Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия газа

Сегодня решим несколько задач на определение внутренней энергии газа и ее изменение в процессах, графики которых даны.

К задаче 1

Задача 1. Определить изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа в процессе, изображением на p-V-диаграмме (см. рисунок), если p_0 = 0,1 МПа, V_0 = 2 л.

Внутренняя энергия определяется выражением:

    \[U=\frac{3}{2}\nu R T\]

Или, так как pV= \nu R T,

    \[U=\frac{3}{2} pV\]

Тогда в состоянии 1 внутренняя энергия равна

    \[U_1=\frac{3}{2} p_0V_0\]

А в состоянии 2

    \[U_2=\frac{3}{2} 1,5p_0\cdot3V_0=\frac{27}{4} p_0V_0\]

    \[U_2-U_1=\frac{21}{4} p_0V_0=5,25 p_0V_0\]

Второй способ решения: составим уравнение по объединенному закону:

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]

    \[\frac{p_0V_0}{T_1}=\frac{1,5p_0\cdot3V_0}{T_2}\]

Откуда T_2=4,5T_1. То есть энергия изменилась в 4,5 раза, а, следовательно, \Delta U=3,5U_1=\frac{21}{4} p_0V_0=5,25 p_0V_0

    \[\Delta U=5,25 \cdot 10^5\cdot 2\cdot10^{-3}=1100\]

Ответ: 1,1 кДж

 

Задача 2. Над идеальным одноатомным газом совершается процесс, в котором его давление изменяется пропорционально квадрату абсолютной температуры. При увеличении объема от V_0 = 2 л до V= ЗV_0 внутренняя энергия газа уменьшается на \Delta U = 300 Дж. Определить давление газа, когда он занимал объем V_0.

Запишем выражения для давлений газа в первом и втором состояниях:

    \[p_1=\alpha T_1^2\]

    \[p_2=\alpha (T_1+\Delta T)^2\]

Составим уравнение по объединенному закону:

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]

Подставим в это уравнение полученные величины давлений, а также известные объемы:

    \[\frac{\alpha T_1^2V_0}{T_1}=\frac{\alpha (T_1+\Delta T)^2\cdot3V_0}{ T_1+\Delta T }\]

Или, сокращая,

    \[T_1=(T_1+\Delta T)\cdot3\]

Откуда получаем, что изменение температуры равно

    \[\Delta T=-\frac{2T_1}{3}\]

Минус говорит об уменьшении температуры.

Но изменение внутренней энергии пропорционально изменению температуры:

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R\frac{2T_1}{3}=\nu R T_1=p_0V_0\]

    \[p_0=\frac{\Delta U }{V_0}=\frac{300}{2\cdot10^{-3}}=1,5\cdot10^5\]

Ответ: p_0=1,5\cdot10^5 Па.

Задача 3. Найти внутреннюю энергию смеси, состоящей из гелия массой m_1 = 20 г и неона массой m_2= 10 г  при температуре T= 300 K.

Внутренняя энергия гелия:

    \[U_{He}=\frac{3}{2}\nu_{He} R T\]

Внутренняя энергия неона:

    \[U_{Ne}=\frac{3}{2}\nu_{Ne} R T\]

Внутренняя энергия смеси – это сумма:

    \[U_{He}+ U_{Ne}=\frac{3}{2}RT\left(\frac{m_1}{M_{He}}+\frac{m_2}{M_{Ne}}\right)\]

    \[U_{He}+ U_{Ne}=\frac{3}{2}\cdot8,31\cdot300\left(\frac{20}{4}+\frac{10}{20}\right)=20567\]

Ответ: U_{He}+ U_{Ne}=2,1 кДж

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *