Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Время в астрономии: задачи

[latexpage]

В этой статье мы будем решать задачи, связанные со временем в астрономии.  Научимся определять звездное время, часовые углы. Увидим, что в разных местах одновременно время – разное.

Напомню основные положения прошлой статьи:

Звездное время $S$  измеряется часовым углом $t_{\curlyvee}$ точки весеннего равноденствия и поэтому всегда $S = t_{\curlyvee}$. У небесного светила с прямым восхождением $\alpha$ часовой угол

$$t = S-\alpha$$

Звездное время $S$ в пункте с географической долготой $\lambda$ связано со звездным гринвичским временем $S_0$ равенством

$$S = S_0+\lambda$$

причем $\lambda$ отсчитывается к востоку от Гринвича и выражается в часах, минутах и секундах времени. Для перевода градусных единиц в единицы времени существуют таблицы, можно воспользоваться примером расчета выше.

В один и тот же физический момент звездное время $S_1$ и $S_2$ в двух пунктах различается на разность географической долготы $\lambda_1$ и $\lambda_2$ этих пунктов, т. е.

$$S_2-S_1=\lambda_2-\lambda_1$$

Используемые в практической жизни средние солнечные сутки продолжительнее звездных суток приблизительно на  Зм56с.

Местное среднее время

$$T_{\lambda} =T_{\odot}+\eta$$

где $\eta$ — уравнение времени, a $T_{\odot}$—истинное солнечное время, измеряемое часовым углом Солнца, увеличенным на  12ч, т. е.

$$T_{\odot} =t_{\odot}+12$$

Местное среднее время $T_{\lambda_1}$ и $T_{\lambda_2}$ двух пунктов связано между собой равенством:

$$T_{\lambda_1}-T_{\lambda_2}=\lambda_2-\lambda_1$$

а со средним гринвичским временем $T_0$ (называемым всемирным временем) – равенством

$$T_{\lambda}  = T_0+\lambda$$

В практической жизни используется либо поясное время

$$T_n = T_0+n$$

либо декретное время

$$T_d = T_n  + 1=T_0+n+1$$

где $n$ — номер часового пояса, равный целому числу часов.

Для двух пунктов, расположенных в разных часовых поясах n1  и n2,

$$T_{d2} -T_{d1} = T_{n2}-T_{n1}=n_2-n_1$$

Если система счета времени не указана, то всегда подразумевается время, действующее на данной территории.

 

Задача 1. Определить звездное время в моменты верхней и нижней кульминации звезды Фомальгаута ($\alpha$ Южной Рыбы), прямое восхождение которой 22 ч 54 м 53 с.

В момент верхней кульминации всегда $t=0$, поэтому

$S=\alpha=$  22 ч 54 м 53 с.

В нижней кульминации всегда $t=$12 ч, поэтому $S=t+\alpha=$ 22 ч 54 м 53 c +12 ч=34 ч 54 м 53 с- 24 ч=10 ч 54 м 53 с.

Ответ: в верхней кульминации $S=$22 ч 54 м 53 с,  в нижней $S=$10 ч 54 м 53 с.

 

Задача 2. Найти звездное время в моменты, в которые часовой угол звезды Ригеля ($\beta$ Ориона) соответственно равен (-3 ч 17 м 43 с) и 1 ч 42 м 29 с. Прямое восхождение этой звезды  5 ч 12 м 08 с.

$S_1=t_1+\alpha=$-3 ч 17 м 43 с+ 5 ч 12 м 08 с=1 ч 54 м 25 с

$S_2=t_2+\alpha=$1 ч 42 м 29 с+ 5 ч 12 м 08 с=6 ч 54 м 37 с

Ответ: $S_1=$1 ч 54 м 25 с, $S_2=$6 ч 54 м 37 с

Задача 3. Определить звездное время в пунктах с географической долготой 2 ч 13 м 23 с и $84^{\circ}58’$ в момент, когда в пункте с долготой 4 ч 37 м 11 с звезда Кастор ($\alpha$ Близнецов) находится в верхней кульминации. Прямое восхождение Кастора 7 ч 31 м 25 с.

Когда звезда в верхней кульминации, ее часовой угол равен 0. Поэтому звездное время

$S=\alpha=$7 ч 31 м 25 с.

Время в пункте с нулевой долготой может быть найдено так:

$S_0=S-\lambda=$7 ч 31 м 25 с-4 ч 37 м 11 с =2 ч 54 м 14 с.

Теперь добавим к этому звездному времени долготы тех мест, которые нас интересуют:

$S_1= S_0+\lambda_1=$2 ч 54 м 14 с+2 ч 13 м 23 с=5 ч 07 м 37 с

Переведем во время долготу второго места:

$\lambda_2=$ 5ч 39 м 52 с, я для этого пользовалась таблицей.

Вычисляем звездное время в этом пункте:

$S_2= S_0+\lambda_2=$2 ч 54 м 14 с+5ч 39 м 52 с =8ч 34 м 06 с.

Ответ: $S_1=$5 ч 07 м 37 с, $S_2=$8 ч 34 м 06 с.

Задача 4. Решить предыдущую задачу для тех же пунктов, но для момента времени, в который звезда Капелла ($\alpha$ Возничего) находится в нижней кульминации в Иркутске ($\lambda=$6 ч 57 м 05 с). Прямое восхождение Капеллы 5 ч 13 м 00 с.

В нижней кульминации часовой угол звезды 12 ч. Поэтому

$S=t+\alpha=$12+5ч 13 м 00с=17 ч 13 м 00 с.

Так как Иркутск восточнее Гринвича, то

$S_0=S-\lambda=$17 ч 13 м 00 с -6 ч 57 м 05 с =10 ч 15 м 55 с.

Теперь добавим к этому звездному времени долготы тех мест, которые нас интересуют:

$S_1= S_0+\lambda_1=$10 ч 15 м 55 с +2 ч 13 м 23 с=12 ч 29 м 18 с

Переведем во время долготу второго места:

$\lambda_2=$ 5ч 39 м 52 с, я для этого пользовалась таблицей.

Вычисляем звездное время в этом пункте:

$S_2= S_0+\lambda_2=$10 ч 15 м 55 с +5ч 39 м 52 с =15ч 55 м 47 с.

Ответ: $S_1=$12ч 29 м 18 с, $S_2=$15  ч 55 м 47 с.

 

Задача 5. Вычислить часовые углы звезд Алголя ($\beta$ Персея) и Альтаира ($\alpha$ Орла) в 8 ч 20  м 30  с по звездному времени. Прямое восхождение этих звезд соответственно равно 3 ч 04 м 54 с и 19 ч 48 м 21 с. Часовые углы выразить в градусных единицах.

$t_1=S-\alpha_1=$8 ч 20 м 30 с-3 ч 04 м 54 с=5 ч 15 м 36 с

$t_2=S-\alpha_2=$8 ч 20 м 30 с-19 ч 48 м 21 с =-11 ч 27 м 51 с

Добавим 24 часа, чтобы часовой угол был положительным:

-11 ч 27 м 51 с +24 ч 00 м 00 с=12 ч 32 м 09 с.

Осталось перевести результаты  в единицы времени:

5 ч 15 м 36 с=$75^{\circ}+3^{\circ}45’+9’=78^{\circ} 54’ 0’’$

12 ч 32 м 09 с=$180^{\circ}+8^{\circ}+2’15’’=188^{\circ}2’15’’$

Ответ: $t_1=$ 5 ч 15 м 36 с, $78^{\circ} 54’ 0’’$, $t_2=$12 ч 32 м 09 с, $188^{\circ}2’15’’$.

 

Задача 6. Прямое восхождение звезды Миры ($\theta$ Кита) 2 ч 16 м 49 с, Сириуса ($\alpha$ Большого Пса) 6 ч 42 м 57 с и Проциона ($\alpha$ Малого Пса) 7 ч 36 м 41 с. Чему равны часовые углы этих звезд в моменты верхней и нижней кульминации Сириуса?

Для верхней кульминации Сириуса $t=0$, для нижней – $t=$ 12 ч. Звездное время для верхней кульминации

$S_1=$6 ч 42 м 57 с

Для нижней

$S_2=$18 ч 42 м 57 с

Определяем часовые углы звезд Миры

$t_1=S_1-\alpha_1=$6 ч 42 м 57 с-2 ч 16 м 49 с=4 ч 26 м 08 с

$t_1’=S_2-\alpha_1=$18 ч 42 м 57 с -2 ч 16 м 49 с=16 ч 26 м 08 с

И Проциона:

$t_3=S_1-\alpha_3=$6 ч 42 м 57 с-7 ч 36 м 41 с=-0 ч 53 м 44 с

$t_3’=S_2-\alpha_3=$18 ч 42 м 57 с -7 ч 36 м 41 с=11 ч 06 м 16 с

Ответ: в верхней кульминации Сириуса его часовой угол $0$ ч, у Миры $t_1=$4ч 26 м 08 с, у Проциона $t_3=$-0 ч 53 м 44 с, в нижней кульминации Сириуса его часовой угол 12 ч, у Миры $t_1’=$16 ч 26 м 08 с, у Проциона $t_3’=$11 ч 06 м 16 с.

 

Задача 7. Найти часовые углы звезд Кастора ($\alpha$ Близнецов) и Шеата ($\beta$ Пегаса) в момент, когда часовой угол звезды Беги ($\alpha$  Лиры) равен 4ч15м10с. Прямое восхождение Кастора 7 ч 31 м 25 с, Беги 18 ч 35 м 15 с и Шеата 23 ч 01 м 21 с.

Найдем звездное время по данным для Беги:

$S=t+\alpha=$4 ч 15 м 10 с+18 ч 35 м 15 с=22 ч 50 м 25 с.

Теперь с легкостью рассчитываем часовые углы Кастора:

$t_k=S-\alpha_k=$22 ч 50 м 25 с-7 ч 31 м 25 с=15ч 19 м 0 с

И Шеата:

$t_{Sh}=S-\alpha_{Sh}=$22ч 50м 25 с-23 ч 01 м 21 с =-0ч 10 м 56 с

Или 23 ч 49 м 04 с.

Ответ: часовой угол Кастора 15ч 19 м 0 с, Шеата 23 ч 49 м 04 с.

 

Задача 8. Часовой угол звезды Миры ($\theta$ Кита) в Гринвиче равен 2ч16м47с. Определить в этот момент звездное время в пунктах с географической долготой 2ч 03 м 02 с и $54^{\circ}44’30’’$. Прямое восхождение Миры 2 ч 16 м 49 с.

Переведем долготу второго места во временные единицы:

$54^{\circ}44’30’’$=3ч 20 м 00 с+16м+ 2 м 56 с+ 2 с=3 ч 38 м 58 с.

Звездное время в Гринвиче равно

$S_0=t+\alpha_M=$ 2 ч 16 м 47 с+2 ч 16 м 49 с=4ч 33 м 36 с

Оба места расположены восточнее Гринвича, поэтому

$S_1=S_0+\lambda_1=$4ч 33 м 36 с+2ч03м02с=6ч 36 м 38 с

$S_2=S_0+\lambda_2=$4ч 33 м 36 с+3 ч 38 м 58 с =8ч 12 м 34 с

Ответ: $S_1=$6ч 36 м 38 с, $S_2=$ 8ч 12 м 34 с.

Задача 9. Найти звездное время и часовой угол звезды Мицара ($\zeta$ Большой Медведицы) в Гринвиче и в пункте с географической долготой 6 ч 34 м 09 с в тот момент, когда в Якутске ($\lambda=$8 ч 38 м 58 с) часовой угол звезды Альдебарана ($\alpha$ Тельца) $329^{\circ}44’$. Прямое восхождение Мицара 13 ч 21 м 55 с, а Альдебарана 4 ч 33 м 03 с.

Переводим для начала часовой угол Альдебарана во временные единицы:

$329^{\circ}44’$=20ч+1 ч 20 м+36 м+2м 56с =21ч 58м 56 с.

Звездное время в Якутске:

$S=t+\alpha=$21 ч 58 м 56 с+4 ч 33 м 03 с=26 ч 31 м 59 с=2 ч 31 м 59 с.

Теперь, зная долготу Якутска, определяем звездное время в Гринвиче. Якутск восточнее Гринвича, поэтому

$S_0=S-\lambda=$2 ч 31 м 59 с-8 ч 38 м 58 с=26 ч 31 м 59 с-8 ч 38 м 58 с=17 ч 53 м 01 с

Часовой угол Мицара в Гринвиче равен

$t=S_0-\alpha_M=$ 17 ч 53 м 01 с-13 ч 21 м 55 с=4 ч 31 м 06 с

Теперь из Гринвича смещаемся в пункт с долготой 6ч34м09с:

$S_1=S_0+\lambda=$17 ч 53 м 01 с+6 ч 34 м 09 с=24 ч 27 м 10 с=0 ч 27 м 10 с.

Часовой угол Мицара здесь равен

$t_1=S_1-\alpha_M=$0 ч 27 м 10 с -13 ч 21 м 55 с=24 ч 27 м 10 с-13 ч 21 м 55 с=11 ч 05 м 15 с.

Ответ: звездное время в Гринвиче $S_0=$17 ч 53 м 01 с, часовой угол Мицара

$t=$4 ч 31 м 06 с, звездное время в месте с долготой 6 ч 34 м 09 с: $S_1=$0 ч 27 м 10 с, часовой угол Мицара здесь равен $t_1=$11 ч 05 м 15 с.

 

Задача 10. Какое прямое восхождение у звезд, находящихся в верхней и нижней кульминации в двух различных пунктах наблюдения, если в одном из них, расположенном восточнее другого на $36^{\circ}42’$, часовой угол звезды Проциона ($\alpha$ Малого Пса) равен (-2 ч 16 м 41 с)? Прямое восхождение Проциона 7 ч 36 м 41 с.

Звездное время в первом пункте:

$S=t+\lambda=$-2 ч 16 м 41 с+7 ч 36 м 41 с=5 ч 20 м 00 с

Если звезды в верхней кульминации, их часовые углы равны 0:

$\alpha_1=S-0=$5ч 20м 00 с

А если в нижней, то $t=$ 12 ч, тогда

$\alpha_1’=S-12=$5ч 20м 00 с-12ч=-6 ч 40 м 00с=17 ч 20 м 00 с

Теперь перебираемся во второй пункт, который по условию задачи западнее. Давайте установим, насколько: $36^{\circ}42’$= 2 ч+24 м+2 м 48 с=2ч 26 м 48 с.

Звездное время в более западном пункте меньше на его долготу:

$S_1=S-\lambda=$5 ч 20 м 00 с-2 ч 26 м 48 с=2 ч 53 м 12 с

Теперь вычислим прямое восхождение звезд в верхней кульминации:

$\alpha_2=S_1-0=$2 ч 53 м 12 с

$\alpha_2’=S_1-12=$2 ч 53 м 12 с -12ч=-9 ч 06 м 48 с=14 ч 53 м 12 с

Ответ: в верхней кульминации в первом пункте $\alpha_1=$5 ч 20 м 00 с, в нижней – $\alpha_1’=$17 ч 20 м 00 с, в верхней кульминации во втором пункте $\alpha_2=$2 ч 53 м 12 с , в нижней $\alpha_2’=$14 ч 53 м 12 с.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *