравнением:

    \[y=1-\frac{x}{2}\]

Отрезок AB вертикально расположен, вдоль прямой x=-2. Если подставить это значение x в уравнение прямой, получим вторуб координату точки пересечения:

    \[y_0=1-\frac{-2}{2}=2\]

Построим прямую и отрезок и покажем, что вычисления верны:

Рисунок 1

Ответ: p=2, координаты точки пересечения (-2;2).

Задание 4. Окружность с центром в точке O вписана в равнобедренную трапецию ABCD с боковой стороной АВ.

1) Докажите, что треугольник АОВ прямоугольный.

2) Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4.

Рисунок 2

Окружность вписана в угол ABC, поэтому ее центр лежит на биссектрисе угла ABC, и BO –  биссектриса. Аналогично, окружность вписана в угол BAD и, следовательно, AO – тоже биссектриса. Обозначим углы, на которые эти две прямые делят \angle ABC и \angle BAD x и y. Тогда

    \[2x+2y=180^{\circ}\]

    \[x+y=90^{\circ}\]

Тогда угол \angle AOB=90^{\circ}  – так как сумма острых углов в этом треугольнике равна 90^{circ}.

Проведем радиус окружности в точку касания со стороной ABOH. Обозначим длины отрезков, на которые OH разобьет сторону AB как z и 4z. Тогда по теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, запишем:

    \[AH\cdot HB=OH^2\]

    \[4z\cdot z=4\]

Откуда

    \[z=1\]

Площадь треугольника найдем по традиционной формуле:

    \[S_{AOB}=\frac{AB\cdot OH}{2}=5\]

Ответ: S_{AOB}=5.

Задание 5. Найдите все значения параметра такие, что уравнение

    \[(x+2)\mid x-4 \mid=x-2b\]

имеет ровно три различных решения.

Построим правую и левую части уравнения отдельно. Раскрыв модуль со знаком «плюс» на интервале x \in [4;\infty), получим параболу y=x^2-2x-8, на интервале x \in (-\infty; 4) раскроем модуль со знаком «минус» и получим  параболу y=-x^2+2x+8. Определяем координаты вершин для обеих: x_1=1, y_1=-9 и x_2=1; y_2=9. Строим обе, каждую – в своей области существования:

Рисунок 3

Теперь построим график прямой y=x-2b. По счастью, коэффициент наклона неизменен, наша прямая просто двигается вверх-вниз по оси y. Три пересечения у графиков будут от пересечения прямой точки (4; 0), до точки касания вверху:

Рисунок 4

Рисунок 5

Внизу

    \[y=x-2b=0\]

    \[4-2b=0\]

    \[b=2\]

Верху рассчитаем значение параметра, приравняв ординаты обеих графиков. Прямая y=x-2b касается параболы y=-x^2+2x+8, следовательно, ординаты равны и общая точка – единственная, а, следовательно, корень полученного уравнения – единственный:

    \[x-2b=-x^2+2x+8\]

    \[x^2-x-(8+2b)=0\]

    \[D=1+4(8+2b)=0\]

    \[8b=-33\]

    \[b=-4,125\]

Точки b=2 и b=-4,125 в ответ не возьмем – там мы имеем два пересечения. Итак, ответ: b \in (-4,125; 2).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *