Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Волны – 2

Разберем более сложные задачи на тему «волны» – речь пока пойдет о механике. Здесь нам понадобится вспомнить сдвиги и растяжения графиков функций: как изменится формула, если график подвинуть вправо или влево?

Задача 1. Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии \Delta r =  2 м друг от друга. Длина волны \lambda = 1 м.

Так как точки лежат на расстоянии двух целых длин волн, то колеблются они синфазно. Также можно записать, что их разделяет два периода  – то есть 4\pi радиан:

    \[\Delta \psi=\frac{2 \pi \Delta r }{\lambda }=\frac{\2pi \cdot 2}{1}=4\pi\]

Ответ: \Delta \psi=4\pi.

Задача 2. Звук распространяется в воде со скоростью \upsilon = 1450 н/с. Расстояние между ближайшими точками, в которых колебания частиц совершаются в противофазе, \Delta r =  0,1 м. Какова частота звука?

Длина волны и точки в противофазе

Ближайшие точки, колебания которых находятся в противофазе – это точки, которые разделяет половина длины волны. Тогда заключаем, что длина волны равна \lambda=0,2 м. Следовательно, частота

    \[\nu=\frac{\upsilon }{\lambda }=\frac{1450}{0,2}=7250\]

Ответ: \nu=7250 Гц

Задача 3. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью u = 50 м/с. Период колебаний Т= 0,05 с, расстояние между точками \Delta r =   0,5 м. Найти разность фаз колебаний в этих точках.

Определим длину волны и поймем, сколько длин волн укладывается между двумя указанными точками:

    \[\lambda =\frac{u }{\nu}=uT=50\cdot0,05=2,5\]

Так как расстояние между точками 0,5 м, то они находятся на расстоянии \frac{1}{5}\lambda, следовательно, разность фаз соответствует \frac{T}{5}:

    \[\varphi=\frac{360}{5}=72^{\circ}\]

Если период записать в радианах – 2\pi, то

    \[\varphi=\frac{2\pi}{5}=0,4\pi\]

Ответ: \varphi=72^{\circ}, или \varphi=0,4\pi.
Задача 4. Вдоль некоторой прямой распространяются колебания с периодом Т = 0,25 с и скоростью u = 48 м/с. Спустя t=10 с после возникновения колебаний в исходной точке на расстоянии r_1 = 43 м от нее смещение точки оказалось равным \Delta x = 3 см. Оценить в тот же момент времени смещение и фазу колебаний в точке, отстоящей на r_2 = 45 м от источника колебаний. Колебания распространяются по синусоидальному закону.
Запишем закон колебаний для первой точки:

    \[x_1=A\sin(\omega t+\psi_{01})\]

Здесь \psi_{01} – начальная фаза. Поскольку точка находится на расстоянии r_1 от источника, понять, какая у нее начальная фаза можно, определив, какое количество длин волн уложилось в эти 43 метра:

    \[\psi_{01}=\omega \frac{r_1}{u}\]

Перед начальной фазой поставим знак минус – ведь мы смещаем график вправо на такое  \frac{r_1}{u} количество длин волн.

Определим \omega и запишем закон колебаний первой точки полностью:

    \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,25}=8 \pi\]

    \[x_1=A\sin\omega ( t-\frac{r_1}{u})\]

Поскольку в этом уравнении только одна неизвестная – амплитуда – определим ее.

    \[A=\frac{\Delta x }{\sin\omega (t-\frac{r_1}{u})}\]

Теперь займемся второй точкой. Начальную фазу ее колебаний определяем так же, как и для первой:

    \[\psi_{02}=\omega \frac{r_2}{u}\]

Закон колебаний для нее будет

    \[x_2=A\sin\omega (t-\frac{r_2}{u})=\frac{\Delta x \sin \omega (t-\frac{r_2}{u})}{\sin \omega (t-\frac{r_1}{u})}\]

Подставим численные данные:

    \[x_2=\frac{3\sin 8\pi (10-\frac{45}{48})}{\sin 8\pi (10-\frac{43}{48})}=\frac{3\sin 8\pi (9,0625)}{\sin 8\pi (9,104)}= \frac{3\sin 0,5\pi }{\sin 0,83\pi }=5,88\]

Фаза колебаний:

    \[\psi_{2}=\omega\left(t- \frac{r_2}{u}\right)=8 \pi \left (10-\frac{45}{48}\right)=72,5 \pi\]

Ответ: смещение точки 5,88 \approx 6 см, фаза \psi_{2}=72,5 \pi.

 

Задача 5. Две точки находятся на расстояниях r_1 = 16 м и r_2= 12 м от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний Т = 0,04 с, а скорость их распространения u = 300 м/с.

    \[\Delta \psi=\frac{2 \pi \Delta r }{\lambda }=\frac{2 \pi (r_2-r_1) }{uT}=\frac{\2pi \cdot (16-12)}{300\cdot0,04}=\frac{2\pi}{3}\]

Ответ: \Delta \psi=\frac{2\pi}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *