Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 9 класс, ЕГЭ по математике, ОГЭ (ГИА) по математике

Векторы

 



 

Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.

Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.

Задача 1. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем BM:MC=1:3. Выразите векторы vec{AM} и vec{MD} через векторы vec{a}=vec{AD} и vec{b}=vec{AB}.

Найдем путь от точки А к точке М: для этого из точки А идем к В, а затем из В – к М. Часть работы сделана: путь мы нашли. Теперь представляем отрезки этого пути векторами: vec{AM}=vec{AB}+vec{BM}. Так как  vec{b}=vec{AB} – это дано, то полдела сделано, осталось выразить вектор  vec{BM}. Так как ABCD – параллелограмм, и BC=AD, то vec{BC}=vec{AD}. А вектор vec{BM} – часть vec{BC}. Какая часть? Так как соотношение BM:MC=1:3, то, значит, отрезок BC разделили на 4 части: 3x+1x, и тогда вектор vec{BM} – это три части из четырех, то есть vec{BM}={{3x}/{4x}}vec{BC}={3/4}vec{a}. Теперь объединяем весь путь от А к М: vec{AM}=vec{AB}+vec{BM}= vec{b}+{3/4}vec{a}.

Теперь так же поступим с вектором vec{MD}: пройдем от точки М к D: vec{MD}=vec{MC}+vec{CD}. Вектор vec{MC}={1/4}vec{BC}={1/4}vec{a}. А что такое вектор CD? По длине он равен вектору vec{b} и параллелен ему, но вектор vec{b} направлен вверх, а вектор vec{CD} – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): vec{b}=-vec{CD}, тогда vec{CD} =- vec{b}. Теперь записываем весь путь: vec{MD}=vec{MC}+vec{CD}={1/4}vec{a}- vec{b}.

 

Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что AM={1/2}MD. Выразите через векторы vec{x}=vec{AD}, vec{y}=vec{AB} следующие векторы: vec{AC}, vec{AO}, vec{DO}, vec{CO}, vec{AD}+vec{BC}, vec{AD}+vec{CO}, vec{OC}, vec{OA}, vec{AM}, vec{MC}, vec{BM}, vec{OM}.

Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор vec{AC} является суммой векторов vec{x} и vec{y}: vec{AC}=vec{x}+vec{y}, ну а vec{AO} – его половина, поэтому vec{AO}= {1/2}vec{AC}={1/2}vec{x}+{1/2}vec{y}.

Выразим вектор vec{CO}: по длине он равен вектору vec{AO}, но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор vec{AO} на (-1): vec{CO}=(-1)* vec{AO}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}. Тогда vec{OC}=(-1)* vec{CO}={1/2}vec{x}+{1/2}vec{y}, или vec{AO}= vec{OC}, и аналогично vec{OA}=- vec{AO}= vec{CO}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}

Теперь нам нужно получить вектор vec{DO}, значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда vec{DO}= vec{DC}+ vec{CO}. vec{DC}= vec{y}, а вектор vec{CO} мы уже нашли ранее. Получим: vec{DO}= vec{DC}+ vec{CO}= vec{y}-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}={1/2}vec{y} -{1/2}vec{x}

Векторы vec{AD}+vec{BC} и vec{AD}+vec{CO} получим из чисто арифметических соображений: vec{AD}+vec{BC}= 2vec{AD}= 2vec{x}; vec{AD}+vec{CO}=vec{x} -{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y} ={1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}

Получим векторы vec{AM}, vec{MC}, vec{BM}, vec{OM}. Так как отношение AM={1/2}MD, то получается, что отрезок AD разделили на три части, и длина AM равна длине одной из этих трех частей: AM={1/3}AD={1/3}vec{x}.

Чтобы получить вектор vec{MC}, пройдем от точки М к С: vec{MC}= vec{MD} + vec{DC}. MD={2/3}AD={2/3}vec{x}, vec{DC}= vec{y}, получаем: vec{MC}= vec{MD} + vec{DC}={2/3}vec{x}+ vec{y}

Чтобы получить вектор vec{BM}, пройдем от точки B к М: vec{BM}= vec{BA} + vec{AM}. AM={1/3}vec{x}, vec{BA}=-vec{y}, получаем: vec{BM}= {1/3}vec{x}-vec{y}

Остался последний: вектор vec{OM}. От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда vec{OM}= vec{OD}+ vec{DM} или vec{OM}= vec{OA}+ vec{AM}, в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут: vec{OM}= vec{OA}+ vec{AM}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}+{1/3}vec{x}=-{1/6}vec{x}-{1/2}vec{y}

 

 

Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка N так, что BN=2NC. Выразите вектор vec{AN} через vec{a}=vec{BA} и vec{b}=vec{BC}.

vec{BN}={2/3}vec{b}, тогда vec{AN}=vec{AB}+ vec{BN}=-vec{a}+{2/3}vec{b}

Задача 4. Пусть AA_1, BB_1, CC_1 – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}= vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}.

vec{OA_1}=vec{OC}+{1/2}vec{CB}, vec{OB_1}=vec{OA}+{1/2}vec{AC}, vec{OC_1}=vec{OB}+{1/2}vec{BA}.

Теперь сложим все три выражения:

vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+{1/2}vec{CB}+ vec{OA}+{1/2}vec{AC} vec{OB}+{1/2}vec{BA}, или, вынося за скобки дробь {1/2},

vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}+{1/2}(vec{CB}+vec{AC} +vec{BA})

Но vec{CB}+ vec{BA}+vec{AC} =0, так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому

vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}+{1/2}*0

vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}, ч.т.д.

 

 

Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: vec{OA}+vec{OC}= vec{OB}+vec{OD}.

vec{OA}={vec{ON}+vec{OM}}/2.

vec{OC}={vec{OP}+vec{OQ}}/2.

vec{OA}+ vec{OC}={vec{ON}+vec{OM}+ vec{OP}+vec{OQ}}/2.

vec{OB}={vec{ON}+vec{OP}}/2.

vec{OD}={vec{OQ}+vec{OM}}/2.

vec{OB}+ vec{OD}={vec{ON}+vec{OM}+ vec{OP}+vec{OQ}}/2.

Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: vec{OB}+ vec{OD}= vec{OA}+ vec{OC}.

 

Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если vec{ON}-vec{OM}= vec{OP}-vec{OQ}.

Так как vec{ON}-vec{OM}= vec{ON}+vec{MO}=vec{MN}, а vec{OP}-vec{OQ}= vec{OP}+vec{QO}=vec{QP}, то vec{MN}=vec{QP}, следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.

 

 



 

Задача 7. Найдите координаты вектора vec{a}+vec{b}, если а) vec{a}(3; 2), vec{b}(2;5); б)vec{a}(3; -4), vec{b}(1;5); в)vec{a}(-4; -2), vec{b}(5;3); г) vec{a}(2; 7), vec{b}(-3;-7).

Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) vec{a}+vec{b}(3+2;2+5), vec{a}+vec{b}(5;7); б) vec{a}+vec{b}(3+1;-4+5); vec{a}+vec{b}(4;1); в) vec{a}+vec{b}(-4-2;5+3); vec{a}+vec{b}(-6;8); г) vec{a}+vec{b}(2-3;7-7); vec{a}+vec{b}(-1;0).

 

Задача 8. Найдите длины векторов: vec{a}(5; 9), vec{b}(-3;4), vec{c({10; 17), vec{d}(-10;-10), vec{e}(11; 11), vec{f}(10;0).

Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат. Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:

delim{|}{vec{a}}{|}=sqrt{5^2+9^2}=sqrt{106}

delim{|}{vec{b}}{|}=sqrt{(-3)^2+4^2}=sqrt{25}=5

delim{|}{vec{c}}{|}=sqrt{(-10)^2+10^2}=10sqrt{2}

delim{|}{vec{d}}{|}=sqrt{10^2+17^2}=sqrt{389}

delim{|}{vec{e}}{|}=sqrt{11^2+(-11)^2}=11sqrt{2}

delim{|}{vec{f}}{|}=sqrt{10^2+0^2}=10

 

Задача 9.  Найдите x, если расстояние между точками а)A(2; 3), B(x;1) равно 2; б) расстояние между точками M(-1; x), N(2x;3) равно 7.

a)      Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:

d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Запишем:

d=2=sqrt{(x-2)^2+(1-3)^2}

4= (x-2)^2+4

(x-2)^2=0

x=2

 

б)  d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Тогда:

d=7=sqrt{(2x-(-1))^2+(3-x)^2}

49= (2x+1)^2+(3-x)^2

49=4x^2+4x+1+9-6x+x^2

5x^2-2x-39=0

Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:

D/4=1+5*39=196

Корни:

x_1={{-b/2}+sqrt{D/4}}/a={1+14}/5=3

x_2={{-b/2}-sqrt{D/4}}/a={1-14}/5=-2.6

Ответ: а) x=2

б) x=3 либо x=-2.6

 

Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а)A(-3; 5) и B(6;4); б) от точек C(4; -3), D(8;1)

Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая: N(0;y)

а) Запишем расстояние от точки А до точки N: d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},

d=sqrt{(0-(-3))^2+(y-5)^2}.

Запишем расстояние от точки B до точки N: d=sqrt{(0-6)^2+(y-4)^2}

Приравниваем расстояния: sqrt{(0-(-3))^2+(y-5)^2}= sqrt{(0-6)^2+(y-4)^2}

9+y^2-10y+25= 36+y^2-8y+16

-2y= 18

y= -9

Таким образом, искомая точка – N(0;-9)

б) Запишем расстояние от точки С до точки N: d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},

d=sqrt{(0-4)^2+(y-(-3))^2}.

Запишем расстояние от точки D до точки N: d=sqrt{(0-8)^2+(y-1)^2}

Приравниваем расстояния: sqrt{(0-4)^2+(y-(-3))^2}= sqrt{(0-8)^2+(y-1)^2}

16+y^2+6y+9= 64+y^2-2y+1

8y= 40

y= 5

Таким образом, искомая точка – N(0;5)

 

Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если A(4; 1), B(3;5), C(-1; 4), D(0;0).

Найдем  координаты векторов сторон такого четырехугольника.  Тогда координаты вектора AB будут: vec{AB}(x_b-x_a;y_b-y_a)vec{AB}(3-4;5-1)vec{AB}(-1;4).

Найдем координаты вектора DC: vec{DC}(x_d-x_c;y_d-y_c)vec{DC}((-1)-0;4-0)vec{DC}(-1;4).

Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: vec{BC}(x_b-x_c;y_b-y_c)vec{BC}((-1)-3;4-5)vec{BC}(-4;-1).Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: x_{AB}*x_{BC}+y_{AB}*y_{BC}=0, проверим, выполняется ли оно: (-1)*(-4)+4*(-1)=0 – да, условие выполняется. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны – а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он  – параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны – значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: S=AB*BC. Найдем длины векторов vec{AB} и vec{BC}.

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

AB=sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2}=sqrt{17}BC=sqrt{(-1-3)^2+(4-5)^2}=sqrt{17}

Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.

 

Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а  второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника. Координаты вершин треугольника будут: A(-40; 0), B(0;160), C(40; 0), а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: M({40+0}/2; {0+160}/2)M(20;80)

Длина искомой медианы: AM=sqrt{(-40-20)^2+(0-80)^2}=sqrt{60^2+80^2}=100

Ответ: AM=100.

 

Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Координаты вершин треугольника будут: A(-10; 0), B(0;10), C(4; 0).

Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС. Точка М – середина ВС,  а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: M({4+0}/2; {0+10}/2)M(2;5). Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого A(-10; 0) и  M(2;5).

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Тогда AM=sqrt{(2-(-10))^2+(5-0)^2}=13

Ответ: AM=13.

 

Задача 14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство: AM^2+CM^2=BM^2+DM^2

В треугольнике АМТ  АМ – гипотенуза. Тогда AM^2={x_m}^2+{y_m}^2

В треугольнике CМK  CМ – гипотенуза. Тогда CM^2=({x_c}-x_m)^2+({y_c}-y_m)^2

Рассмотрим треугольник BMS: BM^2={x_m}^2+({y_c}-y_m)^2

А гипотенуза треугольника DMT: DM^2=({x_c}-x_m)^2+{y_m}^2

Сложим квадраты: AM^2+CM^2={x_m}^2+{y_m}^2+({x_c}-x_m)^2+({y_c}-y_m)^2

BM^2+DM^2={x_m}^2+({y_c}-y_m)^2 +({x_c}-x_m)^2+{y_m}^2

Видим, что правые части равенств равны, значит, равны и левые: AM^2+CM^2=BM^2+DM^2, ч.т.д.

 

 



 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *