Возвратные уравнения

Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:

   

Возвратные уравнения нечетных степеней всегда имеют один корень, равный (в силу симметричности коэффициентов), и делением на могут быть приведены к возвратному уравнению четной степени, которое мы уже будем решать специальными методами.

Попробуем решить приведенное выше уравнение. Разделим его на любым способом: можно в столбик, а можно по схеме Горнера.

Выполним деление в столбик:

   

Теперь приравняем к нулю второй множитель:

   

Получили возвратное уравнение четной степени. Убедимся в том, что не является его корнем, подставив вместо в уравнение. Получим неверное равенство: , значит, ноль не является корнем. Тогда можно разделить уравнение на . Почему делим на , а не на , например, или не на ? Это определяет степень старшего члена уравнения: если у старшего члена 4 степень, то, разделив ее пополам, понимаем, что делить будем на . Если бы была 6 степень, делили бы на – на и т.д.

После деления всего уравнения на получим:

   

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

   

Сделаем такую замену: 

Но как выразить ? Да очень просто: раз видим, что во второй степени, то и возведем в квадрат. Получим:

   

То есть , или

Тогда уравнение будет выглядеть так:

   

   

   

Или ,

Сделаем теперь обратную замену:

– это уравнение корней не имеет, так как при его преобразовании выходит, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может.

Второе значение дает уравнение:

, или

Корнями этого уравнения являются: и – найдены с помощью теоремы Виета. Не забудем и про первый корень, который найден нами в самом начале: .

Ответ: , , .

---

 

 

 

Решим еще одно возвратное уравнение четной степени:

   

Здесь коэффициенты не равны, тем не менее, здесь может быть также применен уже знакомый нам прием решения.

Убедимся в том, что не является корнем, после чего разделим уравнение на .

Получим:

   

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

   

Сделаем такую замену:  , сразу же возведем это выражение в квадрат, получим:

   

То есть , или

Тогда уравнение будет выглядеть так:

   

   

Определим дискриминант и рассчитаем корни:

   

,

Выполним обратную замену: , что даст нам уравнение  , корнями которого будут , (найдены по сумме коэффициентов уравнения).

Либо: , что даст нам уравнение  , корнями которого будут , (найдены по Виету).

Ответ: , , , .

---

 

Теперь можем перейти и к более сложным уравнениям, например, решим такое:

   

Это типичное возвратное уравнение, нечетной степени, значит, один корень равен , то есть требуется деление уравнения на . На этот раз поделим по схеме Горнера:

   

 

Приравняв второй множитель к нулю, имеем возвратное уравнение четной 6-ой степени, которое мы разделим на , предварительно убедившись, что – не его корень.

Получим:

   

Или

   

Поступаем аналогично тому, как мы это уже делали выше: вводим замену , и возводим это выражение в квадрат, и в куб:

   

То есть , или

   

То есть , откуда .

Тогда наше уравнение со всеми заменами будет таким:

   

   

Запишем его так:

   

   

Откуда или

Проведем обратную замену: , или , или

Имеем: – решений нет;

– корни

– корни

Не забудем про первый корень, который получили еще в начале решения:

Ответ: , ,

---

 

 

Ну и последнее на сегодня уравнение, решение которого не приведет нас к возвратному, но, тем не менее, уравнение интересное:

   

Нам сразу становится ясно, что решать придется уравнение 4-ой степени. Приведем все к общему знаменателю:

   

Или:

   

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, поэтому:

   

Преобразуем, возводя в квадрат скобку (я умножила друг на друга две такие скобки):

   

Или

   

Вспоминаем, что, если уравнение имеет целые корни, то по теореме Безу они находятся среди делителей свободного члена. Делителями являются . По схеме Горнера первая же подстановка  –  1 – дает нам корень. Имеем:

   

Для уравнения те же делители свободного члена, подбором быстро определяем, что 3 – корень уравнения:

   

Последнее уравнение даст нам два корня:

Ответ: , ,