Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Время в астрономии: задачи

В этой статье мы будем решать задачи, связанные со временем в астрономии.  Научимся определять звездное время, часовые углы. Увидим, что в разных местах одновременно время – разное.

Напомню основные положения прошлой статьи:

Звездное время S  измеряется часовым углом t_{\curlyvee} точки весеннего равноденствия и поэтому всегда S = t_{\curlyvee}. У небесного светила с прямым восхождением \alpha часовой угол

    \[t = S-\alpha\]

Звездное время S в пункте с географической долготой \lambda связано со звездным гринвичским временем S_0 равенством

    \[S = S_0+\lambda\]

причем \lambda отсчитывается к востоку от Гринвича и выражается в часах, минутах и секундах времени. Для перевода градусных единиц в единицы времени существуют таблицы, можно воспользоваться примером расчета выше.

В один и тот же физический момент звездное время S_1 и S_2 в двух пунктах различается на разность географической долготы \lambda_1 и \lambda_2 этих пунктов, т. е.

    \[S_2-S_1=\lambda_2-\lambda_1\]

Используемые в практической жизни средние солнечные сутки продолжительнее звездных суток приблизительно на  Зм56с.

Местное среднее время

    \[T_{\lambda} =T_{\odot}+\eta\]

где \eta — уравнение времени, a T_{\odot}—истинное солнечное время, измеряемое часовым углом Солнца, увеличенным на  12ч, т. е.

    \[T_{\odot} =t_{\odot}+12\]

Местное среднее время T_{\lambda_1} и T_{\lambda_2} двух пунктов связано между собой равенством:

    \[T_{\lambda_1}-T_{\lambda_2}=\lambda_2-\lambda_1\]

а со средним гринвичским временем T_0 (называемым всемирным временем) – равенством

    \[T_{\lambda}  = T_0+\lambda\]

В практической жизни используется либо поясное время

    \[T_n = T_0+n\]

либо декретное время

    \[T_d = T_n  + 1=T_0+n+1\]

где n — номер часового пояса, равный целому числу часов.

Для двух пунктов, расположенных в разных часовых поясах n1  и n2,

    \[T_{d2} -T_{d1} = T_{n2}-T_{n1}=n_2-n_1\]

Если система счета времени не указана, то всегда подразумевается время, действующее на данной территории.

 

Задача 1. Определить звездное время в моменты верхней и нижней кульминации звезды Фомальгаута (\alpha Южной Рыбы), прямое восхождение которой 22 ч 54 м 53 с.

В момент верхней кульминации всегда t=0, поэтому

S=\alpha=  22 ч 54 м 53 с.

В нижней кульминации всегда t=12 ч, поэтому S=t+\alpha= 22 ч 54 м 53 c +12 ч=34 ч 54 м 53 с- 24 ч=10 ч 54 м 53 с.

Ответ: в верхней кульминации S=22 ч 54 м 53 с,  в нижней S=10 ч 54 м 53 с.

 

Задача 2. Найти звездное время в моменты, в которые часовой угол звезды Ригеля (\beta Ориона) соответственно равен (-3 ч 17 м 43 с) и 1 ч 42 м 29 с. Прямое восхождение этой звезды  5 ч 12 м 08 с.

S_1=t_1+\alpha=-3 ч 17 м 43 с+ 5 ч 12 м 08 с=1 ч 54 м 25 с

S_2=t_2+\alpha=1 ч 42 м 29 с+ 5 ч 12 м 08 с=6 ч 54 м 37 с

Ответ: S_1=1 ч 54 м 25 с, S_2=6 ч 54 м 37 с

Задача 3. Определить звездное время в пунктах с географической долготой 2 ч 13 м 23 с и 84^{\circ}58' в момент, когда в пункте с долготой 4 ч 37 м 11 с звезда Кастор (\alpha Близнецов) находится в верхней кульминации. Прямое восхождение Кастора 7 ч 31 м 25 с.

Когда звезда в верхней кульминации, ее часовой угол равен 0. Поэтому звездное время

S=\alpha=7 ч 31 м 25 с.

Время в пункте с нулевой долготой может быть найдено так:

S_0=S-\lambda=7 ч 31 м 25 с-4 ч 37 м 11 с =2 ч 54 м 14 с.

Теперь добавим к этому звездному времени долготы тех мест, которые нас интересуют:

S_1= S_0+\lambda_1=2 ч 54 м 14 с+2 ч 13 м 23 с=5 ч 07 м 37 с

Переведем во время долготу второго места:

\lambda_2= 5ч 39 м 52 с, я для этого пользовалась таблицей.

Вычисляем звездное время в этом пункте:

S_2= S_0+\lambda_2=2 ч 54 м 14 с+5ч 39 м 52 с =8ч 34 м 06 с.

Ответ: S_1=5 ч 07 м 37 с, S_2=8 ч 34 м 06 с.

Задача 4. Решить предыдущую задачу для тех же пунктов, но для момента времени, в который звезда Капелла (\alpha Возничего) находится в нижней кульминации в Иркутске (\lambda=6 ч 57 м 05 с). Прямое восхождение Капеллы 5 ч 13 м 00 с.

В нижней кульминации часовой угол звезды 12 ч. Поэтому

S=t+\alpha=12+5ч 13 м 00с=17 ч 13 м 00 с.

Так как Иркутск восточнее Гринвича, то

S_0=S-\lambda=17 ч 13 м 00 с -6 ч 57 м 05 с =10 ч 15 м 55 с.

Теперь добавим к этому звездному времени долготы тех мест, которые нас интересуют:

S_1= S_0+\lambda_1=10 ч 15 м 55 с +2 ч 13 м 23 с=12 ч 29 м 18 с

Переведем во время долготу второго места:

\lambda_2= 5ч 39 м 52 с, я для этого пользовалась таблицей.

Вычисляем звездное время в этом пункте:

S_2= S_0+\lambda_2=10 ч 15 м 55 с +5ч 39 м 52 с =15ч 55 м 47 с.

Ответ: S_1=12ч 29 м 18 с, S_2=15  ч 55 м 47 с.

 

Задача 5. Вычислить часовые углы звезд Алголя (\beta Персея) и Альтаира (\alpha Орла) в 8 ч 20  м 30  с по звездному времени. Прямое восхождение этих звезд соответственно равно 3 ч 04 м 54 с и 19 ч 48 м 21 с. Часовые углы выразить в градусных единицах.

t_1=S-\alpha_1=8 ч 20 м 30 с-3 ч 04 м 54 с=5 ч 15 м 36 с

t_2=S-\alpha_2=8 ч 20 м 30 с-19 ч 48 м 21 с =-11 ч 27 м 51 с

Добавим 24 часа, чтобы часовой угол был положительным:

-11 ч 27 м 51 с +24 ч 00 м 00 с=12 ч 32 м 09 с.

Осталось перевести результаты  в единицы времени:

5 ч 15 м 36 с=75^{\circ}+3^{\circ}45'+9'=78^{\circ} 54' 0''

12 ч 32 м 09 с=180^{\circ}+8^{\circ}+2'15''=188^{\circ}2'15''

Ответ: t_1= 5 ч 15 м 36 с, 78^{\circ} 54' 0'', t_2=12 ч 32 м 09 с, 188^{\circ}2'15''.

 

Задача 6. Прямое восхождение звезды Миры (\theta Кита) 2 ч 16 м 49 с, Сириуса (\alpha Большого Пса) 6 ч 42 м 57 с и Проциона (\alpha Малого Пса) 7 ч 36 м 41 с. Чему равны часовые углы этих звезд в моменты верхней и нижней кульминации Сириуса?

Для верхней кульминации Сириуса t=0, для нижней – t= 12 ч. Звездное время для верхней кульминации

S_1=6 ч 42 м 57 с

Для нижней

S_2=18 ч 42 м 57 с

Определяем часовые углы звезд Миры

t_1=S_1-\alpha_1=6 ч 42 м 57 с-2 ч 16 м 49 с=4 ч 26 м 08 с

t_1'=S_2-\alpha_1=18 ч 42 м 57 с -2 ч 16 м 49 с=16 ч 26 м 08 с

И Проциона:

t_3=S_1-\alpha_3=6 ч 42 м 57 с-7 ч 36 м 41 с=-0 ч 53 м 44 с

t_3'=S_2-\alpha_3=18 ч 42 м 57 с -7 ч 36 м 41 с=11 ч 06 м 16 с

Ответ: в верхней кульминации Сириуса его часовой угол 0 ч, у Миры t_1=4ч 26 м 08 с, у Проциона t_3=-0 ч 53 м 44 с, в нижней кульминации Сириуса его часовой угол 12 ч, у Миры t_1'=16 ч 26 м 08 с, у Проциона t_3'=11 ч 06 м 16 с.

 

Задача 7. Найти часовые углы звезд Кастора (\alpha Близнецов) и Шеата (\beta Пегаса) в момент, когда часовой угол звезды Беги (\alpha  Лиры) равен 4ч15м10с. Прямое восхождение Кастора 7 ч 31 м 25 с, Беги 18 ч 35 м 15 с и Шеата 23 ч 01 м 21 с.

Найдем звездное время по данным для Беги:

S=t+\alpha=4 ч 15 м 10 с+18 ч 35 м 15 с=22 ч 50 м 25 с.

Теперь с легкостью рассчитываем часовые углы Кастора:

t_k=S-\alpha_k=22 ч 50 м 25 с-7 ч 31 м 25 с=15ч 19 м 0 с

И Шеата:

t_{Sh}=S-\alpha_{Sh}=22ч 50м 25 с-23 ч 01 м 21 с =-0ч 10 м 56 с

Или 23 ч 49 м 04 с.

Ответ: часовой угол Кастора 15ч 19 м 0 с, Шеата 23 ч 49 м 04 с.

 

Задача 8. Часовой угол звезды Миры (\theta Кита) в Гринвиче равен 2ч16м47с. Определить в этот момент звездное время в пунктах с географической долготой 2ч 03 м 02 с и 54^{\circ}44'30''. Прямое восхождение Миры 2 ч 16 м 49 с.

Переведем долготу второго места во временные единицы:

54^{\circ}44'30''=3ч 20 м 00 с+16м+ 2 м 56 с+ 2 с=3 ч 38 м 58 с.

Звездное время в Гринвиче равно

S_0=t+\alpha_M= 2 ч 16 м 47 с+2 ч 16 м 49 с=4ч 33 м 36 с

Оба места расположены восточнее Гринвича, поэтому

S_1=S_0+\lambda_1=4ч 33 м 36 с+2ч03м02с=6ч 36 м 38 с

S_2=S_0+\lambda_2=4ч 33 м 36 с+3 ч 38 м 58 с =8ч 12 м 34 с

Ответ: S_1=6ч 36 м 38 с, S_2= 8ч 12 м 34 с.

Задача 9. Найти звездное время и часовой угол звезды Мицара (\zeta Большой Медведицы) в Гринвиче и в пункте с географической долготой 6 ч 34 м 09 с в тот момент, когда в Якутске (\lambda=8 ч 38 м 58 с) часовой угол звезды Альдебарана (\alpha Тельца) 329^{\circ}44'. Прямое восхождение Мицара 13 ч 21 м 55 с, а Альдебарана 4 ч 33 м 03 с.

Переводим для начала часовой угол Альдебарана во временные единицы:

329^{\circ}44'=20ч+1 ч 20 м+36 м+2м 56с =21ч 58м 56 с.

Звездное время в Якутске:

S=t+\alpha=21 ч 58 м 56 с+4 ч 33 м 03 с=26 ч 31 м 59 с=2 ч 31 м 59 с.

Теперь, зная долготу Якутска, определяем звездное время в Гринвиче. Якутск восточнее Гринвича, поэтому

S_0=S-\lambda=2 ч 31 м 59 с-8 ч 38 м 58 с=26 ч 31 м 59 с-8 ч 38 м 58 с=17 ч 53 м 01 с

Часовой угол Мицара в Гринвиче равен

t=S_0-\alpha_M= 17 ч 53 м 01 с-13 ч 21 м 55 с=4 ч 31 м 06 с

Теперь из Гринвича смещаемся в пункт с долготой 6ч34м09с:

S_1=S_0+\lambda=17 ч 53 м 01 с+6 ч 34 м 09 с=24 ч 27 м 10 с=0 ч 27 м 10 с.

Часовой угол Мицара здесь равен

t_1=S_1-\alpha_M=0 ч 27 м 10 с -13 ч 21 м 55 с=24 ч 27 м 10 с-13 ч 21 м 55 с=11 ч 05 м 15 с.

Ответ: звездное время в Гринвиче S_0=17 ч 53 м 01 с, часовой угол Мицара

t=4 ч 31 м 06 с, звездное время в месте с долготой 6 ч 34 м 09 с: S_1=0 ч 27 м 10 с, часовой угол Мицара здесь равен t_1=11 ч 05 м 15 с.

 

Задача 10. Какое прямое восхождение у звезд, находящихся в верхней и нижней кульминации в двух различных пунктах наблюдения, если в одном из них, расположенном восточнее другого на 36^{\circ}42', часовой угол звезды Проциона (\alpha Малого Пса) равен (-2 ч 16 м 41 с)? Прямое восхождение Проциона 7 ч 36 м 41 с.

Звездное время в первом пункте:

S=t+\lambda=-2 ч 16 м 41 с+7 ч 36 м 41 с=5 ч 20 м 00 с

Если звезды в верхней кульминации, их часовые углы равны 0:

\alpha_1=S-0=5ч 20м 00 с

А если в нижней, то t= 12 ч, тогда

\alpha_1'=S-12=5ч 20м 00 с-12ч=-6 ч 40 м 00с=17 ч 20 м 00 с

Теперь перебираемся во второй пункт, который по условию задачи западнее. Давайте установим, насколько: 36^{\circ}42'= 2 ч+24 м+2 м 48 с=2ч 26 м 48 с.

Звездное время в более западном пункте меньше на его долготу:

S_1=S-\lambda=5 ч 20 м 00 с-2 ч 26 м 48 с=2 ч 53 м 12 с

Теперь вычислим прямое восхождение звезд в верхней кульминации:

\alpha_2=S_1-0=2 ч 53 м 12 с

\alpha_2'=S_1-12=2 ч 53 м 12 с -12ч=-9 ч 06 м 48 с=14 ч 53 м 12 с

Ответ: в верхней кульминации в первом пункте \alpha_1=5 ч 20 м 00 с, в нижней – \alpha_1'=17 ч 20 м 00 с, в верхней кульминации во втором пункте \alpha_2=2 ч 53 м 12 с , в нижней \alpha_2'=14 ч 53 м 12 с.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *