Внутреннее сопротивление источника-2

[latexpage]

Эта статья поможет разобраться с источниками: что такое короткое замыкание, напряжение на зажимах, как найти внутреннее сопротивление источника.

Задача 1. При подключении лампочки к источнику тока с $E = 4,5$ В напряжение на лампочке $U = 4$ В, а ток в ней $I = 0,25$ А. Каково внутреннее сопротивление источника?

Падение напряжения на лампочке равно 4 В, следовательно, $E-U=4,5-4=0,5$ В  падает на внутреннем сопротивлении источника. Тогда, зная ток, можем найти это сопротивление:

$$r=\frac{E-U}{I}=\frac{0,5}{0,25}=2$$

Ответ: 2 Ом.

Задача 2. Источник с ЭДС $E = 2,0$ В и внутренним сопротивлением $r= 0,8$ Ом замкнут никелиновой проволокой длиной $l = 2,1$ м и площадью поперечного сечения $S=0,21$ мм$^2$. Каково напряжение на зажимах источника?

Определим сопротивление проволоки:

$$R=\frac{\rho l}{S}=\frac{0,42\cdot2,1}{0,21}=4,2$$

Таким образом, ток в цепи будет равен:

$$I=\frac{E}{r+R}=\frac{2}{4,2+0,8}=0,4$$

Тогда на внутреннем сопротивлении при таком токе упадет

$$U_r=Ir=0,4\cdot0,8=0,32$$

И на зажимах источника будет

$$U=E-U_r=2-0,32=1,68$$

Можно было найти это напряжение иначе, как напряжение на проволоке:

$$U=IR=0,4\cdot4,2=1,68$$

Ответ: $U=1,68$ В.

Задача 3.  Какого диаметра был выбран железный провод длиной $l = 5$ м,
если после замыкания им источника тока с ЭДС $E= 1,5$ В и внутренним сопротивлением $r = 0,2$ Ом сила тока в нем $I= 0,6$ А?

Падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно $U_r=Ir=0,12$ В, на проволоке, следовательно, падает $U=E-U_r=1,38$ В. При данном токе сопротивление проволоки равно:

$$R=\frac{U}{I}=2,3$$

Тогда ее сечение равно:

$$S=\frac{\rho l}{R}=\frac{0,098\cdot5}{2,3}=0,213$$

Сечение получено в мм$^2$! Поэтому диаметр получится в мм.

Так как $S=\frac{\pi d^2}{4}$, то

$$d=\sqrt{\frac{4S}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot0,213}{3,14}}=0,52$$

Ответ: $d=0,52$ мм

Задача 4. В проводнике сопротивлением $R= 2$Ом, подключенном к элементу с $E = 1,1$ В, сила тока $I= 0,5$ А. Какова сила тока при коротком замыкании элемента?
Падение напряжения на внешнем сопротивлении равно $U=IR=1$ В. Следовательно, на внутреннем падает $U_r=E-U=0,1$ В. Значит, его сопротивление в 10 раз меньше $R$ и равно $r=0,2$ Ом. Тогда при коротком замыкании

$$I_{kz}=\frac{E}{r}=\frac{1,1}{0,2}=5,5$$

Ответ: $I_{kz}=5,5$ А.
Задача 5. При сопротивлении внешней цепи $R_1= 1$ Ом напряжение на зажимах источника $U_1= 1,5$ В, а при сопротивлении $R_2 = 2$ Ом напряжение $U_2 = 2$ В. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление источника.

Запишем систему уравнений:

$$U_1=E-U_r=E-Ir=E-\frac{Er}{r+R_1}$$

$$U_2=E-\frac{Er}{r+R_2}$$

Тогда

$$E=\frac{U_1}{1-\frac{r}{r+R_1}}$$

$$ E=\frac{U_2}{1-\frac{r}{r+R_2}}$$

Приравнивая, получим:

$$U_2+\frac{U_2 r}{R_2}= U_1+\frac{U_1 r}{R_1}$$

$$r\left(\frac{U_2}{R_2}-\frac{U_1}{R_1}\right)=U_1-U_2$$

Откуда

$$r=\frac{(U_1-U_2)R_1R_2}{U_2R_1-U_1R_2}=\frac{(U_2-U_1)R_1R_2}{U_1R_2-U_2R_1}=\frac{(0,5)\cdot2}{3-2}=1$$

Ответ: $r=1$ Ом.

Задача 6. При подключении к источнику тока сопротивления $R_1 = 16$ Ом сила тока в цепи $I_1 = 1$ А, а при подключении сопротивления $R_2 = 8$ Ом -сила тока $I_2 = 1,8$ А. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС батареи.

Ток в цепи:

$$I =\frac{E}{r+R}$$

$$E=I(r+R)$$

Тогда запишем:

$$E=I_1(r+R_1)$$

$$E=I_2(r+R_2)$$

Разделив уравнения друг на друга, получим:

$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{ r+R_2}{ r+R_1}$$

$$r (I_1- I_2)= I_2R_2 -I_1R_1$$

$$r=\frac{ I_2R_2 -I_1R_1}{ I_1- I_2}=\frac{16- 1,8\cdot8}{ 1,8-1}=2$$

Ответ: $r=2$ Ом.

Задача 7. В замкнутой цепи при уменьшении внешнего сопротивления на $\kappa_1 = 20$ % ток увеличился на $\kappa_2 = 20$% . На сколько процентов $\kappa_4$  увеличился бы ток, если бы внешнее сопротивление уменьшили на $\kappa_3= 40$% ?

До всевозможных изменений в цепи протекал ток, определяемый выражением:

$$I=\frac{E}{r+R}$$

Затем внешнее сопротивление уменьшили на 20 процентов, и оно стало равно $0,8R$. При этом ток равен $1,2I$:

$$ 1,2I=\frac{E}{r+0,8R}$$

Теперь запишем, каким будет ток, если внешнее сопротивление уменьшить на 40% ($0,6R$):

$$ I_x=\frac{E}{r+0,6R}$$

Пользуясь первыми двумя уравнениями, определим соотношением между $R$ и $r$:

$$E=I(r+R)$$

$$E=1,2I(r+0,8R)$$

Приравняем правые части:

$$ I(r+R)= 1,2I(r+0,8R)$$

$$R-1,2\cdot0,8R=0,2r$$

$$0,04R=0,2r$$

Или

$$R=5r$$

Теперь разделим друг на друга второе и третье уравнения (третье будем делить на второе):

$$\frac{I_x}{1,2I}=\frac{ r+0,8R }{ r+0,6R }$$

Подставляя $R=5r$, получим:

$$\frac{I_x}{I}=\frac{1,2( r+4r) }{ r+3r }=1,5$$

Ответ: ток увеличится на 50%.