Вступительный экзамен в лицей НИУ ВШЭ, вторая часть демонстрационной версии 2018

В этой статье мы рассмотрим задачи вступительного экзамена в лицей НИУ ВШЭ, вторую часть демонстрационной версии 2018. Первая часть – совсем простая, я не стала выставлять решения. Однако тем, кто сдает, могу порекомендовать отнестись к ней крайне внимательно: экзаменаторы часто предпочтение отдают абитуриентам “с крепкой базой” – тем, кто решает простые задания безошибочно, потому что навыки решения доведены до автоматизма. То есть желательно решить обе части, первую при этом – без ошибок.

Задание 1. Найдите все значения , для каждого из которых имеет смысл выражение:

$\frac{4x+2}{\sqrt{10-x^2-3x}+\sqrt{x^2+x-6}}$

Так как в знаменателе сумма двух неотрицательных величин, заботиться о не равенстве знаменателя нулю не нужно (проверим это позже).

Проследим, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$\begin{Bmatrix}{ 10-x^2-3\geqslant 0 }\\{ x^2+x-6\geqslant 0}\end{matrix}$

Точки смены знака первого неравенства – $-5$ и $2$ , второго – $-3$ и $2$ . Решение первого неравенства $-5\leqslant x \leqslant 2$ , второго – $x \in (-\infty; -3] \cup [2;\infty)$ .

Наложим решения одно на другое, решение системы $x \in [-5;-3]\cup \{2\}$ . Однако точка 2 – общее решение обоих неравенств, она обратит в ноль оба корня и весь знаменатель. Поэтому ее надо из решения выбросить, остается $x \in [-5;-3]$ .

Ответ: $x \in [-5;-3]$ .

Задание 2. В начале первого года в банк был внесен вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. Известно, что доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения, если процентная ставка по вкладу остается постоянной в течение всего срока хранения, и вкладчик не будет проводить операций по вкладу?

По увеличению суммы вклада за первый год сразу определяем процент: 10%. То есть в конце второго года сумма опять вырастет на 10%, однако начисляться они будут на сумму 2200, поэтому составят 220 руб. Поэтому третий год в банке будет находиться сумма 2420 рублей, и в конце на нее снова начислят 10% – еще 242 рубля. В итоге за три года сумма вклада выросла на 200+220+242=662 рубля.

Ответ: 662 р.

Задание 3. Найдите значение параметра такое, что система уравнений

$\begin{Bmatrix}{ px+4y=p^2}\\{ x+py=2}\end{matrix}$

имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек $A(-2;-1), B(-2;4)$ , найдите графически точку пересечения прямой $x+py=2$ и отрезка $AB$ . В ответе укажите значение параметра и координаты точки пересечения.

Данная система уравнений задает две прямые. Первая

$y=\frac{p^2-px}{4}$

Вторая

$y=\frac{2}{p}-\frac{x}{p}$

Чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпасть. Для этого у них должен оказаться равным коэффициент наклона, а также и свободный член:

$y_1=k_1x+b_1$

$y_2=k_2x+b_2$

$k_1=k_2$

$b_1=b_2$

Следовательно, у нас

$-\frac{p}{4}=-\frac{1}{p}$

Откуда

$p^2=4$

$p=\pm 2$

Но

$\frac{p^2}{4}=\frac{2}{p}$

$p^3=8$

$p=2$

Тогда обе прямые задаются уравнением:

$y=1-\frac{x}{2}$

Отрезок $AB$ вертикально расположен, вдоль прямой $x=-2$ . Если подставить это значение $x$ в уравнение прямой, получим вторуб координату точки пересечения:

$y_0=1-\frac{-2}{2}=2$

Построим прямую и отрезок и покажем, что вычисления верны:

Рисунок 1

Ответ: $p=2$ , координаты точки пересечения (-2;2).

Задание 4. Окружность с центром в точке $O$ вписана в равнобедренную трапецию $ABCD$ с боковой стороной $АВ$ .

1) Докажите, что треугольник $АОВ$ прямоугольный.

2) Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4.

Рисунок 2

Окружность вписана в угол $ABC$ , поэтому ее центр лежит на биссектрисе угла $ABC$ , и $BO$ – биссектриса. Аналогично, окружность вписана в угол $BAD$ и, следовательно, $AO$ – тоже биссектриса. Обозначим углы, на которые эти две прямые делят $\angle ABC$ и $\angle BAD$ $x$ и $y$ . Тогда

$2x+2y=180^{\circ}$

$x+y=90^{\circ}$

Тогда угол $\angle AOB=90^{\circ}$ – так как сумма острых углов в этом треугольнике равна $90^{circ}$ .

Проведем радиус окружности в точку касания со стороной $AB$ – $OH$ . Обозначим длины отрезков, на которые $OH$ разобьет сторону $AB$ как $z$ и $4z$ . Тогда по теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, запишем:

$AH\cdot HB=OH^2$

$4z\cdot z=4$

Откуда

$z=1$

Площадь треугольника найдем по традиционной формуле:

$S_{AOB}=\frac{AB\cdot OH}{2}=5$

Ответ: $S_{AOB}=5$ .

Задание 5. Найдите все значения параметра такие, что уравнение

$(x+2)\mid x-4 \mid=x-2b$

имеет ровно три различных решения.

Построим правую и левую части уравнения отдельно. Раскрыв модуль со знаком «плюс» на интервале $x \in [4;\infty)$ , получим параболу $y=x^2-2x-8$ , на интервале $x \in (-\infty; 4)$ раскроем модуль со знаком «минус» и получим параболу $y=-x^2+2x+8$ . Определяем координаты вершин для обеих: $x_1=1, y_1=-9$ и $x_2=1; y_2=9$ . Строим обе, каждую – в своей области существования:

Рисунок 3

Теперь построим график прямой $y=x-2b$ . По счастью, коэффициент наклона неизменен, наша прямая просто двигается вверх-вниз по оси $y$ . Три пересечения у графиков будут от пересечения прямой точки $(4; 0)$ , до точки касания вверху:

Рисунок 4

Рисунок 5

Внизу

$y=x-2b=0$

$4-2b=0$

$b=2$

Верху рассчитаем значение параметра, приравняв ординаты обеих графиков. Прямая $y=x-2b$ касается параболы $y=-x^2+2x+8$ , следовательно, ординаты равны и общая точка – единственная, а, следовательно, корень полученного уравнения – единственный:

$x-2b=-x^2+2x+8$