В10 – анализ геометрических высказываний.

При выполнении заданий этого типа нужно вспомнить теоремы и аксиомы, которые вам известны, и, кроме того, очень помогает выполнение рисунка.

1.  Укажите номера верных утверждений:

1) “Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны” – да, это один из признаков подобия.

2) “Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны” – да, это справедливо для равнобедренного треугольника.

3) “В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны” – нет, это справедливо только для ромбоида и ромба.

Ответ: 1,2

2. Укажите номера верных утверждений:

1) “Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части” – да, в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой (и высотой).

2) “Внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и се­ку­щей, равны” – да, есть такая теорема в разделе “планиметрия”.

3) “Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют” – да, только в равностороннем треугольнике совпадают точки пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) и серединных перпендикуляров к сторонам (центр описанной окружности).

Ответ: 1,2,3

3. Укажите номера неверных утверждений:

1) “Если угол ост­рый, то смеж­ный с ним угол также яв­ля­ет­ся ост­рым” – нет, сумма смежных углов равна 180, а значит, если один – острый, то второй неизбежно – тупой..

2) “Если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны трём сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то тре­уголь­ни­ки по­доб­ны” – да, это признак подобия треугольников.

3) “В плос­ко­сти все точки, рав­но­удалённые от за­дан­ной точки, лежат на одной окруж­но­сти” – да, когда мы строим окружность с помощью циркуля, то задаем это расстояние (радиус),  и тогда все точки окружности удалены от ее центра именно на это расстояние. В пространстве же такие точки образуют сферу.

Ответ: 1

4. Укажите номера неверных утверждений:

1) “Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной” – нет, этим свойством обладает лишь биссектриса, проведенная к основанию – той стороне, к которой прилежат равные углы этого треугольника.

2) “Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком” – нет, квадрат по определению – прямоугольник.

3) “Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ром­бом” – нет, у квадрата все стороны равны, так что он обязательно – ромб.

Ответ: 1,2,3

5. Укажите номера верных утверждений:

1) “Диа­го­на­ли квад­ра­та вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны” – да, это правило работает для ромбоидов и ромбов, а квадрат – ромб, так как его стороны равны.

2) “Сумма смеж­ных углов равна 180” – да, это теорема, смежные углы в сумме образуют развернутый угол.

3) “Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой мень­ше 1, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, мень­ше 1” – нет. Расстояние – это длина перпендикуляра, самый короткий “путь”, соединяющий точку и прямую. Любой другой путь – очевидно, длиннее.

Ответ: 1,2

 

6. Укажите номера неверных утверждений:

1) “Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку” – только в том случае, если они не параллельны, и не лежат в параллельных плоскостях. Ответ – нет.

2) “Если угол равен 45, то вер­ти­каль­ный с ним угол равен 45” – да, вертикальные углы равны.

3) “Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 65, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны” – да. Какой бы ни была градусная мера этих углов, главное – чтобы они были равны.

Ответ: 1

7. Укажите номера верных утверждений:

1) “Через любую точку про­хо­дит более одной пря­мой” – да, бесконечное количество.

2) “Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой” – да. Если точки не лежат на одной прямой, то через них невозможно ее провести. Если же лежат – то такая прямая только одна.

3) “Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окруж­но­сти, равны” – да. Также возможен случай, когда их сумма равна 180. На рисунке равны углы ADB  и AEB, находящиеся по одну сторону от хорды, на которую они опираются, а сумма любого из этих углов с углом ACB будет равна 180. Скорее всего, имеет место некорректная формулировка вопроса.

4) “Через любые три точки про­хо­дит не более одной окруж­но­сти” – да, это теорема.

Ответ: 1,2,3,4

8. Укажите номера неверных утверждений:

1) “Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек” – верно. Даже если бы были упомянуты радиусы, а не диаметры, это тоже было бы верно.

2) “Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, то этот че­ты­рех­уголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм” – нет, это может быть любой четырехугольник, например, трапеция.

3) “Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 130, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окруж­но­сти, равен 65” – правильно. Речь идет о дуге, а не о хорде, будьте внимательны! Известно, что вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, а градусная мера дуги равна градусной мере ее центрально угла.

Ответ: 2

9. Укажите номера неверных утверждений:

1) “Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми, рав­ны­ми 3, 4, 5, на­хо­дит­ся на сто­ро­не этого тре­уголь­ни­ка” -да, это египетский треугольник (прямоугольный), а в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Другие Пифагоровы тройки: (5,12,13), (6,8,10),  (7,24, 25),  (9,12,15) и т. д.

2) “Около лю­бо­го ромба можно опи­сать окруж­ность” – нет. Вообще параллелограмм нельзя вписать в окружность. Исключение составляет квадрат.

3) “Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным” – да. Это можно установить по теореме косинусов – для этого треугольника косинусы получатся положительными, а положительными являются косинусы острых углов.

4) “Если две смеж­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого па­рал­ле­ло­грам­ма равна 10” – да. Вычисляется по формуле для площади параллелограмма через произведение сторон и синус угла между ними: 

Ответ: 2

10. Укажите номера неверных утверждений:

1) “Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90” – да, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90.

2) “Если гипотенуза одного прямоугольного треугольника равна гипотенузе другого, то такие треугольники равны” – нет. Например, на диаметре окружности можно построить бесконечное количество прямоугольных треугольников, гипотенуза у всех одна – диаметр, а геометрическое место вершин образует полуокружность, но все треугольники – разные!

3) “Треугольник со сторонами 5, 4, 9 не существует” – да, так как сумма двух отрезков равна третьему, и такие отрезки не могут образовать треугольник.

Ответ: 2

11.  Укажите номера верных утверждений:

1) “В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол” – нет, против меньшей стороны – меньший угол.

2) “Если радиусы окружностей 4 и 5, а расстояние между их центрами равно 9, то эти окружности касаются” – да, см. рисунок.

3) “Если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 160, то сумма двух других его углов равна 200” – да, сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360.

4) “Диагонали квадрата делят его углы пополам” – да, ведь квадрат – это ромб, а ромб составлен из двух равнобедренных треугольников.

Ответ: 2,3,4

12.  Укажите номера верных утверждений:

1) “Внешний угол треугольника больше каждого не смежного с ним внутреннего угла” – да, чтобы найти внешний угол, нужно из 180 (развернутый угол) вычесть внутренний угол треугольника, а чтобы найти любой внутренний угол, нужно из 180 (сумма углов треугольника) вычесть ОБА внутренних угла этого  треугольника.

2) “Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм – квадрат” – да, так как диагонали перпендикулярны, то он – ромб, а поскольку еще и равны – то квадрат.

3) “Около любой трапеции можно описать окружность” – нет, только около равнобедренной, сумма противоположных углов которой – 180.

4) “Если расстояние между окружностями меньше суммы радиусов, то окружности пересекаются” – да, см. рисунок.

Ответ: 1,2,4

13. Укажите номера неверных утверждений:

1) “Любые два равносторонних треугольника подобны” – да, все углы таких треугольников равны, а это – один из признаков подобия.

2) “Любые два равнобедренных треугольника подобны” – нет. У них могут быть совершенно разные углы.

3) “Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия” – нет, оно равно квадрату коэффициента подобия.

4) “Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны” – да, по признаку подобия по двум углам.

Ответ: 2,3