Влажность – олимпиадная подготовка

[latexpage]

Задачи на пары и влажность – сложные, олимпиадные.

Задача 1. Между дном цилиндра и гладким поршнем при температуре 111 К содержится смесь гелия и криптона с относительной влажностью 0,5. Плотность гелия в 2 раза меньше плотности криптона. Ось цилиндра горизонтальна. Вне цилиндра давление равно нормальному атмосферному. Температура кипения криптона при нормальном атмосферном давлении равна 121 К. Молярные массы гелия и криптона равны 4 г/моль и 84 г/моль соответственно. На сколько нужно понизить температуру смеси, чтобы на стенках цилиндра выпала роса? Считать, что давление насыщенных паров криптона линейно зависит от его температуры.

Решение. Речь идет о влажности криптона, так как гелий становится жидким при очень низких температурах, близких к нулю. Так как цилиндр расположен горизонтально, то давление внутри равно давлению снаружи, то есть

$$p_{He}+p_{Kr}=p_0$$

Расписываем подробнее:

$$\frac{ m_{He} R T_1}{ M_{He}V}+\frac{ m_{Kr} R T_1}{ M_{Kr}V}=p_0$$

Так как плотность гелия вдвое меньше, чем плотность криптона, а объем газы занимают один и тот же, то и масса гелия вдвое меньше массы криптона.

$$ m_{He}=\frac{1}{2} m_{Kr}$$

Подставим в закон Дальтона:

$$\frac{ m_{Kr} R T_1}{V}\left(\frac{1}{2 M_{He}}+\frac{1}{ M_{Kr}}\right)=p_0$$

Откуда

$$p_{Kr}=\frac{ m_{Kr} R T_1}{ M_{Kr}V}=\frac{p_0}{\left(\frac{1}{2 M_{He}}+\frac{1}{ M_{Kr}}\right)M_{Kr}}$$

$$p_{Kr}=\frac{2p_0 M_{He}}{ M_{Kr}+2 M_{He}}$$

Оказывается, давление криптона постоянно! Значит, постоянным будет и давление гелия.

$$p_{Kr}=\frac{2p_0 \cdot 4}{ 84+8}=\frac{2p_0}{23}$$

Используем данные о влажности криптона:

$$\varphi=\frac{p_{Kr}}{p_n_{Kr}}=0,5$$

Откуда

$$ p_{n1}_{Kr}=\frac{ p_{Kr}}{\varphi }=\frac{2p_0}{23\cdot 0,5}=\frac{4p_0}{23}$$

Таково давление насыщенного пара криптона при 111 К. При 121 К криптон кипит, поэтому давление его насыщенного пара равно атмосферному.

$$ p_{n2}_{Kr}=p_0$$

Чтобы выпала роса, необходимо, чтобы

$$p_{Kr}=p_n_{Kr}$$

Запишем линейную зависимость давления от температуры.

$$p_n=\alpha T+\beta$$
У нас на этой зависимости есть две точки – 111 К и 121 К:

$$\frac{4p_0}{23}=111\alpha+\beta$$

$$p_0=121\alpha+\beta$$

Откуда

$$10\alpha=\frac{19p_0}{23}$$

$$\alpha=\frac{19p_0}{230}$$

И

$$\beta=\frac{4p_0}{23}-111\cdot \frac{19p_0}{230}$$

Этот коэффициент  можно не считать, он пропадет при вычитании. Для искомой температуры

$$\frac{2p_0}{23}=T_x \alpha+\beta$$

$$\frac{2p_0}{23}=(111-T_x)\cdot \frac{19p_0}{230}$$

$$111-T_x=\frac{20}{19}$$

Ответ: надо понизить температуру на $\frac{20}{19}$ градуса.

Задача 2.  В высокочувствительном герметичном калориметре измеряют теплоёмкость $C$ неизвестной массы $m$ воды, повышая температуру. При $T_1 = 10,5^{\circ}$ С теплоёмкость скачком упала с $C_1$ до $C_2$. Объём сосуда калориметра $V = 1$ л. Пользуясь графиком зависимости плотности насыщенных паров воды от температуры (см. рисунок), найдите $m$; $C_1$  и $C_2$. При температуре $T_1$ удельная теплота испарения воды равна $L = 2,5 \cdot 10^6$ Дж/кг. Теплоёмкость при постоянном объёме одного моля водяного пара $C_v=3R$.

К задаче 2

Решение. Пусть $\Delta m$ воды испарилось. Теплоемкость равна:

$$C=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{c(m-\Delta m)\Delta T+L\Delta m+\nu c_{\nu}\Delta T}{\Delta T}$$

$$C= c(m-\Delta m)+\frac{ L\Delta m }{\Delta T }+\nu c_{\nu}$$

Теплоемкость падает скачком. Это может случиться, если пропадут первые два слагаемых. А это будет, когда жидкости не останется. То есть она вся испарилась при $Т_1 = 10,5^{\circ}$ С. При такой температуре плотность равна $\rho=9,7$ г/м$^3$. Определим массу воды:

$m=\rho V=9,7$ г/м$^3\cdot 10^{-3}$ м$^3=9,7$ мг.

Когда воды нет

$$C_2=\nu c_{\nu}=\frac{9,7\cdot 10^{-3}}{18}\cdot 3R=1,62\cdot 10^{-3}R=0,013$$

При $10^{\circ}$ С плотность была еще равна $\rho_0=9,4$ г/м$^3$. $\Delta \rho=0,3$ г/м$^3$.

Изменение массы воды

$$\Delta m=\Delta \rho V=0,3\cdot 10^{-6}$$

Пока вода была еще

$$C_1= c(m-\Delta m)+\frac{ L\Delta m }{\Delta T }+C_2$$

$$C_1=4200\cdot 0,3\cdot 10^{-6}+\frac{2500000\cdot 0,3\cdot 10^{-6}}{0,5}+0,013=1,552$$

Ответ: $m=9,7$ мг, $C_1=1,552$ Дж/град, $C_2=0,013$ Дж/град.