Волновая оптика: длины волн и частоты излучения

[latexpage]

Начинаем знакомиться с волновой оптикой: в этой статье предложены самые простые задачи, в которых необходимо определить длину волны по частоте или наоборот. Такие задачи служат основой для запоминания формул.

Задача 1. Показатель преломления воды для красного света $n_1 = 1,831$, а для фиолетового $n_2 = 1,343$. Найти скорость распространения красного и фиолетового света в воде.
$$n_{kr}=\frac{c}{\upsilon_{kr}}$$

$$\upsilon_{kr}=\frac{c}{ n_{kr}}=\frac{3\cdot10^8}{1,331}=2,25\cdot10^8$$

$$n_{f}=\frac{c}{\upsilon_{f}}$$

$$\upsilon_{f}=\frac{c}{ n_{f}}=\frac{3\cdot10^8}{1,343}=2,23\cdot10^8$$

Спектр

Ответ: $\upsilon_{kr}=2,25\cdot10^8$ м/с, $\upsilon_{f}=2,23\cdot10^8$ м/с.

Задача 2. На сколько скорость света в вакууме больше скорости света в алмазе?
По таблице определяем показатель преломления алмаза: $n_a=2,42$.

$$n_a=\frac{c}{\upsilon_{a}}$$

$$\upsilon_a=\frac{c}{ n_a}=\frac{3\cdot10^8}{2,42}=1,24\cdot10^8$$

Тогда разность скоростей равна

$$\Delta \upsilon=c-\upsilon_a=(3-1,24) \cdot10^8=1,76\cdot10^8$$

Ответ: $\Delta \upsilon=1,76\cdot10^8$

Задача 3. При переходе светового луча из воздуха в некоторое вещество скорость света изменяется на $k= 20$% . Определить показатель преломления этого вещества.
Поскольку скорость изменяется на 20%, то в веществе скорость света составит $0,8c$. Тогда показатель преломления равен

$$n=\frac{c}{0,8c}=1,25$$

Ответ: $n=1,25$.

Задача 4. Пучок света падает нормально на поверхность кварцевой пластинки толщиной $h = 0,2$ см. На сколько увеличится время прохождения пластинки светом по сравнению с тем, если бы он проходил этот путь в вакууме?
В вакууме свет движется со скоростью $c=3\cdot10^8$, и прошел бы двухмиллиметровое расстояние за время $t_1=\frac{h}{c}$, а в кварцевой пластинке скорость света будет равна

$$\upsilon=\frac{c}{n}$$

С такой скоростью свет будет двигаться сквозь пластину время

$$t_2=\frac{h}{\upsilon}=\frac{hn}{c}$$

Показатель преломления кварца равен 1,54. Найдем разницу времен прохождения:

$$t_2-t_1= \frac{h}{c}\left(n-1\right)=\frac{2\cdot 10^{-3}}{3\cdot10^8}\cdot(1,54-1)=3,6\cdot10^{-12}$$

Ответ: 3,6 пс

Задача 5. Точечный источник света находится на дне сосуда с жидкостью. Толщина слоя жидкости $H = 30$ см, показатель преломления $n =\frac{5}{4}$. Определить максимальное и минимальное время, которое свет, идущий от источника и выходящий из жидкости в воздух, затрачивает на прохождение слоя жидкости.

Очевидно, что минимальное время на прохождение слоя жидкости затратят те лучи света, которые пройдут по кратчайшему пути: вертикально вверх.  Тогда

$$t_{min}=\frac{h}{\upsilon}=\frac{h n}{c}=\frac{0,3 \cdot 1,25}{3\cdot10^8}=1,25\cdot10^{-9}$$

Максимальный путь проделают лучи, которые будут падать на поверхность жидкости под предельным углом преломления.

$$t_{max}=\frac{nl}{c}$$

Отношение $\frac{h}{l}=\cos{\alpha_{pred}}$. В то же время известно, что $\sin{\alpha_{pred}}=\frac{1}{n}=\frac{4}{5}$. Тогда $\cos{\alpha_{pred}}=\frac{3}{5}$. Определяем $l$:

$$l=\frac{h}{\cos{\alpha_{pred}}}$$

Теперь найдем максимальное время прохождения лучей:

$$t_{max}=\frac{nh}{c \cos{\alpha_{pred}}}=\frac{5\cdot0,3\cdot 5}{4\cdot3\cdot10^8\cdot3}=2,08\cdot10^{-9}$$

Ответ: $t_{min}=1,25\cdot10^{-9}$, $t_{max}=2,08\cdot10^{-9}$.

Задача 6. Какие частоты колебаний соответствуют крайним красным ($\lambda = 0,76$ мкм) и крайним фиолетовым ($\lambda = 0,4$ мкм) лучам видимой части спектра?
Известно, что $c=\nu \lambda$. Следовательно,

$$\nu_{kr}=\frac{c}{\lambda_{kr}}=\frac{3\cdot10^8}{0,76\cdot10^{-6}}=3,95\cdot10^{14}$$

$$\nu_{f}=\frac{c}{\lambda_{f}}=\frac{3\cdot10^8}{0,4\cdot10^{-6}}=7,5\cdot10^{14}$$

Ответ: $\nu_{kr}=395$ ТГц, $\nu_{f}=750$ ТГц