Вступительный экзамен в лицей НИУ ВШЭ, вторая часть демонстрационной версии 2018

[latexpage]

В этой статье мы рассмотрим задачи вступительного экзамена в лицей НИУ ВШЭ, вторую часть демонстрационной версии 2018. Первая часть – совсем простая, я не стала выставлять решения. Однако тем, кто сдает, могу порекомендовать отнестись к ней крайне внимательно: экзаменаторы часто предпочтение отдают абитуриентам “с крепкой базой” – тем, кто решает простые задания безошибочно, потому что навыки решения доведены до автоматизма. То есть желательно решить обе части, первую при этом – без ошибок.

Задание 1. Найдите все значения , для каждого из которых имеет смысл выражение:

$$\frac{4x+2}{\sqrt{10-x^2-3x}+\sqrt{x^2+x-6}}$$

Так как в знаменателе сумма двух неотрицательных величин, заботиться о не равенстве знаменателя нулю не нужно (проверим это позже).

Проследим, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$$\begin{Bmatrix}{ 10-x^2-3\geqslant 0 }\\{ x^2+x-6\geqslant 0}\end{matrix}$$

Точки смены знака первого неравенства – $-5$ и $2$, второго – $-3$ и $2$. Решение первого неравенства $-5\leqslant x \leqslant 2$, второго – $x \in (-\infty; -3] \cup [2;\infty)$.

Наложим решения одно на другое, решение системы $x \in [-5;-3]\cup \{2\}$. Однако точка 2 – общее решение обоих неравенств, она обратит в ноль оба корня и весь знаменатель. Поэтому ее надо из решения выбросить, остается $x \in [-5;-3]$.

Ответ: $x \in [-5;-3]$.

Задание 2. В начале первого года в банк был внесен вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. Известно, что доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения, если процентная ставка по вкладу остается постоянной в течение всего срока хранения, и вкладчик не будет проводить операций по вкладу?

По увеличению суммы вклада за первый год сразу определяем процент: 10%. То есть в конце второго года сумма опять вырастет на 10%, однако начисляться они будут на сумму 2200, поэтому составят 220 руб. Поэтому третий год в банке будет находиться сумма 2420 рублей, и в конце на нее снова начислят 10% – еще 242 рубля. В итоге за три года сумма вклада выросла на 200+220+242=662 рубля.

Ответ: 662 р.

Задание 3. Найдите значение параметра такое, что система уравнений

$$\begin{Bmatrix}{ px+4y=p^2}\\{ x+py=2}\end{matrix}$$

имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек $A(-2;-1), B(-2;4)$, найдите графически точку пересечения прямой $x+py=2$  и отрезка $AB$. В ответе укажите значение параметра и координаты точки пересечения.

Данная система уравнений задает две прямые. Первая

$$y=\frac{p^2-px}{4}$$

Вторая

$$y=\frac{2}{p}-\frac{x}{p}$$

Чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпасть. Для этого у них должен оказаться равным коэффициент наклона, а также и свободный член:

$$y_1=k_1x+b_1$$

$$y_2=k_2x+b_2$$

$$k_1=k_2$$

$$b_1=b_2$$

Следовательно, у нас

$$-\frac{p}{4}=-\frac{1}{p}$$

Откуда

$$p^2=4$$

$$p=\pm 2$$

Но

$$\frac{p^2}{4}=\frac{2}{p}$$

$$p^3=8$$

$$p=2$$

Тогда обе прямые задаются уравнением:

$$y=1-\frac{x}{2}$$

Отрезок $AB$ вертикально расположен, вдоль прямой $x=-2$. Если подставить это значение $x$ в уравнение прямой, получим вторуб координату точки пересечения:

$$y_0=1-\frac{-2}{2}=2$$

Построим прямую и отрезок и покажем, что вычисления верны:

Рисунок 1

Ответ: $p=2$, координаты точки пересечения (-2;2).

Задание 4. Окружность с центром в точке $O$ вписана в равнобедренную трапецию $ABCD$ с боковой стороной $АВ$.

1) Докажите, что треугольник $АОВ$ прямоугольный.

2) Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4.

Рисунок 2

Окружность вписана в угол $ABC$, поэтому ее центр лежит на биссектрисе угла $ABC$, и $BO$ –  биссектриса. Аналогично, окружность вписана в угол $BAD$ и, следовательно, $AO$ – тоже биссектриса. Обозначим углы, на которые эти две прямые делят $\angle ABC$ и $\angle BAD$ $x$ и $y$. Тогда

$$2x+2y=180^{\circ}$$

$$x+y=90^{\circ}$$

Тогда угол $\angle AOB=90^{\circ}$  – так как сумма острых углов в этом треугольнике равна $90^{circ}$.

Проведем радиус окружности в точку касания со стороной $AB$ – $OH$. Обозначим длины отрезков, на которые $OH$ разобьет сторону $AB$ как $z$ и $4z$. Тогда по теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, запишем:

$$AH\cdot HB=OH^2$$

$$4z\cdot z=4$$

Откуда

$$z=1$$

Площадь треугольника найдем по традиционной формуле:

$$S_{AOB}=\frac{AB\cdot OH}{2}=5$$

Ответ: $S_{AOB}=5$.

Задание 5. Найдите все значения параметра такие, что уравнение

$$(x+2)\mid x-4 \mid=x-2b$$

имеет ровно три различных решения.

Построим правую и левую части уравнения отдельно. Раскрыв модуль со знаком «плюс» на интервале $x \in [4;\infty)$, получим параболу $y=x^2-2x-8$, на интервале $x \in (-\infty; 4)$ раскроем модуль со знаком «минус» и получим  параболу $y=-x^2+2x+8$. Определяем координаты вершин для обеих: $x_1=1, y_1=-9$ и $x_2=1; y_2=9$. Строим обе, каждую – в своей области существования:

Рисунок 3

Теперь построим график прямой $y=x-2b$. По счастью, коэффициент наклона неизменен, наша прямая просто двигается вверх-вниз по оси $y$. Три пересечения у графиков будут от пересечения прямой точки $(4; 0)$, до точки касания вверху:

Рисунок 4

Рисунок 5

Внизу

$$y=x-2b=0$$

$$4-2b=0$$

$$b=2$$

Верху рассчитаем значение параметра, приравняв ординаты обеих графиков. Прямая $y=x-2b$ касается параболы $y=-x^2+2x+8$, следовательно, ординаты равны и общая точка – единственная, а, следовательно, корень полученного уравнения – единственный:

$$x-2b=-x^2+2x+8$$

$$x^2-x-(8+2b)=0$$

$$D=1+4(8+2b)=0$$

$$8b=-33$$

$$b=-4,125$$

Точки $b=2$ и $b=-4,125$ в ответ не возьмем – там мы имеем два пересечения. Итак, ответ: $b \in (-4,125; 2)$.