Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс, Уравнения (13 (С1))

Возвратные уравнения


Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:

    \[2x^5-3x^4-x^3-x^2-3x+2=0\]

Коэффициенты симметричны

Возвратные уравнения нечетных степеней всегда имеют один корень, равный -1 (в силу симметричности коэффициентов), и делением на (x+1) могут быть приведены к возвратному уравнению четной степени, которое мы уже будем решать специальными методами.

Попробуем решить приведенное выше уравнение. Разделим его на (x+1) любым способом: можно в столбик, а можно по схеме Горнера.

Выполним деление в столбик:

Деление в столбик

    \[(x+1)(2x^4-5x^3+4x^2-5x+2)=0\]

Теперь приравняем к нулю второй множитель:

    \[2x^4-5x^3+4x^2-5x+2=0\]

Получили возвратное уравнение четной степени. Убедимся в том, что 0 не является его корнем, подставив 0 вместо x в уравнение. Получим неверное равенство: 2=0, значит, ноль не является корнем. Тогда можно разделить уравнение на x^2. Почему делим на x^2, а не на x^3, например, или не на x? Это определяет степень старшего члена уравнения: если у старшего члена 4 степень, то, разделив ее пополам, понимаем, что делить будем на x^2. Если бы была 6 степень, делили бы на 6 \over 2 – на x^3 и т.д.

После деления всего уравнения на x^2 получим:

    \[2x^2-5x+4-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}=0\]

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

    \[2(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+4=0\]

Сделаем такую замену:  t=x+\frac{1}{x}

Но как выразить x^2+\frac{1}{x^2}? Да очень просто: раз видим, что x во второй степени, то и возведем t=x+\frac{1}{x} в квадрат. Получим:

    \[t^2=x^2+2\cdot x\cdot {\frac{1}{x}}+ \frac{1}{x^2}\]

То есть t^2=x^2+2+ \frac{1}{x^2}, или t^2-2=x^2+ \frac{1}{x^2}

Тогда уравнение будет выглядеть так:

    \[2(t^2-2})-5t+4=0\]

    \[2t^2-5t=0\]

    \[t(2t-5)=0\]

Или t_1=0, t_2=\frac{5}{2}

Сделаем теперь обратную замену:

x+\frac{1}{x}=0 – это уравнение корней не имеет, так как при его преобразовании выходит, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может.

Второе значение t дает уравнение:

x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}, или x^2-2,5x+1=0

Корнями этого уравнения являются: x_1=2 и x_2=0,5 – найдены с помощью теоремы Виета. Не забудем и про первый корень, который найден нами в самом начале: x=-1.

Ответ: x_1=2, x_2=0,5, x_3=-1.


 

 

 

Решим еще одно возвратное уравнение четной степени:

    \[2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0\]

Здесь коэффициенты не равны, тем не менее, здесь может быть также применен уже знакомый нам прием решения.

Убедимся в том, что 0 не является корнем, после чего разделим уравнение на x^2.

Получим:

    \[2x^2-15x+40-\frac{45}{x}+\frac{18}{x^2}=0\]

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

    \[2(x^2+\frac{9}{x^2})-15(x+\frac{3}{x})+40=0\]

Сделаем такую замену:  t=x+\frac{3}{x}, сразу же возведем это выражение в квадрат, получим:

    \[t^2=x^2+2\cdot x\cdot {\frac{3}{x}}+ \frac{9}{x^2}\]

То есть t^2=x^2+6+ \frac{9}{x^2}, или t^2-6=x^2+ \frac{9}{x^2}

Тогда уравнение будет выглядеть так:

    \[2(t^2-6})-15t+40=0\]

    \[2t^2-15t+28=0\]

Определим дискриминант и рассчитаем корни:

    \[D=b^2-4ac=(-15)^2-4 \cdot 2 \cdot 28=1\]

t_1=4, t_2=3,5

Выполним обратную замену: x+\frac{3}{x}=4, что даст нам уравнение  x^2-4x+3=0, корнями которого будут x_1=1, x_2=3 (найдены по сумме коэффициентов уравнения).

Либо: x+\frac{3}{x}=3,5, что даст нам уравнение  x^2-3,5x+3=0, корнями которого будут x_1=1,5, x_2=2 (найдены по Виету).

Ответ: x_1=1, x_2=3, x_3=1,5, x_4=2.


 

Теперь можем перейти и к более сложным уравнениям, например, решим такое:

    \[x^7+2x^6-5x^5-13x^4-13x^3-5x^2+2x+1=0\]

Это типичное возвратное уравнение, нечетной степени, значит, один корень равен -1, то есть требуется деление уравнения на (x+1). На этот раз поделим по схеме Горнера:

Схема Горнера

    \[(x+1)(x^6+x^5-6x^4-7x^3-6x^2+x+1)=0\]

 

Приравняв второй множитель к нулю, имеем возвратное уравнение четной 6-ой степени, которое мы разделим на x^3, предварительно убедившись, что x=0 – не его корень.

Получим: x^6+x^5-6x^4-7x^3-6x^2+x+1=0

    \[x^3+x^2-6x-7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0\]

Или

    \[x^3+\frac{1}{x^3}+x^2+\frac{1}{x^2}-6(x+\frac{1}{x})- 7=0\]

Поступаем аналогично тому, как мы это уже делали выше: вводим замену t=x+\frac{1}{x}, и возводим это выражение в квадрат, и в куб:

    \[t^2=x^2+2\cdot x\cdot {\frac{1}{x}}+ \frac{1}{x^2}\]

То есть t^2=x^2+2+ \frac{1}{x^2}, или t^2-2=x^2+ \frac{1}{x^2}

    \[t^3=x^3+3\cdot x+3\cdot {\frac{1}{x}}+ \frac{1}{x^3}\]

То есть t^3=x^3+ \frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})= x^3+ \frac{1}{x^3}+3t, откуда x^3+ \frac{1}{x^3}=t^3-3t.

Тогда наше уравнение со всеми заменами будет таким:

    \[t^3-3t+t^2-2-6t-7=0\]

    \[t^3+t^2-9t-9=0\]

Запишем его так:

    \[t^2(t+1)-9(t+1)=0\]

    \[(t^2-9)(t+1)=0\]

Откуда t=-1 или t=\pm 3

Проведем обратную замену: x+\frac{1}{x}=-1, или x+\frac{1}{x}=-3, или x+\frac{1}{x}=3

Имеем: x^2+x+1=0 – решений нет;

x^2+3x+1=0 – корни x_{1,\;2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}

x^2-3x+1=0 – корни x_{3,\;4}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}

Не забудем про первый корень, который получили еще в начале решения:

Ответ: x_{1,\;2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}, x_{3,\;4}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}, x=-1


 

 

Ну и последнее на сегодня уравнение, решение которого не приведет нас к возвратному, но, тем не менее, уравнение интересное:

    \[\left(\frac{x^2-2x+3}{x}\right)^2-5x=\frac{15}{x}-16\]

Нам сразу становится ясно, что решать придется уравнение 4-ой степени. Приведем все к общему знаменателю:

    \[\frac {\left(x^2-2x+3\right)^2}{x^2}-\frac{5x^3}{x^2}=\frac{15x}{x^2}-\frac{16x^2}{x^2}\]

Или:

    \[\frac {\left(x^2-2x+3\right)^2- 5x^3-15x+ 16x^2}{x^2}=0\]

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, поэтому:

    \[\left(x^2-2x+3\right)^2}- 5x^3-15x+ 16x^2=0\]

Преобразуем, возводя в квадрат скобку (я умножила друг на друга две такие скобки):

    \[x^4-2x^3+3x^2-2x^3+4x^2-6x+3x^2-6x+9- 5x^3-15x+ 16x^2=0\]

Или

    \[x^4-9x^3+26x^2-27x+9=0\]

Вспоминаем, что, если уравнение имеет целые корни, то по теореме Безу они находятся среди делителей свободного члена. Делителями 9 являются 1,-1,3,-3,9,-9. По схеме Горнера первая же подстановка  –  1 – дает нам корень. Имеем:

    \[(x-1)(x^3-8x^2+18x-9)=0\]

Для уравнения x^3-8x^2+18x-9=0 те же делители свободного члена, подбором быстро определяем, что 3 – корень уравнения:

    \[(x-1)(x-3)(x^2-5x+3)=0\]

Последнее уравнение x^2-5x+3=0 даст нам два корня: x_{3,\;4}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}

Ответ: x=1, x=3, x_{3,\;4}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}

Комментариев - 2

  • Ольга Ивановна
    |

    Небольшая ошибка во втором уравнении 4-й степени:

    2х^2-15x+40-45/x+9/x^2=0

    В последнем члене здесь еще 18, а не 9, но дальше все правильно, так что это не повлияло.

    Ответить
    • Анна
      |

      Опечаталась, благодарю вас.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *