Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:

Коэффициенты симметричны
Возвратные уравнения нечетных степеней всегда имеют один корень, равный (в силу симметричности коэффициентов), и делением на
могут быть приведены к возвратному уравнению четной степени, которое мы уже будем решать специальными методами.
Попробуем решить приведенное выше уравнение. Разделим его на любым способом: можно в столбик, а можно по схеме Горнера.
Выполним деление в столбик:

Деление в столбик
Теперь приравняем к нулю второй множитель:
Получили возвратное уравнение четной степени. Убедимся в том, что не является его корнем, подставив
вместо
в уравнение. Получим неверное равенство:
, значит, ноль не является корнем. Тогда можно разделить уравнение на
. Почему делим на
, а не на
, например, или не на
? Это определяет степень старшего члена уравнения: если у старшего члена 4 степень, то, разделив ее пополам, понимаем, что делить будем на
. Если бы была 6 степень, делили бы на
– на
и т.д.
После деления всего уравнения на получим:
Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:
Сделаем такую замену:
Но как выразить ? Да очень просто: раз видим, что
во второй степени, то и возведем
в квадрат. Получим:
То есть , или
Тогда уравнение будет выглядеть так:
Или ,
Сделаем теперь обратную замену:
– это уравнение корней не имеет, так как при его преобразовании выходит, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может.
Второе значение дает уравнение:
, или
Корнями этого уравнения являются: и
– найдены с помощью теоремы Виета. Не забудем и про первый корень, который найден нами в самом начале:
.
Ответ: ,
,
.
Решим еще одно возвратное уравнение четной степени:
Здесь коэффициенты не равны, тем не менее, здесь может быть также применен уже знакомый нам прием решения.
Убедимся в том, что не является корнем, после чего разделим уравнение на
.
Получим:
Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:
Сделаем такую замену: , сразу же возведем это выражение в квадрат, получим:
То есть , или
Тогда уравнение будет выглядеть так:
Определим дискриминант и рассчитаем корни:
,
Выполним обратную замену: , что даст нам уравнение
, корнями которого будут
,
(найдены по сумме коэффициентов уравнения).
Либо: , что даст нам уравнение
, корнями которого будут
,
(найдены по Виету).
Ответ: ,
,
,
.
Теперь можем перейти и к более сложным уравнениям, например, решим такое:
Это типичное возвратное уравнение, нечетной степени, значит, один корень равен , то есть требуется деление уравнения на
. На этот раз поделим по схеме Горнера:

Схема Горнера
Приравняв второй множитель к нулю, имеем возвратное уравнение четной 6-ой степени, которое мы разделим на , предварительно убедившись, что
– не его корень.
Получим:
Или
Поступаем аналогично тому, как мы это уже делали выше: вводим замену , и возводим это выражение в квадрат, и в куб:
То есть , или
То есть , откуда
.
Тогда наше уравнение со всеми заменами будет таким:
Запишем его так:
Откуда или
Проведем обратную замену: , или
, или
Имеем: – решений нет;
– корни
– корни
Не забудем про первый корень, который получили еще в начале решения:
Ответ: ,
,
Ну и последнее на сегодня уравнение, решение которого не приведет нас к возвратному, но, тем не менее, уравнение интересное:
Нам сразу становится ясно, что решать придется уравнение 4-ой степени. Приведем все к общему знаменателю:
Или:
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, поэтому:
Преобразуем, возводя в квадрат скобку (я умножила друг на друга две такие скобки):
Или
Вспоминаем, что, если уравнение имеет целые корни, то по теореме Безу они находятся среди делителей свободного члена. Делителями являются
. По схеме Горнера первая же подстановка – 1 – дает нам корень. Имеем:
Для уравнения те же делители свободного члена, подбором быстро определяем, что 3 – корень уравнения:
Последнее уравнение даст нам два корня:
Ответ: ,
,
Комментариев - 2
Небольшая ошибка во втором уравнении 4-й степени:
2х^2-15x+40-45/x+9/x^2=0
В последнем члене здесь еще 18, а не 9, но дальше все правильно, так что это не повлияло.
Опечаталась, благодарю вас.