Уравнения из ЕГЭ 2013

Всем привет! Сегодня разберем решение нескольких уравнений с выбором корней. Такие задания обычны в ЕГЭ – раньше они шли под номером С1, теперь это 15 задание профильного ЕГЭ. Предлагаю вашему вниманию задания из ЕГЭ 2013.

Задание 1. Решите уравнение: $1+log_{2} (9x^2+5)=log_{sqrt{2}} sqrt{8x^4+14}$

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [ -1; {8/9} ].

Имея дело с логарифмами, лучше сразу определить область допустимых значений:

9x^2+5>0″ title=”9x^2+5>0″/><img src= – этому неравенству удовлетворяет любое значение x.

8x^4+14>0″ title=”8x^4+14>0″/><img src= – аналогично, так как степень четная, то любое число удовлетворит неравенству.

Представим 1 как $log_{2} 2$ , тогда:

$log_{2} 2+log_2 (9x^2+5)=log_{sqrt{2}} sqrt{8x^4+14}$

Слева имеем сумму логарифмов, ее можно преобразовать в произведение. Справа замечаем в основании логарифма sqrt{2} , надо бы превратить это основание в 2, тогда:

$log_{2} {2*(9x^2+5)}=log_{2^{1/2}} {sqrt{8x^4+14}}$

$log_{2} {2*(9x^2+5)}=2log_{2} {sqrt{8x^4+14}}$

Перетащим двойку перед логарифмом – в степень:

$log_{2} {2*(9x^2+5)}=log_{2} (sqrt{8x^4+14})^2$

$log_{2} {2*(9x^2+5)}=log_{2} {8x^4+14}$

Теперь справа и слева – логарифмы по одному основанию, поэтому можем перейти к равенству подлогарифмических выражений:

2*(9x^2+5)= 8x^4+14 или

18x^2+10= 8x^4+14

Имеем обыкновенное биквадратное уравнение:

8x^4-18x^2+4=0

Если разделить на 2:

4x^4-9x^2+2=0 , или, вводя замену t=x^2 :

4t^2-9t+2=0

Найдем дискриминант:

D=9^2-4*2*4=49

Тогда t_1=2, t_2=1/4

Вводим обратную замену:

x^2=2, x^2=1/4

Решения: $x_1=sqrt{2}, x_2=-sqrt{2}, x_3={1/2}, x_4=-{1/2}$ – это ответ на первый вопрос задачи. Теперь выберем корни, принадлежащие нужному интервалу. Так как sqrt{2}=1,41 , то первая пара корней не попадет в нужный интервал, а вторая, очевидно, попадет.

Ответ: 1) $x_1=sqrt{2}, x_2=-sqrt{2}, x_3={1/2}, x_4=-{1/2}$

2) $x_3={1/2}, x_4=-{1/2}$

Задание 2. Решите уравнение: $3tg^2 x-5/{cos x}+1=0$

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [ -{7pi}/2; -2pi ].

Так как cos x в знаменателе, и, кроме этого, в уравнении есть tg x , то сразу оговорим, что cos x<>0″ title=”cos x<>0″/><img src= .

Всегда лучше, если в уравнении одни и те же функции, поэтому представим тангенс через синус и косинус, а затем и синус – через косинус:

$3{{sin^2 x}/{cos^2 x}}-5/{cos x}+1=0$

$3{{1-cos^2 x}/{cos^2 x}}-5/{cos x}+1=0$

Первую дробь можем разделить по частям:

$3/{cos^2 x}-3-5/{cos x}+1=0$

Вводим замену: 1/{cos x}=a

Тогда: 3a^2-5a-2=0

Определяем корни:

D=5^2-4*(-2)*3=49

Тогда a_1=2, a_2=-1/3

Вводим обратную замену:

1/{cos x}=2, 1/{cos x}=-1/3

cos x=1/2, cos x=-3

Очевидно, что решение одно: cos x=1/2 .

Тогда x=pm pi/3+2{pi}n

Осталось выбрать нужные нам корни, принадлежащие заданному промежутку. Для этого изобразим этот промежуток:

Отбор корней

Видим, что точки x= pi/3+2{pi}n ни при каких условиях в промежуток не попадают. Тогда рассматриваем точки x=- pi/3+2{pi}n . Точка x=-pi/3 не принадлежит промежутку, так как она на «первом отрицательном обороте», а наш промежуток – на «втором» обороте, причем двигаемся мы в отрицательную сторону по часовой стрелке. Тогда следующая точка будет отстоять от предыдущей на 1 оборот, то есть на -2pi : x=- pi/3-2{pi}=- pi/3- {6pi}/3=-=- {7pi}/3 . Следующая точка отстоит еще на -2pi : x=- pi/3-4{pi}=- pi/3- {12pi}=- {13pi}/3 – но эта точка уже вне нашего промежутка, убедимся в этом:

- {13pi}/3<- {7pi}/2

Приведем к общему знаменателю:

- {26pi}/6<- {21pi}/6 .

Ответ: 1) x=pm pi/3+2{pi}n, n in Z , 2) x=-{7pi}/3 .

Задание 3. Решите уравнение: $12^{sin x}=4^{sin x}*3^{-sqrt{3}cos x}$

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [ {5pi}/2;4pi ].

Так как : $4^{sin x}$ – выражение, не могущее принять значение 0, то разделим на него все уравнение: $12^{sin x}/4^{sin x}=3^{-sqrt{3}cos x}$

$3^{sin x}=3^{-sqrt{3}cos x}$

Теперь у нас справа и слева одинаковые основания степени, поэтому приравниваем основания:

{sin x}={-sqrt{3}cos x}

Сразу отметим, что теперь стало очевидным, что в ответ войдут только точки из второго и четвертого квадрантов, так как в этих квадрантах знаки синуса и косинуса разные.

Выражаем синус через косинус и возводим в квадрат:

$sqrt{1-cos^2 x}={-sqrt{3}cos x}$

1-cos^2 x=3cos^2 x

4cos^2 x=1

cos^2 x=1/4

cos x=pm {1/2}

x={{2pi}/3}+2{pi}n, n in Z

x=-{pi/3}+2{pi}k, k in Z

Решения можно объединить в одно:

x=-{pi/3}+{pi}l, l in Z

Наконец, выберем решения, принадлежащие указанному интервалу. Этот интервал выделен на рисунке сплошной синей дугой и начинается на втором обороте, поэтому точка x={{2pi}/3} в него не попадет. Также не попадет в него и точка x={{2pi}/3}+{pi}={{5pi}/3} – обе они принадлежат первому обороту. Следующая точка x={{5pi}/3}+{pi}={8pi/3} – уже принадлежит указанному интервалу, и в него же попадает следующая: x={{8pi}/3}+{pi}={{11pi}/3}

Отбор корней

Ответ: 1) x=-{pi/3}+{pi}l, l in Z , 2) {{8pi}/3}, {{11pi}/3} .

Задание 4. Решите уравнение: ${25^{cos x}}^{sin x}=5^{cos x}$

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [ -{5pi}/2;-2pi ].

Перепишем уравнение так:

${5^{2cos x sin x}=5^{cos x}$

Так как основания одинаковые, то можем приравнять степени:

2cos x sin x=cos x

2cos x sin x-cos x=0

cos x(2 sin x-1)=0

Приравняем к нулю каждый множитель:

cos x=0 или 2 sin x=1

x={{pi}/2}+{pi}n или x={{pi}/6}+2{pi}n , x={{5pi}/6}+2{pi}n

Теперь выберем из множества полученных решений те, что принадлежат промежутку. Изобразим этот промежуток:

Промежуток и отбор корней

Точки решения x={{pi}/6} , x={{5pi}/6} , и прочие положительные решения не попадут в нужный интервал, так как наш интервал – это вторая половина первого оборота в отрицательном направлении и четверть второго оборота. Тогда в нужный интервал попадут: x={{pi}/6}-2{pi}=-{11pi}/6 , x={{5pi}/6}-2{pi}=-7{pi}/6 , x={{pi}/2}-2{pi}=-{3{pi}}/2 , x=-{{pi}/2}-2{pi}=-{5{pi}}/2 .

Ответ: 1) x={{pi}/2}+{pi}n или x={{pi}/6}+2{pi}n , x={{5pi}/6}+2{pi}n

2) x=-{11pi}/6 , x=-7{pi}/6 , x=-{3{pi}}/2 , x=-{5{pi}}/2 .

Задание 5. Решите уравнение: $7*9^{x^2-3x+1}+5*6^{x^2-3x+1}-48*4^{x^2-3x}=0$

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [ -1;2 ].

Перепишем немного иначе:

$7*3^{2(x^2-3x+1)}+5*3^{x^2-3x+1}*2^{x^2-3x+1}-48*2^{2(x^2-3x)}=0$

Последнее слагаемое преобразуем так, чтобы степень была бы такой же, как и в первых двух:

$7*3^{2(x^2-3x+1)}+5*3^{x^2-3x+1}*2^{x^2-3x+1}-12*2^{2(x^2-3x+1)}=0$

Так как выражение $2^{2(x^2-3x+1)}$ не может принять нулевое значение, то разделим на него все выражение:

$7*{3/2}^{2(x^2-3x+1)}+5*{3/2}^{x^2-3x+1}-12=0$

Вводим новую переменную: $a={3/2}^{x^2-3x+1}$ , перепишем уравнение:

7a^2+5a-12=0

Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один корень – a_1=1 , а второй – a_2=-c/a=-12/7 . Второй корень отпадает – положительное число не станет отрицательным, в какую степень ни возводи. Вводим обратную замену: