В этой статье мы рассмотрим задачи вступительного экзамена в лицей НИУ ВШЭ, вторую часть демонстрационной версии 2018. Первая часть – совсем простая, я не стала выставлять решения. Однако тем, кто сдает, могу порекомендовать отнестись к ней крайне внимательно: экзаменаторы часто предпочтение отдают абитуриентам “с крепкой базой” – тем, кто решает простые задания безошибочно, потому что навыки решения доведены до автоматизма. То есть желательно решить обе части, первую при этом – без ошибок.
Задание 1. Найдите все значения , для каждого из которых имеет смысл выражение:
Так как в знаменателе сумма двух неотрицательных величин, заботиться о не равенстве знаменателя нулю не нужно (проверим это позже).
Проследим, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:
Точки смены знака первого неравенства – и
, второго –
и
. Решение первого неравенства
, второго –
.
Наложим решения одно на другое, решение системы . Однако точка 2 – общее решение обоих неравенств, она обратит в ноль оба корня и весь знаменатель. Поэтому ее надо из решения выбросить, остается
.
Ответ: .
Задание 2. В начале первого года в банк был внесен вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. Известно, что доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения, если процентная ставка по вкладу остается постоянной в течение всего срока хранения, и вкладчик не будет проводить операций по вкладу?
По увеличению суммы вклада за первый год сразу определяем процент: 10%. То есть в конце второго года сумма опять вырастет на 10%, однако начисляться они будут на сумму 2200, поэтому составят 220 руб. Поэтому третий год в банке будет находиться сумма 2420 рублей, и в конце на нее снова начислят 10% – еще 242 рубля. В итоге за три года сумма вклада выросла на 200+220+242=662 рубля.
Ответ: 662 р.
Задание 3. Найдите значение параметра такое, что система уравнений
имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек , найдите графически точку пересечения прямой
и отрезка
. В ответе укажите значение параметра и координаты точки пересечения.
Данная система уравнений задает две прямые. Первая
Вторая
Чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпасть. Для этого у них должен оказаться равным коэффициент наклона, а также и свободный член:
Следовательно, у нас
Откуда
Но
Тогда обе прямые задаются уравнением:
Отрезок вертикально расположен, вдоль прямой
. Если подставить это значение
в уравнение прямой, получим вторуб координату точки пересечения:
Построим прямую и отрезок и покажем, что вычисления верны:

Рисунок 1
Ответ: , координаты точки пересечения (-2;2).
Задание 4. Окружность с центром в точке вписана в равнобедренную трапецию
с боковой стороной
.
1) Докажите, что треугольник прямоугольный.
2) Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4.

Рисунок 2
Окружность вписана в угол , поэтому ее центр лежит на биссектрисе угла
, и
– биссектриса. Аналогично, окружность вписана в угол
и, следовательно,
– тоже биссектриса. Обозначим углы, на которые эти две прямые делят
и
и
. Тогда
Тогда угол – так как сумма острых углов в этом треугольнике равна
.
Проведем радиус окружности в точку касания со стороной –
. Обозначим длины отрезков, на которые
разобьет сторону
как
и
. Тогда по теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, запишем:
Откуда
Площадь треугольника найдем по традиционной формуле:
Ответ: .
Задание 5. Найдите все значения параметра такие, что уравнение
имеет ровно три различных решения.
Построим правую и левую части уравнения отдельно. Раскрыв модуль со знаком «плюс» на интервале , получим параболу
, на интервале
раскроем модуль со знаком «минус» и получим параболу
. Определяем координаты вершин для обеих:
и
. Строим обе, каждую – в своей области существования:

Рисунок 3
Теперь построим график прямой . По счастью, коэффициент наклона неизменен, наша прямая просто двигается вверх-вниз по оси
. Три пересечения у графиков будут от пересечения прямой точки
, до точки касания вверху:

Рисунок 4

Рисунок 5
Внизу
Верху рассчитаем значение параметра, приравняв ординаты обеих графиков. Прямая касается параболы
, следовательно, ординаты равны и общая точка – единственная, а, следовательно, корень полученного уравнения – единственный:
Точки и
в ответ не возьмем – там мы имеем два пересечения. Итак, ответ:
.
...
думаю, эту задачу можно решить намного проще. на рисунке не хватает двух...
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...