Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5)), Текстовая задача (22 задание), Текстовые задачи (11), Функции и их свойства (задание 23)

Вступительный экзамен в гимназию при ВШЭ-2019. Разбор демоварианта.

Спасибо подписчикам, которые снабжают интересными задачами и дают повод для написания статьи. Разбираем демовариант вступительного текущего года в гимназию при ВШЭ. Документ здесь.

Задача 1. Решить уравнение.

    \[(x^3+x(\sqrt{x+1})^2-3x)\cdot\frac{x^2-1}{x^2+x}=0\]

Решение: подкоренное выражение неотрицательно:

    \[x+1 \geqslant 0\]

    \[x \geqslant -1\]

Знаменатель не равен нулю:

    \[x^2+x \neq 0\]

    \[x(x+1) \neq 0\]

    \[x \neq 0\]

    \[x \neq -1\]

Преобразуем уравнение:

    \[(x^3+x(x+1)-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0\]

    \[(x^3+x^2+x-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0\]

    \[(x^3+x^2-2x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0\]

    \[x(x^2+x-2)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0\]

Корни трехчлена x^2+x-2=0 по сумме коэффициентов равны 1 и (-2), поэтому

    \[x(x+2)(x-1)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0\]

Дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем тогда на выбор корни 0, (-2), 1, (-1). Корень (-2) не подходит, поскольку x \geqslant -1, 0 и (-1) тоже – при таких значениях x знаменатель дроби обращается в ноль. Остается только x=1.

Ответ: 1.

 

Задача 2. Две бригады проложили туннель протяженностью 700 метров, работая навстречу друг другу. Первая бригада прокладывала ежедневно 3 метра, а вторая прокладывала по 2 метра в каждый из первых 50 дней, а потом работала с той же производительностью, что и первая.

Пусть y (м) – координата местоположения бригады, t – время, выраженное в днях. Считая туннель прямолинейным и приняв за начало координат местоположение первой бригады в первый день до начала работы, выполните следующие задания:

  • Запишите уравнения движения у = f(t) каждой бригады.
  • Нарисуйте графики движения бригад в одной системе координат.
  • Определите, через сколько дней после начала работы туннель был проложен и сколько метров проложила каждая бригада.

Пусть первая бригада работала 50 дней, тогда ими прорыто 150 м туннеля. Вторая же прорыла за то же время лишь 100 м. То есть вместе они вырыли 250 м, остается еще 450 м. Так как обе бригады работают далее с одной и той же производительностью – 3 м в день – то суммарная производительность 6 м в день. Значит, работать им еще

\frac{450}{6}=75 дней. Каждая за эти дни прокопает 75\cdot 3=225 м, в итоге первая проделала 375 м, а вторая 325 м.

Тогда уравнение движения первой бригады будет y_1=3t, уравнение движения второй можно записать так:

    \[y=700-2t, t\leqslant50\]

    \[y=750-3t, t > 50\]

Задача 2. Туннель

Ответ: туннель проложен за 125 дней, первая бригада проделала 375 м, а вторая 325 м.

Задача 3. Найдите   все   значения   переменной   x,   при  которых  функция

    \[y=\frac{\sqrt{9x-3x^2}}{(4-x^2)(2x-1)}\]

принимает неотрицательные значения.

Функция существует при

    \[9x-3x^2 \geqslant 0\]

    \[x(3-x) \geqslant 0\]

То есть функция существует только на участке [0; 3]. Причем x \neq 2;  x \neq -2;  x\neq 0,5.

Задача 3. Область существования

Так как числитель – неотрицателен, то нужно обеспечить положительность знаменателя, чтобы функция принимала неотрицательные значения.

    \[(4-x^2)(2x-1)>0\]

    \[(2-x)(2+x)(2x-1)>0\]

Неотрицательна здесь

Общий вид функции

В точках 0 и 3 функция существует, и неотрицательна, поэтому включим в ответ эти точки тоже.

Ответ: (0,5; 2); \{0\}; \{3\}.

 

Задача 4. В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD угол при вершине D равен 60^{\circ}. Известно, что AD=30, CD=15.

а) Докажите, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.

б) Найдите радиус описанной около трапеции окружности и площадь трапеции.

а) Отметим середину основания AD  – точку H. Проведем отрезок HC. Треугольник HCD – равнобедренный по построению с углом при вершине 60^{\circ}. Значит, этот треугольник правильный. Следовательно, угол BCH=60^{\circ} (так как угол BCD=120^{\circ}). CH \parallel  AB, и ABCH – ромб. Тогда AB=BC=CD=15.

Задача 4. Трапеция состоит из правильных треугольников

Проведем диагональ AC. Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, AC – биссектриса (биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник). Тогда угол CAD=30^{\circ}, а угол ACD=90^{\circ}.

Определяем радиус описанной окружности

б) Окружность, описанная около трапеции, будет описана и около треугольника ACD, и около треугольника ABD, который также будет прямоугольным, значит, ее радиус равен половине гипотенузы – то есть 15.

Высотой данной трапеции будет служить высота правильного треугольника HCD. Она равна h=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.

Площадь тогда будет равна

    \[S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{15+30}{2}\cdot 15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{675\sqrt{3}}{4}\]

Так как трапеция вписанная, то можно для нее было применить формулу Герона для вычисления площади, а также определить ее площадь как сумму площадей трех правильных треугольников.

Ответ: R=15;  S=\frac{675\sqrt{3}}{4}.

Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств

    \[\begin{Bmatrix}{\mid x-3\mid \leqslant a}\\{\mid x-2a\mid \leqslant 5}\end{matrix}\]

имеет единственное решение.

Раскрываем модули.

При x-3 \geqslant 0

    \[x-3 \leqslant a\]

    \[x \leqslant a+3\]

При x-3 < 0

    \[-x+3 \leqslant a\]

    \[x \geqslant 3-a\]

При x-2a\geqslant 0

    \[x-2a \leqslant 5\]

    \[x \leqslant 5+2a\]

При x-2a< 0

    \[-x+2a \leqslant 5\]

    \[x \geqslant 2a-5\]

Построим все на параметрической плоскости:

Параметрическая плоскость

Нас интересует та область, которая находится внутри рыжей галки:

Выполняем условия первого неравенства

Кроме того, если рассматривается область над прямой x=2a, то нас устроит область под прямой x=2a+5 – зеленая:

Выполняем условия второго неравенства

А если x<2a, то есть рассматривается область под прямой x=2a, то нас устроит все, что залито голубым.

Выполняем второе условие

Итак, мы выделили искомую область. Это область, залитая зеленым и голубым цветами и ограничивающие ее прямые, так как неравенства нестрогие.

Единственное решение (отметила красной прямой) будет при пересечении прямых x=a+3 и x=2a-5, откуда

    \[a+3=2a-5\]

    \[a=8\]

При этом x=11.

Также единственным решение будет при пересечении прямых x=3- a и x=3+a, откуда

    \[a=0\]

При этом x=3.

Ответ: a=8;   a=0.

Комментариев - 3

  • Тамара
    |

    Здравствуйте. Почему мы не берём в ответ в 5 задаче а=2,… при х=0,… ? Снизу на графике мы видим пересечение, значит, единственное решение имеется, нет?

    Ответить
    • Анна
      |

      В этом месте решений – целый отрезок по оси x, а нас интересует единственное – то есть точка.

      Ответить
      • Тамара
        |

        Спасибо!

        Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *