Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Водяные струи

Две задачи, связанные с движением под углом к горизонту, и обе – про водяные струи, поэтому я их и объединила в одну статью. Первая – простая, а во второй нужно вспомнить тригонометрию, и решить ее в общем виде, что обычно сложнее для ребят.

Задача 1. Из шланга, установленного на земле, бьет под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту струя воды  с начальной скоростью \upsilon_0=15 м/с. Площадь сечения отверстия шланга S=1 см^2. Определить массу воды в струе, находящейся в воздухе.

Если определить, сколько времени t будет лететь вода от момента отрыва до падения на землю, то количество воды в воздухе можно записать так:

    \[m=\rho V=\rho S \upsilon_0 t\]

В наивысшей точке, куда воде лететь \frac{t}{2}, вертикальная составляющая скорости воды равна нулю:

    \[\upsilon_y=\upsilon_0 \sin{\alpha}-g\frac {t}{2} =0\]

Откуда

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha}=g\frac {t}{2}\]

И тогда время полета воды равно:

    \[t=\frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}\]

Подставим в формулу массы:

    \[m=\rho S \upsilon_0 t=\frac{2\rho S \upsilon_0^2 \sin{\alpha}}{g}\]

    \[m=\frac{2\cdot10^3 \cdot10^{-4} \cdot 225 \sin{30^{\circ}}}{10}=2,25\]

Ответ: 2,25 кг воды одновременно находится в воздухе.

 

Задача 2. Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи воды под углами \alpha и \beta к горизонту с одинаковой начальной скоростью \upsilon_0. На каком расстоянии от отверстия по горизонтали они пересекаются?

Введем систему координат, начало которой совместим с отверстием шланга. Тогда, если струи пересекаются, то координаты обеих струй как по оси x, так и по оси y равны.

Пусть первая струя вылетает под углом \alpha, тогда:

    \[S_{x1}=\upsilon_{1x} t_1=\upsilon_0 \cos{\alpha} t_1\]

    \[S_{y1}=\upsilon_{1y} t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\alpha} t_1-\frac{gt_1^2}{2}\]

В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости струи равна 0:

    \[\upsilon_{1y}=\upsilon_0 \sin{\alpha}-g\frac{t_1}{2}=0\]

Откуда

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha}=g\frac{t_1}{2}\]

    \[t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}\]

Для второй струи все совершенно аналогично:

    \[S_{x2}=\upsilon_{2x} t_2=\upsilon_0 \cos{\beta} t_2\]

    \[S_{y2}=\upsilon_{2y} t_2-\frac{gt_2^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\beta} t_2-\frac{gt_2^2}{2}\]

В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости струи равна 0:

    \[\upsilon_{y2}=\upsilon_0 \sin{\beta}-g\frac{t_2}{2}=0\]

Откуда

    \[\upsilon_0 \sin{\beta}=g\frac{t_2}{2}\]

    \[t_2=\frac{2\upsilon_0 \sin{\beta}}{g}\]

Так как координаты по оси x и  по оси y должны быть равны, то:

    \[\begin{Bmatrix}{\upsilon_0 \cos{\alpha} t_1=\upsilon_0 \cos{\beta} t_2}\\{\upsilon_0 \sin{\alpha} t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\beta} t_2-\frac{gt_2^2}{2}}\end{matrix}\]

Из первого уравнения этой системы имеем:

    \[\cos{\alpha} t_1=\cos{\beta} t_2\]

Выразим из этого выражения t_1 и подставим во второе:

    \[t_1=\frac{\cos{\beta} t_2}{\cos{\alpha} }\]

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha} \cdot \frac{\cos{\beta} t_2}{\cos{\alpha} }-\upsilon_0 \sin{\beta} t_2=\frac{g\cos^2{\beta} t_2^2}{2\cos^2{\alpha} }-\frac{gt_2^2}{2}\]

    \[\upsilon_0 \left(\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta} \right) =\frac{g}{2}\cdot \left(\frac{\cos^2{\beta}}{\cos^2{\alpha} }-1\right) t_2\]

    \[t_2=\frac{2\upsilon_0}{g}\frac{\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta}}{\frac{\cos^2{\beta}}{\cos^2{\alpha} }-1}\]

Тогда искомая координата места пересечения струй равна:

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2}{g}\frac{\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos^2{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta}\cos{\beta}}{\frac{\cos^2{\beta}}{\cos^2{\alpha} }-1}\]

Преобразуем:

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2}{g}\cdot \left(\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos^2{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta}\cos{\beta}\right)\cdot \frac{\cos^2{\alpha}}{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }\]

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}}{g}\left[\frac{\sin{\alpha} \cdot \cos{\beta} \cdot \cos{\alpha} }{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }-\frac{\sin{\beta}\cos^2{\alpha}}{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }\right]\]

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin{\alpha} \cdot \cos{\beta} -\sin{\beta}\cos{\alpha}}{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }\right]\]

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta) }{1-sin^2{\beta}-(1-\sin^2{\alpha} )}\right]\]

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta) }{\sin^2{\alpha}-sin^2{\beta}}\right]\]

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta) }{\sin(\alpha+\beta)\cdot\sin(\alpha-\beta)}\right]\]

    \[S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g\sin(\alpha+\beta)}\]

Ответ: S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g\sin(\alpha+\beta)}

Комментариев - 2

  • Элина
    |

    Извините, но Vy=Vosina-gt, а не Vosina-gt/2
    Спасибо

    Ответить
    • Анна
      |

      Вы правы, если принимать за t время полета до точки максимального подъема. Но у меня за t принято полное время полета, поэтому до указанной точки струя летит t/2. Все верно.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *