Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 9 класс, Векторы, ОГЭ по математике

Векторы


Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.

Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.

Задача 1. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем [pmath]BM:MC=1:3[/pmath]. Выразите векторы [pmath]vec{AM}[/pmath] и [pmath]vec{MD}[/pmath] через векторы [pmath]vec{a}=vec{AD}[/pmath] и [pmath]vec{b}=vec{AB}[/pmath].

Найдем путь от точки А к точке М: для этого из точки А идем к В, а затем из В – к М. Часть работы сделана: путь мы нашли. Теперь представляем отрезки этого пути векторами: [pmath]vec{AM}=vec{AB}+vec{BM}[/pmath]. Так как  [pmath]vec{b}=vec{AB}[/pmath] – это дано, то полдела сделано, осталось выразить вектор  [pmath]vec{BM}[/pmath]. Так как ABCD – параллелограмм, и BC=AD, то [pmath]vec{BC}=vec{AD}[/pmath]. А вектор [pmath]vec{BM}[/pmath] – часть [pmath]vec{BC}[/pmath]. Какая часть? Так как соотношение [pmath]BM:MC=1:3[/pmath], то, значит, отрезок BC разделили на 4 части: 3x+1x, и тогда вектор [pmath]vec{BM}[/pmath] – это три части из четырех, то есть [pmath]vec{BM}={{3x}/{4x}}vec{BC}={3/4}vec{a}[/pmath]. Теперь объединяем весь путь от А к М: [pmath]vec{AM}=vec{AB}+vec{BM}= vec{b}+{3/4}vec{a}[/pmath].

Теперь так же поступим с вектором [pmath]vec{MD}[/pmath]: пройдем от точки М к D: [pmath]vec{MD}=vec{MC}+vec{CD}[/pmath]. Вектор [pmath]vec{MC}={1/4}vec{BC}={1/4}vec{a} [/pmath]. А что такое вектор CD? По длине он равен вектору [pmath]vec{b}[/pmath] и параллелен ему, но вектор [pmath]vec{b}[/pmath] направлен вверх, а вектор [pmath]vec{CD}[/pmath] – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): [pmath]vec{b}=-vec{CD}[/pmath], тогда [pmath]vec{CD} =- vec{b}[/pmath]. Теперь записываем весь путь: [pmath]vec{MD}=vec{MC}+vec{CD}={1/4}vec{a}- vec{b}[/pmath].

 

Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что [pmath]AM={1/2}MD[/pmath]. Выразите через векторы [pmath]vec{x}=vec{AD}[/pmath], [pmath]vec{y}=vec{AB}[/pmath] следующие векторы: [pmath]vec{AC}, vec{AO}, vec{DO}, vec{CO}, vec{AD}+vec{BC}, vec{AD}+vec{CO}, vec{OC}, vec{OA}, vec{AM}, vec{MC}, vec{BM}, vec{OM}[/pmath].

Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор [pmath]vec{AC}[/pmath] является суммой векторов [pmath]vec{x}[/pmath] и [pmath]vec{y}[/pmath]: [pmath] vec{AC}=vec{x}+vec{y}[/pmath], ну а [pmath]vec{AO}[/pmath] – его половина, поэтому [pmath] vec{AO}= {1/2}vec{AC}={1/2}vec{x}+{1/2}vec{y}[/pmath].

Выразим вектор [pmath]vec{CO}[/pmath]: по длине он равен вектору [pmath]vec{AO}[/pmath], но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор [pmath]vec{AO}[/pmath] на (-1): [pmath]vec{CO}=(-1)* vec{AO}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y} [/pmath]. Тогда [pmath]vec{OC}=(-1)* vec{CO}={1/2}vec{x}+{1/2}vec{y} [/pmath], или [pmath]vec{AO}= vec{OC}[/pmath], и аналогично [pmath]vec{OA}=- vec{AO}= vec{CO}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}[/pmath]

Теперь нам нужно получить вектор [pmath]vec{DO}[/pmath], значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда [pmath]vec{DO}= vec{DC}+ vec{CO} [/pmath]. [pmath]vec{DC}= vec{y}[/pmath], а вектор [pmath]vec{CO}[/pmath] мы уже нашли ранее. Получим: [pmath]vec{DO}= vec{DC}+ vec{CO}= vec{y}-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}={1/2}vec{y} -{1/2}vec{x}[/pmath]

Векторы [pmath]vec{AD}+vec{BC}[/pmath] и [pmath]vec{AD}+vec{CO}[/pmath] получим из чисто арифметических соображений: [pmath]vec{AD}+vec{BC}= 2vec{AD}= 2vec{x} [/pmath]; [pmath]vec{AD}+vec{CO}=vec{x} -{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y} ={1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}[/pmath]

Получим векторы [pmath]vec{AM}, vec{MC}, vec{BM}, vec{OM}[/pmath]. Так как отношение [pmath]AM={1/2}MD[/pmath], то получается, что отрезок [pmath]AD[/pmath] разделили на три части, и длина [pmath]AM[/pmath] равна длине одной из этих трех частей: [pmath]AM={1/3}AD={1/3}vec{x}[/pmath].

Чтобы получить вектор [pmath]vec{MC}[/pmath], пройдем от точки М к С: [pmath]vec{MC}= vec{MD} + vec{DC}[/pmath]. [pmath]MD={2/3}AD={2/3}vec{x}[/pmath], [pmath]vec{DC}= vec{y}[/pmath], получаем: [pmath]vec{MC}= vec{MD} + vec{DC}={2/3}vec{x}+ vec{y}[/pmath]

Чтобы получить вектор [pmath]vec{BM}[/pmath], пройдем от точки B к М: [pmath]vec{BM}= vec{BA} + vec{AM}[/pmath]. [pmath]AM={1/3}vec{x}[/pmath], [pmath]vec{BA}=-vec{y}[/pmath], получаем: [pmath]vec{BM}= {1/3}vec{x}-vec{y}[/pmath]

Остался последний: вектор [pmath]vec{OM}[/pmath]. От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда [pmath]vec{OM}= vec{OD}+ vec{DM}[/pmath] или [pmath]vec{OM}= vec{OA}+ vec{AM}[/pmath], в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут: [pmath]vec{OM}= vec{OA}+ vec{AM}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}+{1/3}vec{x}=-{1/6}vec{x}-{1/2}vec{y}[/pmath]

 

 

Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка [pmath]N[/pmath] так, что [pmath]BN=2NC[/pmath]. Выразите вектор [pmath]vec{AN}[/pmath] через [pmath]vec{a}=vec{BA}[/pmath] и [pmath]vec{b}=vec{BC}[/pmath].

[pmath]vec{BN}={2/3}vec{b}[/pmath], тогда [pmath]vec{AN}=vec{AB}+ vec{BN}=-vec{a}+{2/3}vec{b} [/pmath]

 

Задача 4. Пусть [pmath]AA_1, BB_1, CC_1[/pmath] – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что [pmath]vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}= vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1} [/pmath].

[pmath]vec{OA_1}=vec{OC}+{1/2}vec{CB}[/pmath], [pmath]vec{OB_1}=vec{OA}+{1/2}vec{AC}[/pmath], [pmath]vec{OC_1}=vec{OB}+{1/2}vec{BA}[/pmath].

Теперь сложим все три выражения:

[pmath]vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+{1/2}vec{CB}+ vec{OA}+{1/2}vec{AC} vec{OB}+{1/2}vec{BA}[/pmath], или, вынося за скобки дробь [pmath]{1/2}[/pmath],

[pmath]vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}+{1/2}(vec{CB}+vec{AC} +vec{BA})[/pmath]

Но [pmath]vec{CB}+ vec{BA}+vec{AC} =0[/pmath], так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому

[pmath]vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}+{1/2}*0[/pmath]

[pmath]vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}[/pmath], ч.т.д.

 

 

Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: [pmath]vec{OA}+vec{OC}= vec{OB}+vec{OD}[/pmath].

[pmath]vec{OA}={vec{ON}+vec{OM}}/2[/pmath].

[pmath]vec{OC}={vec{OP}+vec{OQ}}/2[/pmath].

[pmath]vec{OA}+ vec{OC}={vec{ON}+vec{OM}+ vec{OP}+vec{OQ}}/2[/pmath].

[pmath]vec{OB}={vec{ON}+vec{OP}}/2[/pmath].

[pmath]vec{OD}={vec{OQ}+vec{OM}}/2[/pmath].

[pmath]vec{OB}+ vec{OD}={vec{ON}+vec{OM}+ vec{OP}+vec{OQ}}/2[/pmath].

Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: [pmath]vec{OB}+ vec{OD}= vec{OA}+ vec{OC}[/pmath].

 

Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если [pmath]vec{ON}-vec{OM}= vec{OP}-vec{OQ}[/pmath].

Так как [pmath]vec{ON}-vec{OM}= vec{ON}+vec{MO}=vec{MN}[/pmath], а [pmath]vec{OP}-vec{OQ}= vec{OP}+vec{QO}=vec{QP}[/pmath], то [pmath]vec{MN}=vec{QP}[/pmath], следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.




Задача 7. Найдите координаты вектора [pmath]vec{a}+vec{b}[/pmath], если а) [pmath]vec{a}(3; 2)[/pmath], [pmath]vec{b}(2;5)[/pmath]; б)[pmath]vec{a}(3; -4)[/pmath], [pmath]vec{b}(1;5)[/pmath]; в)[pmath]vec{a}(-4; -2)[/pmath], [pmath]vec{b}(5;3)[/pmath]; г) [pmath]vec{a}(2; 7)[/pmath], [pmath]vec{b}(-3;-7)[/pmath].

Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) [pmath]vec{a}+vec{b}(3+2;2+5)[/pmath], [pmath]vec{a}+vec{b}(5;7)[/pmath]; б) [pmath]vec{a}+vec{b}(3+1;-4+5)[/pmath]; [pmath]vec{a}+vec{b}(4;1)[/pmath]; в) [pmath]vec{a}+vec{b}(-4-2;5+3)[/pmath]; [pmath]vec{a}+vec{b}(-6;8)[/pmath]; г) [pmath]vec{a}+vec{b}(2-3;7-7)[/pmath]; [pmath]vec{a}+vec{b}(-1;0)[/pmath].

 

Задача 8. Найдите длины векторов: [pmath]vec{a}(5; 9)[/pmath], [pmath]vec{b}(-3;4)[/pmath], [pmath]vec{c({10; 17)[/pmath], [pmath]vec{d}(-10;-10)[/pmath], [pmath]vec{e}(11; 11)[/pmath], [pmath]vec{f}(10;0)[/pmath].

Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат. Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:

[pmath] delim{|}{vec{a}}{|}=sqrt{5^2+9^2}=sqrt{106}[/pmath]

[pmath] delim{|}{vec{b}}{|}=sqrt{(-3)^2+4^2}=sqrt{25}=5[/pmath]

[pmath] delim{|}{vec{c}}{|}=sqrt{(-10)^2+10^2}=10sqrt{2}[/pmath]

[pmath] delim{|}{vec{d}}{|}=sqrt{10^2+17^2}=sqrt{389}[/pmath]

[pmath] delim{|}{vec{e}}{|}=sqrt{11^2+(-11)^2}=11sqrt{2}[/pmath]

[pmath] delim{|}{vec{f}}{|}=sqrt{10^2+0^2}=10[/pmath]

Задача 9.  Найдите [pmath]x[/pmath], если расстояние между точками а)[pmath]A(2; 3)[/pmath], [pmath]B(x;1)[/pmath] равно 2; б) расстояние между точками [pmath]M(-1; x)[/pmath], [pmath]N(2x;3)[/pmath] равно 7.

a)      Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:

[pmath]d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/pmath]. Запишем:

[pmath]d=2=sqrt{(x-2)^2+(1-3)^2}[/pmath]

[pmath]4= (x-2)^2+4[/pmath]

[pmath](x-2)^2=0[/pmath]

[pmath]x=2[/pmath]

 

б)  [pmath]d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/pmath]. Тогда:

[pmath]d=7=sqrt{(2x-(-1))^2+(3-x)^2}[/pmath]

[pmath]49= (2x+1)^2+(3-x)^2[/pmath]

[pmath]49=4x^2+4x+1+9-6x+x^2[/pmath]

[pmath]5x^2-2x-39=0[/pmath]

Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:

[pmath]D/4=1+5*39=196[/pmath]

Корни:

[pmath]x_1={{-b/2}+sqrt{D/4}}/a={1+14}/5=3[/pmath]

[pmath]x_2={{-b/2}-sqrt{D/4}}/a={1-14}/5=-2.6[/pmath]

Ответ: а) [pmath]x=2[/pmath]

б) [pmath]x=3[/pmath] либо [pmath]x=-2.6[/pmath]

 

Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а)[pmath]A(-3; 5)[/pmath] и [pmath]B(6;4)[/pmath]; б) от точек [pmath]C(4; -3)[/pmath], [pmath]D(8;1)[/pmath]

Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая: [pmath]N(0;y)[/pmath]

а) Запишем расстояние от точки А до точки N: [pmath]d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/pmath],

[pmath]d=sqrt{(0-(-3))^2+(y-5)^2}[/pmath].

Запишем расстояние от точки B до точки N: [pmath]d=sqrt{(0-6)^2+(y-4)^2}[/pmath]

Приравниваем расстояния: [pmath]sqrt{(0-(-3))^2+(y-5)^2}= sqrt{(0-6)^2+(y-4)^2} [/pmath]

[pmath]9+y^2-10y+25= 36+y^2-8y+16 [/pmath]

[pmath] -2y= 18 [/pmath]

[pmath] y= -9 [/pmath]

Таким образом, искомая точка – [pmath]N(0;-9)[/pmath]

б) Запишем расстояние от точки С до точки N: [pmath]d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/pmath],

[pmath]d=sqrt{(0-4)^2+(y-(-3))^2}[/pmath].

Запишем расстояние от точки D до точки N: [pmath]d=sqrt{(0-8)^2+(y-1)^2}[/pmath]

Приравниваем расстояния: [pmath] sqrt{(0-4)^2+(y-(-3))^2}= sqrt{(0-8)^2+(y-1)^2} [/pmath]

[pmath]16+y^2+6y+9= 64+y^2-2y+1 [/pmath]

[pmath] 8y= 40 [/pmath]

[pmath] y= 5 [/pmath]

Таким образом, искомая точка – [pmath]N(0;5)[/pmath]

 

Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если [pmath]A(4; 1)[/pmath], [pmath]B(3;5)[/pmath], [pmath]C(-1; 4)[/pmath], [pmath]D(0;0)[/pmath].

Найдем  координаты векторов сторон такого четырехугольника.  Тогда координаты вектора AB будут: [pmath]vec{AB}(x_b-x_a;y_b-y_a)[/pmath], [pmath]vec{AB}(3-4;5-1)[/pmath], [pmath]vec{AB}(-1;4)[/pmath].

Найдем координаты вектора DC: [pmath]vec{DC}(x_d-x_c;y_d-y_c)[/pmath], [pmath]vec{DC}((-1)-0;4-0)[/pmath], [pmath]vec{DC}(-1;4)[/pmath].

Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: [pmath]vec{BC}(x_b-x_c;y_b-y_c)[/pmath], [pmath]vec{BC}((-1)-3;4-5)[/pmath], [pmath]vec{BC}(-4;-1)[/pmath].Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: [pmath]x_{AB}*x_{BC}+y_{AB}*y_{BC}=0[/pmath], проверим, выполняется ли оно: [pmath](-1)*(-4)+4*(-1)=0[/pmath] – да, условие выполняется. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны – а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он  – параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны – значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: [pmath]S=AB*BC[/pmath]. Найдем длины векторов [pmath]vec{AB}[/pmath] и [pmath]vec{BC}[/pmath].

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

[pmath]d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/pmath]

[pmath]AB=sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2}=sqrt{17}[/pmath], [pmath]BC=sqrt{(-1-3)^2+(4-5)^2}=sqrt{17}[/pmath]

Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.

 

Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а  второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника. Координаты вершин треугольника будут: [pmath]A(-40; 0)[/pmath], [pmath]B(0;160)[/pmath], [pmath]C(40; 0)[/pmath], а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: [pmath]M({40+0}/2; {0+160}/2)[/pmath],  [pmath]M(20;80)[/pmath]

Длина искомой медианы: [pmath]AM=sqrt{(-40-20)^2+(0-80)^2}=sqrt{60^2+80^2}=100[/pmath]

Ответ: [pmath]AM=100[/pmath].

 

Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Координаты вершин треугольника будут: [pmath]A(-10; 0)[/pmath], [pmath]B(0;10)[/pmath], [pmath]C(4; 0)[/pmath].

Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС. Точка М – середина ВС,  а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: [pmath]M({4+0}/2; {0+10}/2)[/pmath],  [pmath]M(2;5)[/pmath]. Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого [pmath]A(-10; 0)[/pmath] и  [pmath]M(2;5)[/pmath].

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

[pmath]d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/pmath]

Тогда [pmath]AM=sqrt{(2-(-10))^2+(5-0)^2}=13[/pmath]

Ответ: [pmath]AM=13[/pmath].

 

Задача 14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство: [pmath]AM^2+CM^2=BM^2+DM^2[/pmath]

В треугольнике АМТ  АМ – гипотенуза. Тогда [pmath]AM^2={x_m}^2+{y_m}^2[/pmath]

В треугольнике CМK  CМ – гипотенуза. Тогда [pmath]CM^2=({x_c}-x_m)^2+({y_c}-y_m)^2[/pmath]

Рассмотрим треугольник BMS: [pmath]BM^2={x_m}^2+({y_c}-y_m)^2[/pmath]

А гипотенуза треугольника DMT: [pmath]DM^2=({x_c}-x_m)^2+{y_m}^2[/pmath]

Сложим квадраты: [pmath]AM^2+CM^2={x_m}^2+{y_m}^2+({x_c}-x_m)^2+({y_c}-y_m)^2 [/pmath]

[pmath]BM^2+DM^2={x_m}^2+({y_c}-y_m)^2 +({x_c}-x_m)^2+{y_m}^2 [/pmath]

Видим, что правые части равенств равны, значит, равны и левые: [pmath]AM^2+CM^2=BM^2+DM^2[/pmath], ч.т.д.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *