Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 13 (С1)

Уравнения из ЕГЭ прошлых лет. Задание 15.


И еще немного уравнений!  Рассмотрим уравнения из заданий  С1 ЕГЭ 2013. Все они разные, есть очень простые, есть посложнее, с логарифмами и с модулями.

Задание 1. Решить уравнение: 3^x+4^x=25


 

Уравнение очень просто и быстро решается подбором, только для подобранного корня (или корней) должны быть основания. А именно: слева сумма двух возрастающих функций – то есть также возрастающая функция, а справа – прямая, параллельная оси х. Таким образом, пересечение может быть только одно, то есть корень единственен. Дальше просто подбираем решение: x=2.

Ответ: 2.

Задание 2. Решить уравнение: 4^{sqrt{x+1}}+4^{sqrt{x+1}-1}=4^{sqrt{x+1}+1}-11


 

В этом уравнении хорошо видна одна и та же степень, 4^{sqrt{x+1}}, давайте добьемся, чтобы везде степень была бы одинаковой, и затем вытащим ее за скобку:

4^{sqrt{x+1}}+{1/4}*4^{sqrt{x+1}}=4*4^{sqrt{x+1}}-11

4^{sqrt{x+1}}+{1/4}*4^{sqrt{x+1}}-4*4^{sqrt{x+1}}=-11

4^{sqrt{x+1}}(1+{1/4}-4)=-11

4^{sqrt{x+1}}(-2{3/4})=-11

4^{sqrt{x+1}}(11/4)=11

4^{sqrt{x+1}}=4

4^{sqrt{x+1}}=4^1

Основания степени справа и слева одинаковые, поэтому приравниваем показатели:

sqrt{x+1}=1

x+1=1

x=0

Ответ: 0.

Задание 3. Решить уравнение: 1/{log_2 (1+x)}+{2log_{0,25} (3,5-x)}/{log_2 (1+x)}=1


 

Сразу, видя логарифмы, определим ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+1>0}{3,5-x>0}{log_2 (1+x)<>0}}}{}” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+1>0}{3,5-x>0}{log_2 (1+x)<>0}}}{}”/><img src=

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>-1}{x<3,5}{x<>0}}}{}” title=”delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>-1}{x<3,5}{x<>0}}}{}”/><img src=

Теперь приведем все логарифмы к одному основанию, и домножим на log_2 (1+x):

1+2log_{2^{-2}} (3,5-x)=log_2 (1+x)

log_2 2+2(-1/2)log_2 (3,5-x)=log_2 (1+x)

Разность логарифмов заменим частным:

log_2 2-log_2 (3,5-x)=log_2 (1+x)

log_2 (2/{3,5-x})=log_2 (1+x)

Приравняем подлогарифмические выражения:

2/{3,5-x}=1+x

2=(3,5-x)(1+x)

Решаем квадратное уравнение:

x^2-2,5x-1,5=0

Для удобства умножим на 2:

2x^2-5x-3=0

D=25-4*2*(-3)=49

Корни:  x_1={5+7}/4=3

x_2={5-7}/4=-{1/2}

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3, -{1/2}

Задание 4. Решить уравнение: 2^(2x^2-2)+7*2^{(x+7)(x-1)}-8*2^{12(x-1)}=0


 

2^(2x^2-2)+7*2^(x^2+6x-7)-8*2^(12x-12)=0

 

{1/4}*(2^{x^2})^2+{7/{2^7}}*2^({x^2})*2^{6x}-{8/{2^12}}*(2^{6x})^2=0

Разделим на (2^{6x})^2:

{1/4}*{{2^{2x^2}}/{2^{12x}}}+{7/{2^7}}*{{2^{x^2}}/{2^{6x}}}-{8/{2^12}}=0

Вводим новую переменную: a={2^(x^2-6x)}

{1/4}a^2+{7/{2^7}}a-{8/{2^12}}=0

Найдем дискриминант:

D=49/{2^14}+4*{1/4}*{8/{2^12}}={49+32}/{2^14}=81/{2^14}

Корни:  a_1={-{7/{2^7}}+{9/{2^7}}}/{2/4}=4/{2^7}=1/{2^5}

a_2={-{7/{2^7}}-{9/{2^7}}}/{2/4}=-{16*2}/{2^7}=-1/{2^2}

Второй корень отпадает: при возведении в четную степень отрицательное число получиться не может. Тогда делаем обратную замену:

{2^(x^2-6x)}=1/{2^5}

{2^(x^2-6x)}=2^{-5}

Приравняем показатели степени:

x^2-6x=-5

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень 1, а второй – с/a: 5

Ответ: 1; 5

Задание 5. Решить уравнение: 2^{delim{|}{x-2}{|}}-2^{delim{|}{x}{|}}=sqrt{2}


 

Перво-наперво узнаем, в каких точках происходит смена знака подмодульных выражений. Для этого приравняем оба подмодульных выражения к нулю:

x-2=0

x=2

x=0

Теперь расставим знаки подмодульных выражений на интервалах:

Рассмотрим каждый из интервалов отдельно, раскрывая подмодульные выражения с соответствующими знаками:

а) 2^{2-x}-2^{-x}=sqrt{2}

4*2^{-x}-2^{-x}=sqrt{2}

3*2^{-x}=sqrt{2}

2^{-x}=sqrt{2}/3

-x=log_2{sqrt{2}/3}

x=-log_2{sqrt{2}/3}

Найденное решение  – посторонний корень, так как не принадлежит рассматриваемому интервалу.

б) 2^{2-x}-2^{x}=sqrt{2}

4*2^{-x}-2^{x}=sqrt{2}

Домножим на 2^{x}:

4-2^{2x}=sqrt{2}*2^{x}

Снова введем новую переменную: a=2^x

4-a^2=sqrt{2}*a

Найдем дискриминант:

D=2-4*4*(-1)=18

Корни:  a_1={-sqrt{2}+sqrt{18}}/2={-sqrt{2}+3sqrt{2}}/2==sqrt{2}

a_2={-sqrt{2}-sqrt{18}}/2={-sqrt{2}-3sqrt{2}}/2=-2sqrt{2}

Отрицательный корень – посторонний, рассматриваем положительный и делаем обратную замену:

2^x=sqrt{2}

x={1/2}

в) 2^{x-2}-2^{x}=sqrt{2}

{1/4}*2^{x}-2^{x}=sqrt{2}

-{3/4}*2^{x}=sqrt{2}

2^x=-{4sqrt{2}}/3 – решений нет.

Ответ: {1/2}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *