Вступительный экзамен в гимназию при ВШЭ-2019. Разбор демоварианта.

[latexpage]

Спасибо подписчикам, которые снабжают интересными задачами и дают повод для написания статьи. Разбираем демовариант вступительного текущего года в гимназию при ВШЭ. Документ здесь.

Задача 1. Решить уравнение.

$$(x^3+x(\sqrt{x+1})^2-3x)\cdot\frac{x^2-1}{x^2+x}=0$$

Решение: подкоренное выражение неотрицательно:

$$x+1 \geqslant 0$$

$$x \geqslant -1$$

Знаменатель не равен нулю:

$$ x^2+x \neq 0$$

$$ x(x+1) \neq 0$$

$$ x \neq 0$$

$$ x \neq -1$$

Преобразуем уравнение:

$$(x^3+x(x+1)-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$

$$(x^3+x^2+x-3x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$

$$(x^3+x^2-2x)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$

$$x(x^2+x-2)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$

Корни трехчлена $x^2+x-2=0$ по сумме коэффициентов равны 1 и (-2), поэтому

$$x(x+2)(x-1)\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}=0$$

Дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем тогда на выбор корни 0, (-2), 1, (-1). Корень (-2) не подходит, поскольку $x \geqslant -1$, 0 и (-1) тоже – при таких значениях $x$ знаменатель дроби обращается в ноль. Остается только $x=1$.

Ответ: 1.

Задача 2. Две бригады проложили туннель протяженностью 700 метров, работая навстречу друг другу. Первая бригада прокладывала ежедневно 3 метра, а вторая прокладывала по 2 метра в каждый из первых 50 дней, а потом работала с той же производительностью, что и первая.

Пусть $y$ (м) – координата местоположения бригады, t – время, выраженное в днях. Считая туннель прямолинейным и приняв за начало координат местоположение первой бригады в первый день до начала работы, выполните следующие задания:

• Запишите уравнения движения у = f(t) каждой бригады.
• Нарисуйте графики движения бригад в одной системе координат.
• Определите, через сколько дней после начала работы туннель был проложен и сколько метров проложила каждая бригада.

Пусть первая бригада работала 50 дней, тогда ими прорыто 150 м туннеля. Вторая же прорыла за то же время лишь 100 м. То есть вместе они вырыли 250 м, остается еще 450 м. Так как обе бригады работают далее с одной и той же производительностью – 3 м в день – то суммарная производительность 6 м в день. Значит, работать им еще

$\frac{450}{6}=75$ дней. Каждая за эти дни прокопает $75\cdot 3=225$ м, в итоге первая проделала 375 м, а вторая 325 м.

Тогда уравнение движения первой бригады будет $y_1=3t$, уравнение движения второй можно записать так:

$$y=700-2t, t\leqslant50$$

$$y=750-3t, t > 50$$

Задача 2. Туннель

Ответ: туннель проложен за 125 дней, первая бригада проделала 375 м, а вторая 325 м.

Задача 3. Найдите   все   значения   переменной   $x$,   при  которых  функция

$$y=\frac{\sqrt{9x-3x^2}}{(4-x^2)(2x-1)}$$

принимает неотрицательные значения.

Функция существует при

$$9x-3x^2 \geqslant 0$$

$$x(3-x) \geqslant 0$$

То есть функция существует только на участке $[0; 3]$. Причем $x \neq 2;  x \neq -2;  x\neq 0,5$.

Задача 3. Область существования

Так как числитель – неотрицателен, то нужно обеспечить положительность знаменателя, чтобы функция принимала неотрицательные значения.

$$(4-x^2)(2x-1)>0$$

$$(2-x)(2+x)(2x-1)>0$$

Неотрицательна здесь

Общий вид функции

В точках 0 и 3 функция существует, и неотрицательна, поэтому включим в ответ эти точки тоже.

Ответ: $(0,5; 2); \{0\}; \{3\}$.

Задача 4. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ угол при вершине $D$ равен $60^{\circ}$. Известно, что $AD=30, CD=15$.

а) Докажите, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.

б) Найдите радиус описанной около трапеции окружности и площадь трапеции.

а) Отметим середину основания $AD$  – точку $H$. Проведем отрезок $HC$. Треугольник $HCD$ – равнобедренный по построению с углом при вершине $60^{\circ}$. Значит, этот треугольник правильный. Следовательно, угол $BCH=60^{\circ}$ (так как угол $BCD=120^{\circ}$). $CH \parallel  AB$, и $ABCH$ – ромб. Тогда $AB=BC=CD=15$.

Задача 4. Трапеция состоит из правильных треугольников

Проведем диагональ $AC$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, следовательно, $AC$ – биссектриса (биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник). Тогда угол $CAD=30^{\circ}$, а угол $ACD=90^{\circ}$.

Определяем радиус описанной окружности

б) Окружность, описанная около трапеции, будет описана и около треугольника $ACD$, и около треугольника $ABD$, который также будет прямоугольным, значит, ее радиус равен половине гипотенузы – то есть 15.

Высотой данной трапеции будет служить высота правильного треугольника $HCD$. Она равна $h=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь тогда будет равна

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{15+30}{2}\cdot 15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{675\sqrt{3}}{4}$$

Так как трапеция вписанная, то можно для нее было применить формулу Герона для вычисления площади, а также определить ее площадь как сумму площадей трех правильных треугольников.

Ответ: $R=15;  S=\frac{675\sqrt{3}}{4}$.

Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств

$$\begin{Bmatrix}{\mid x-3\mid \leqslant a}\\{\mid x-2a\mid \leqslant 5}\end{matrix}$$
имеет единственное решение.

Раскрываем модули.

При $x-3 \geqslant 0$

$$ x-3 \leqslant a$$

$$ x \leqslant a+3$$

При $x-3 < 0$

$$ -x+3 \leqslant a$$

$$ x \geqslant 3-a$$

При $x-2a\geqslant 0$

$$ x-2a \leqslant 5$$

$$ x \leqslant 5+2a$$

При $x-2a< 0$

$$ -x+2a \leqslant 5$$

$$ x \geqslant 2a-5$$

Построим все на параметрической плоскости:

Параметрическая плоскость

Нас интересует та область, которая находится внутри рыжей галки:

Выполняем условия первого неравенства

Кроме того, если рассматривается область над прямой $ x=2a$, то нас устроит область под прямой $x=2a+5$ – зеленая:

Выполняем условия второго неравенства

А если $x<2a$, то есть рассматривается область под прямой $ x=2a$, то нас устроит все, что залито голубым.

Выполняем второе условие

Итак, мы выделили искомую область. Это область, залитая зеленым и голубым цветами и ограничивающие ее прямые, так как неравенства нестрогие.

Единственное решение (отметила красной прямой) будет при пересечении прямых $x=a+3$ и $x=2a-5$, откуда

$$a+3=2a-5$$

$$a=8$$

При этом $x=11$.

Также единственным решение будет при пересечении прямых $x=3- a $ и $x=3+a$, откуда

$$a=0$$

При этом $x=3$.

Ответ: $a=8;   a=0$.