Всем привет! Сегодня разберем решение нескольких уравнений с выбором корней. Такие задания обычны в ЕГЭ – раньше они шли под номером С1, теперь это 15 задание профильного ЕГЭ. Предлагаю вашему вниманию задания из ЕГЭ 2013.
Задание 1. Решите уравнение:
Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].
Имея дело с логарифмами, лучше сразу определить область допустимых значений:
– этому неравенству удовлетворяет любое значение x.
– аналогично, так как степень четная, то любое число удовлетворит неравенству.
Представим 1 как , тогда:
Слева имеем сумму логарифмов, ее можно преобразовать в произведение. Справа замечаем в основании логарифма , надо бы превратить это основание в 2, тогда:
Перетащим двойку перед логарифмом – в степень:
Теперь справа и слева – логарифмы по одному основанию, поэтому можем перейти к равенству подлогарифмических выражений:
или
Имеем обыкновенное биквадратное уравнение:
Если разделить на 2:
, или, вводя замену
:
Найдем дискриминант:
Тогда
Вводим обратную замену:
Решения: – это ответ на первый вопрос задачи. Теперь выберем корни, принадлежащие нужному интервалу. Так как
, то первая пара корней не попадет в нужный интервал, а вторая, очевидно, попадет.
Ответ: 1)
2)
Задание 2. Решите уравнение:
Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].
Так как в знаменателе, и, кроме этого, в уравнении есть
, то сразу оговорим, что
.
Всегда лучше, если в уравнении одни и те же функции, поэтому представим тангенс через синус и косинус, а затем и синус – через косинус:
Первую дробь можем разделить по частям:
Вводим замену:
Тогда:
Определяем корни:
Тогда
Вводим обратную замену:
Очевидно, что решение одно: .
Тогда
Осталось выбрать нужные нам корни, принадлежащие заданному промежутку. Для этого изобразим этот промежуток:

Отбор корней
Видим, что точки ни при каких условиях в промежуток не попадают. Тогда рассматриваем точки
. Точка
не принадлежит промежутку, так как она на «первом отрицательном обороте», а наш промежуток – на «втором» обороте, причем двигаемся мы в отрицательную сторону по часовой стрелке. Тогда следующая точка будет отстоять от предыдущей на 1 оборот, то есть на
:
. Следующая точка отстоит еще на
:
– но эта точка уже вне нашего промежутка, убедимся в этом:
Приведем к общему знаменателю:
.
Ответ: 1) , 2)
.
Задание 3. Решите уравнение:
Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].
Так как : – выражение, не могущее принять значение 0, то разделим на него все уравнение:
Теперь у нас справа и слева одинаковые основания степени, поэтому приравниваем основания:
Сразу отметим, что теперь стало очевидным, что в ответ войдут только точки из второго и четвертого квадрантов, так как в этих квадрантах знаки синуса и косинуса разные.
Выражаем синус через косинус и возводим в квадрат:
Решения можно объединить в одно:
Наконец, выберем решения, принадлежащие указанному интервалу. Этот интервал выделен на рисунке сплошной синей дугой и начинается на втором обороте, поэтому точка в него не попадет. Также не попадет в него и точка
– обе они принадлежат первому обороту. Следующая точка
– уже принадлежит указанному интервалу, и в него же попадает следующая:

Отбор корней
Ответ: 1) , 2)
.
Задание 4. Решите уравнение:
Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].
Перепишем уравнение так:
Так как основания одинаковые, то можем приравнять степени:
Приравняем к нулю каждый множитель:
или
или
,
Теперь выберем из множества полученных решений те, что принадлежат промежутку. Изобразим этот промежуток:

Промежуток и отбор корней
Точки решения ,
, и прочие положительные решения не попадут в нужный интервал, так как наш интервал – это вторая половина первого оборота в отрицательном направлении и четверть второго оборота. Тогда в нужный интервал попадут:
,
,
,
.
Ответ: 1) или
,
2) ,
,
,
.
Задание 5. Решите уравнение:
Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].
Перепишем немного иначе:
Последнее слагаемое преобразуем так, чтобы степень была бы такой же, как и в первых двух:
Так как выражение не может принять нулевое значение, то разделим на него все выражение:
Вводим новую переменную: , перепишем уравнение:
Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один корень – , а второй –
. Второй корень отпадает – положительное число не станет отрицательным, в какую степень ни возводи. Вводим обратную замену:
,
,
.
Корни: , или
Первый корень, так как корень из пяти – это число, чуть большее двух, – не войдет в нужный интервал: .
Второй корень войдет в нужный интервал.
Ответ: 1) ; 2)
.
Спасибо, теперь...
То, что на концах R2 и R7 разность потенциалов не ноль, явствует из 2-го закона...
Добрый день, Анна Валерьевна, не очень понятно почему в №15 сопротивления R2 и R7 не...
СПАСИБО Вам за ответ, почему-то я решила, что ответ должен был быть только больше...
Вы не ошиблись. 0,55>0,22 - там в утверждении 5...