[latexpage]
Спасибо подписчикам, которые снабжают интересными задачами и дают повод для написания статьи. Разбираем демовариант вступительного текущего года в гимназию при ВШЭ. Документ здесь.
Задача 1. Решить уравнение.
$$(x^3+x(\sqrt{x+1})^2-3x)\cdot\frac{x^2-1}{x^2+x}=0$$
Решение: подкоренное выражение неотрицательно:
$$x+1 \geqslant 0$$
$$x \geqslant -1$$
Знаменатель не равен нулю:
$$ x^2+x \neq 0$$
$$ x(x+1) \neq 0$$
$$ x \neq 0$$
$$ x \neq -1$$
Преобразуем уравнение:
$$(x^3+x(x+1)-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$
$$(x^3+x^2+x-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$
$$(x^3+x^2-2x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$
$$x(x^2+x-2)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$
Корни трехчлена $x^2+x-2=0$ по сумме коэффициентов равны 1 и (-2), поэтому
$$x(x+2)(x-1)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$
Дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем тогда на выбор корни 0, (-2), 1, (-1). Корень (-2) не подходит, поскольку $x \geqslant -1$, 0 и (-1) тоже – при таких значениях $x$ знаменатель дроби обращается в ноль. Остается только $x=1$.
Ответ: 1.
Задача 2. Две бригады проложили туннель протяженностью 700 метров, работая навстречу друг другу. Первая бригада прокладывала ежедневно 3 метра, а вторая прокладывала по 2 метра в каждый из первых 50 дней, а потом работала с той же производительностью, что и первая.
Пусть $y$ (м) – координата местоположения бригады, t – время, выраженное в днях. Считая туннель прямолинейным и приняв за начало координат местоположение первой бригады в первый день до начала работы, выполните следующие задания:
- Запишите уравнения движения у = f(t) каждой бригады.
- Нарисуйте графики движения бригад в одной системе координат.
- Определите, через сколько дней после начала работы туннель был проложен и сколько метров проложила каждая бригада.
Пусть первая бригада работала 50 дней, тогда ими прорыто 150 м туннеля. Вторая же прорыла за то же время лишь 100 м. То есть вместе они вырыли 250 м, остается еще 450 м. Так как обе бригады работают далее с одной и той же производительностью – 3 м в день – то суммарная производительность 6 м в день. Значит, работать им еще
$\frac{450}{6}=75$ дней. Каждая за эти дни прокопает $75\cdot 3=225$ м, в итоге первая проделала 375 м, а вторая 325 м.
Тогда уравнение движения первой бригады будет $y_1=3t$, уравнение движения второй можно записать так:
$$y=700-2t, t\leqslant50$$
$$y=750-3t, t > 50$$

Задача 2. Туннель
Ответ: туннель проложен за 125 дней, первая бригада проделала 375 м, а вторая 325 м.
Задача 3. Найдите все значения переменной $x$, при которых функция
$$y=\frac{\sqrt{9x-3x^2}}{(4-x^2)(2x-1)}$$
принимает неотрицательные значения.
Функция существует при
$$9x-3x^2 \geqslant 0$$
$$x(3-x) \geqslant 0$$
То есть функция существует только на участке $[0; 3]$. Причем $x \neq 2; x \neq -2; x\neq 0,5$.

Задача 3. Область существования
Так как числитель – неотрицателен, то нужно обеспечить положительность знаменателя, чтобы функция принимала неотрицательные значения.
$$(4-x^2)(2x-1)>0$$
$$(2-x)(2+x)(2x-1)>0$$

Неотрицательна здесь

Общий вид функции
В точках 0 и 3 функция существует, и неотрицательна, поэтому включим в ответ эти точки тоже.
Ответ: $(0,5; 2); \{0\}; \{3\}$.
Задача 4. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ угол при вершине $D$ равен $60^{\circ}$. Известно, что $AD=30, CD=15$.
а) Докажите, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.
б) Найдите радиус описанной около трапеции окружности и площадь трапеции.
а) Отметим середину основания $AD$ – точку $H$. Проведем отрезок $HC$. Треугольник $HCD$ – равнобедренный по построению с углом при вершине $60^{\circ}$. Значит, этот треугольник правильный. Следовательно, угол $BCH=60^{\circ}$ (так как угол $BCD=120^{\circ}$). $CH \parallel AB$, и $ABCH$ – ромб. Тогда $AB=BC=CD=15$.

Задача 4. Трапеция состоит из правильных треугольников
Проведем диагональ $AC$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, следовательно, $AC$ – биссектриса (биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник). Тогда угол $CAD=30^{\circ}$, а угол $ACD=90^{\circ}$.

Определяем радиус описанной окружности
б) Окружность, описанная около трапеции, будет описана и около треугольника $ACD$, и около треугольника $ABD$, который также будет прямоугольным, значит, ее радиус равен половине гипотенузы – то есть 15.
Высотой данной трапеции будет служить высота правильного треугольника $HCD$. Она равна $h=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Площадь тогда будет равна
$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{15+30}{2}\cdot 15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{675\sqrt{3}}{4}$$
Так как трапеция вписанная, то можно для нее было применить формулу Герона для вычисления площади, а также определить ее площадь как сумму площадей трех правильных треугольников.
Ответ: $R=15; S=\frac{675\sqrt{3}}{4}$.
Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств
$$\begin{Bmatrix}{\mid x-3\mid \leqslant a}\\{\mid x-2a\mid \leqslant 5}\end{matrix}$$
имеет единственное решение.
Раскрываем модули.
При $x-3 \geqslant 0$
$$ x-3 \leqslant a$$
$$ x \leqslant a+3$$
При $x-3 < 0$
$$ -x+3 \leqslant a$$
$$ x \geqslant 3-a$$
При $x-2a\geqslant 0$
$$ x-2a \leqslant 5$$
$$ x \leqslant 5+2a$$
При $x-2a< 0$
$$ -x+2a \leqslant 5$$
$$ x \geqslant 2a-5$$
Построим все на параметрической плоскости:

Параметрическая плоскость
Нас интересует та область, которая находится внутри рыжей галки:

Выполняем условия первого неравенства
Кроме того, если рассматривается область над прямой $ x=2a$, то нас устроит область под прямой $x=2a+5$ – зеленая:

Выполняем условия второго неравенства
А если $x<2a$, то есть рассматривается область под прямой $ x=2a$, то нас устроит все, что залито голубым.

Выполняем второе условие
Итак, мы выделили искомую область. Это область, залитая зеленым и голубым цветами и ограничивающие ее прямые, так как неравенства нестрогие.
Единственное решение (отметила красной прямой) будет при пересечении прямых $x=a+3$ и $x=2a-5$, откуда
$$a+3=2a-5$$
$$a=8$$
При этом $x=11$.
Также единственным решение будет при пересечении прямых $x=3- a $ и $x=3+a$, откуда
$$a=0$$
При этом $x=3$.
Ответ: $a=8; a=0$.
Комментариев - 6
Здравствуйте. Почему мы не берём в ответ в 5 задаче а=2,… при х=0,… ? Снизу на графике мы видим пересечение, значит, единственное решение имеется, нет?
В этом месте решений – целый отрезок по оси x, а нас интересует единственное – то есть точка.
Спасибо!
а пересечение прямых х=2а-5 и х=3-а разве не будет ответом в пятой задаче? мы получим х=1/3 и а=8/3
Нет, там по оси x целый отрезок решений над этой точкой.
спасибо