Внутренняя энергия при жестко заданном законе изменения состояния газа

В этой статье собраны задачи, в которых состояние газа изменяется по определенному закону. Необходимо определить либо параметры первоначального состояния газа, либо изменение внутренней энергии.

К задаче 1

Задача 1. Идеальный газ сжимают поршнем и одновременно подогревают. Во сколько раз изменится его внутренняя энергия, если объем газа уменьшить в $n= 5$ раз, а давление увеличить в $k= 7$ раз?

Составим уравнение по объединенному закону:

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$

Подставим в это уравнение новую величину давления, а также объем:

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{7p_1\frac{1}{5}V_1}{T_2}$

Тогда

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{5}{7}$

Или

$\frac{T_2}{T_1}=\frac{7}{5}=1,4$

Так как внутренняя энергия пропорциональна температуре, то

$\frac{U_2}{U_1}=\frac{7}{5}=1,4$

Ответ: внутренняя энергия вырастет в 1,4 раза.

Задача 2. Изменение состояния 1 моля идеального одноатомного газа происходит по закону $pV^n=const$ . Найти изменение внутренней энергии при увеличении объема в 2 раза для случаев: а) $n=0$ ; б) $n=1$ ; в) $n=2$ . Начальная температура газа $T_0=300$ К.

Рассмотрим первый случай: $p=const$ . Это изобарный процесс,

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

$T_2=\frac{V_2T_1}{V_1}=600$

$\Delta T=T_2-T_1=300$

$\Delta U_1=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\cdot8,31 \cdot 300=3739,5$

Второй случай: $pV=const$ . Так как давление падает вдвое (ведь объем по условию растет), то по объединенному газовому закону температура неизменна, и, следовательно, внутренняя энергия постоянна: $\Delta U_2=0$ .

Третий случай: $pV^2=const$ .

Тогда $p_1V_1^2=p_2V_2^2$ , или $\frac{p_1}{p_2}=4$ .

По объединенному газовому закону

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$

$\frac{T_2}{T_1}=\frac{ p_2V_2}{ p_1V_1}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

Так как температура упала вдвое, то и внутренняя энергия тоже изменится вдвое:

$\Delta T=T_2-T_1=-150$

$\Delta U_3=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=-\frac{3}{2}\cdot8,31 \cdot 150=-1869,8$

Ответ: $\Delta U_1=3739,5$ Дж, $\Delta U_2=0$ Дж, $\Delta U_3=1869,8$ Дж.
Задача 3. Один киломоль идеального одноатомного газа расширяется по закону $\frac{p}{V}=const$ . При этом объем газа увеличивается втрое, а его внутренняя энергия увеличивается на $\Delta U = 9,972\cdot 10^6$ Дж. Какова была первоначальная температура газа?