Вступительный экзамен в гимназию при ВШЭ-2019. Разбор демоварианта.

Спасибо подписчикам, которые снабжают интересными задачами и дают повод для написания статьи. Разбираем демовариант вступительного текущего года в гимназию при ВШЭ. Документ здесь.

Задача 1. Решить уравнение.

$(x^3+x(\sqrt{x+1})^2-3x)\cdot\frac{x^2-1}{x^2+x}=0$

Решение: подкоренное выражение неотрицательно:

$x+1 \geqslant 0$

$x \geqslant -1$

Знаменатель не равен нулю:

$x^2+x \neq 0$

$x(x+1) \neq 0$

$x \neq 0$

$x \neq -1$

Преобразуем уравнение:

$(x^3+x(x+1)-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$

$(x^3+x^2+x-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$

$(x^3+x^2-2x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$

$x(x^2+x-2)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$

Корни трехчлена $x^2+x-2=0$ по сумме коэффициентов равны 1 и (-2), поэтому

$x(x+2)(x-1)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$

Дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем тогда на выбор корни 0, (-2), 1, (-1). Корень (-2) не подходит, поскольку $x \geqslant -1$ , 0 и (-1) тоже – при таких значениях $x$ знаменатель дроби обращается в ноль. Остается только $x=1$ .

Ответ: 1.

Задача 2. Две бригады проложили туннель протяженностью 700 метров, работая навстречу друг другу. Первая бригада прокладывала ежедневно 3 метра, а вторая прокладывала по 2 метра в каждый из первых 50 дней, а потом работала с той же производительностью, что и первая.

Пусть $y$ (м) – координата местоположения бригады, t – время, выраженное в днях. Считая туннель прямолинейным и приняв за начало координат местоположение первой бригады в первый день до начала работы, выполните следующие задания:

Запишите уравнения движения у = f(t) каждой бригады.
Нарисуйте графики движения бригад в одной системе координат.
Определите, через сколько дней после начала работы туннель был проложен и сколько метров проложила каждая бригада.

Пусть первая бригада работала 50 дней, тогда ими прорыто 150 м туннеля. Вторая же прорыла за то же время лишь 100 м. То есть вместе они вырыли 250 м, остается еще 450 м. Так как обе бригады работают далее с одной и той же производительностью – 3 м в день – то суммарная производительность 6 м в день. Значит, работать им еще

$\frac{450}{6}=75$ дней. Каждая за эти дни прокопает $75\cdot 3=225$ м, в итоге первая проделала 375 м, а вторая 325 м.

Тогда уравнение движения первой бригады будет $y_1=3t$ , уравнение движения второй можно записать так:

$y=700-2t, t\leqslant50$

$y=750-3t, t > 50$

Задача 2. Туннель

Ответ: туннель проложен за 125 дней, первая бригада проделала 375 м, а вторая 325 м.

Задача 3. Найдите все значения переменной $x$ , при которых функция

$y=\frac{\sqrt{9x-3x^2}}{(4-x^2)(2x-1)}$

принимает неотрицательные значения.

Функция существует при

$9x-3x^2 \geqslant 0$

$x(3-x) \geqslant 0$

То есть функция существует только на участке $[0; 3]$ . Причем $x \neq 2; x \neq -2; x\neq 0,5$ .

Задача 3. Область существования

Так как числитель – неотрицателен, то нужно обеспечить положительность знаменателя, чтобы функция принимала неотрицательные значения.

$(4-x^2)(2x-1)>0$

$(2-x)(2+x)(2x-1)>0$

Неотрицательна здесь

Общий вид функции

В точках 0 и 3 функция существует, и неотрицательна, поэтому включим в ответ эти точки тоже.

Ответ: $(0,5; 2); \{0\}; \{3\}$ .

Задача 4. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ угол при вершине $D$ равен $60^{\circ}$ . Известно, что $AD=30, CD=15$ .

а) Докажите, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.

б) Найдите радиус описанной около трапеции окружности и площадь трапеции.

а) Отметим середину основания $AD$ – точку $H$ . Проведем отрезок $HC$ . Треугольник $HCD$ – равнобедренный по построению с углом при вершине $60^{\circ}$ . Значит, этот треугольник правильный. Следовательно, угол $BCH=60^{\circ}$ (так как угол $BCD=120^{\circ}$ ). $CH \parallel AB$ , и $ABCH$ – ромб. Тогда $AB=BC=CD=15$ .

Задача 4. Трапеция состоит из правильных треугольников

Проведем диагональ $AC$ . Треугольник $ABC$ равнобедренный, следовательно, $AC$ – биссектриса (биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник). Тогда угол $CAD=30^{\circ}$ , а угол $ACD=90^{\circ}$ .

Определяем радиус описанной окружности

б) Окружность, описанная около трапеции, будет описана и около треугольника $ACD$ , и около треугольника $ABD$ , который также будет прямоугольным, значит, ее радиус равен половине гипотенузы – то есть 15.

Высотой данной трапеции будет служить высота правильного треугольника $HCD$ . Она равна $h=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Площадь тогда будет равна

$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{15+30}{2}\cdot 15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{675\sqrt{3}}{4}$

Так как трапеция вписанная, то можно для нее было применить формулу Герона для вычисления площади, а также определить ее площадь как сумму площадей трех правильных треугольников.

Ответ: $R=15; S=\frac{675\sqrt{3}}{4}$ .

Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств

$\begin{Bmatrix}{\mid x-3\mid \leqslant a}\\{\mid x-2a\mid \leqslant 5}\end{matrix}$

имеет единственное решение.

Раскрываем модули.

При $x-3 \geqslant 0$

$x-3 \leqslant a$

$x \leqslant a+3$

При $x-3 < 0$

$-x+3 \leqslant a$

$x \geqslant 3-a$

При $x-2a\geqslant 0$

$x-2a \leqslant 5$

$x \leqslant 5+2a$

При $x-2a< 0$

$-x+2a \leqslant 5$

$x \geqslant 2a-5$

Построим все на параметрической плоскости:

Параметрическая плоскость

Нас интересует та область, которая находится внутри рыжей галки:

Выполняем условия первого неравенства

Кроме того, если рассматривается область над прямой $x=2a$ , то нас устроит область под прямой $x=2a+5$ – зеленая:

Выполняем условия второго неравенства

А если $x<2a$ , то есть рассматривается область под прямой $x=2a$ , то нас устроит все, что залито голубым.

Выполняем второе условие

Итак, мы выделили искомую область. Это область, залитая зеленым и голубым цветами и ограничивающие ее прямые, так как неравенства нестрогие.

Единственное решение (отметила красной прямой) будет при пересечении прямых $x=a+3$ и $x=2a-5$ , откуда

$a+3=2a-5$

$a=8$

При этом $x=11$ .

Также единственным решение будет при пересечении прямых $x=3- a$ и $x=3+a$ , откуда

$a=0$

При этом $x=3$ .

Ответ: $a=8; a=0$ .

Комментариев - 6

Тамара

2019-03-04

Здравствуйте. Почему мы не берём в ответ в 5 задаче а=2,… при х=0,… ? Снизу на графике мы видим пересечение, значит, единственное решение имеется, нет?

Ответить

Анна
|

2019-03-04

В этом месте решений – целый отрезок по оси x, а нас интересует единственное – то есть точка.

Ответить
- Тамара
  |
  
  2019-03-04
  
  Спасибо!
  
  Ответить
- гура
  |
  
  2019-09-23
  
  а пересечение прямых х=2а-5 и х=3-а разве не будет ответом в пятой задаче? мы получим х=1/3 и а=8/3
  
  Ответить
  - Анна
    |
    
    2019-09-23
    
    Нет, там по оси x целый отрезок решений над этой точкой.
    
    Ответить
    - гура
      |
      
      2019-09-24
      
      спасибо
      
      Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Дек
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Вступительный экзамен в гимназию при ВШЭ-2019. Разбор демоварианта.

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 6

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь