Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Векторы

Векторное и смешанное произведение векторов в задачах

В этих задачах, предлагаемых порталом “Профи.ру” на сертификации для репетиторов, необходимо определить либо площадь фигур, построенных на векторах, либо объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на ребрах. Потребуется знание того, как посчитать определитель второго и третьего порядков.

Задача 1. Чему равна площадь треугольника, построенного на векторах   и ?

Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

При решении этой задачи можно, во-первых, построить вектора – координаты хорошие – и вычислить площадь чисто геометрически, «отрезая» все лишнее. А любителям алгебраических методов – можно найти векторное произведение векторов. Таким образом определяют площадь параллелограмма, поэтому полученный результат необходимо будет разделить на 2. Делаем!

К задаче 1

Первый способ, геометрический: площадь прямоугольника равна 72, площадь зеленого треугольника – 30, площадь желтого – 18, бежевого – 3. Тогда площадь искомого треугольника равна 72-30-18-3=21.

Второй способ: ищем половину векторного произведения. Понадобится знание, как решить определитель. Векторное произведение – вектор, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах.

   

Ответ: 21.

Задача 2. В пространстве даны 4 точки: и . Чему равен объем параллелепипеда, построенного на векторах и как на трех ребрах?

В этой задаче без смешанного произведения не обойтись. Определим сначала координаты векторов:

   

   

   

Теперь составляем и считаем определитель:

   

Ответ: 9.

Задача 3. Чему равна площадь треугольника, построенного на векторах и ?

Аналогично первой задаче, считаем определитель:

   

   

Ответ: 2040.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *