Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия при жестко заданном законе изменения состояния газа

В этой статье собраны задачи, в которых состояние газа изменяется по определенному закону. Необходимо определить либо параметры первоначального состояния газа, либо изменение внутренней энергии.

К задаче 1

Задача 1. Идеальный газ сжимают поршнем и одновременно подогревают. Во сколько раз изменится его внутренняя энергия, если объем газа уменьшить в n= 5 раз, а давление увеличить в k= 7 раз?

Составим уравнение по объединенному закону:

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]

Подставим в это уравнение новую величину давления, а также объем:

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{7p_1\frac{1}{5}V_1}{T_2}\]

Тогда

    \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{5}{7}\]

Или

    \[\frac{T_2}{T_1}=\frac{7}{5}=1,4\]

Так как внутренняя энергия пропорциональна температуре, то

    \[\frac{U_2}{U_1}=\frac{7}{5}=1,4\]

Ответ: внутренняя энергия вырастет в 1,4 раза.

Задача 2. Изменение состояния 1 моля идеального одноатомного газа происходит по закону pV^n=const. Найти изменение внутренней энергии при увеличении объема в 2 раза для случаев: а)n=0; б)n=1; в)n=2. Начальная температура газа T_0=300К.

Рассмотрим первый случай: p=const. Это изобарный процесс,

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

    \[T_2=\frac{V_2T_1}{V_1}=600\]

    \[\Delta T=T_2-T_1=300\]

    \[\Delta U_1=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\cdot8,31 \cdot 300=3739,5\]

Второй случай: pV=const. Так как давление падает вдвое (ведь объем по условию растет), то по объединенному газовому закону температура неизменна, и, следовательно, внутренняя энергия постоянна:  \Delta U_2=0.

Третий случай: pV^2=const.

Тогда p_1V_1^2=p_2V_2^2, или \frac{p_1}{p_2}=4.

По объединенному газовому закону

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]

    \[\frac{T_2}{T_1}=\frac{ p_2V_2}{ p_1V_1}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\]

Так как температура упала вдвое, то и внутренняя энергия тоже изменится вдвое:

    \[\Delta T=T_2-T_1=-150\]

    \[\Delta U_3=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=-\frac{3}{2}\cdot8,31 \cdot 150=-1869,8\]

Ответ: \Delta U_1=3739,5 Дж, \Delta U_2=0 Дж, \Delta U_3=1869,8 Дж.
Задача 3. Один киломоль идеального одноатомного газа расширяется по закону \frac{p}{V}=const. При этом объем газа увеличивается втрое, а его внутренняя энергия увеличивается на \Delta U = 9,972\cdot 10^6 Дж. Какова была первоначальная температура газа?

Запишем для двух состояний:

    \[\frac{p_1}{V_1}=\frac{p_2}{V_2}\]

Подставим V_2=3V_1:

    \[\frac{p_1}{V_1}=\frac{p_2}{3V_1}\]

    \[\frac{p_2}{p_1}=3\]

По объединенному газовому закону

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]

Или

По объединенному газовому закону

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{3p_1\cdot3V_1}{T_2}\]

Тогда T_2=9T_1, следовательно, \Delta T=T_2-T_1=8T_1.

Теперь можно посчитать внутреннюю энергию, учитывая, что \nu=1000:

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R\cdot 8T_1=12\nu R T_1\]

    \[T_1=\frac{\Delta U }{12\nu R }=\frac{9,972\cdot 10^6}{12\cdot1000\cdot8,31}=100\]

Ответ: начальная температура T_1=100 K.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *