Уравнения из ЕГЭ 2013

Всем привет! Сегодня разберем решение нескольких уравнений с выбором корней. Такие задания обычны в ЕГЭ – раньше они шли под номером С1, теперь это 15 задание профильного ЕГЭ.  Предлагаю вашему вниманию задания из ЕГЭ 2013.

Задание 1. Решите уравнение:

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].

---

 

Имея дело с логарифмами, лучше сразу определить область допустимых значений:

– этому неравенству удовлетворяет любое значение x.

– аналогично, так как степень четная, то любое число удовлетворит неравенству.

Представим 1 как  , тогда:

Слева имеем сумму логарифмов, ее можно преобразовать в произведение. Справа замечаем в основании логарифма  , надо бы превратить это основание в 2, тогда:

Перетащим двойку перед логарифмом –  в степень:

Теперь справа и слева – логарифмы по одному основанию, поэтому можем перейти к равенству подлогарифмических выражений:

или

Имеем обыкновенное биквадратное уравнение:

Если разделить на 2:

, или, вводя замену :

Найдем дискриминант:

Тогда

Вводим обратную замену:

Решения: – это ответ на первый вопрос задачи. Теперь выберем корни, принадлежащие нужному интервалу. Так как  , то первая пара корней не попадет в нужный интервал, а вторая, очевидно, попадет.

Ответ: 1)

2)

Задание 2. Решите уравнение:

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].

---

 

Так как в знаменателе, и, кроме этого, в уравнении есть , то сразу оговорим, что .

Всегда лучше, если в уравнении одни и те же функции, поэтому представим тангенс  через синус и косинус, а затем и синус – через косинус:

Первую дробь можем разделить по частям:

Вводим замену:

Тогда:

Определяем корни:

Тогда

Вводим обратную замену:

Очевидно, что решение одно: .

Тогда

Осталось выбрать нужные нам корни, принадлежащие заданному промежутку. Для этого изобразим этот промежуток:

Видим, что точки   ни при каких условиях в промежуток не попадают. Тогда рассматриваем точки  . Точка не принадлежит промежутку, так как она на «первом отрицательном обороте», а наш промежуток – на «втором» обороте, причем двигаемся мы в отрицательную сторону  по часовой стрелке. Тогда следующая точка будет отстоять от предыдущей на 1 оборот, то есть на : . Следующая точка отстоит еще на : – но эта точка уже вне нашего промежутка, убедимся в этом:

Приведем к общему знаменателю:

.

Ответ: 1) , 2) .

Задание 3. Решите уравнение:

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].

---

 

Так как : – выражение, не могущее принять значение 0, то разделим на него все уравнение:

Теперь у нас справа и слева одинаковые основания степени, поэтому приравниваем основания:

Сразу отметим, что теперь стало очевидным, что в ответ войдут только точки из второго и четвертого квадрантов, так как в этих квадрантах знаки синуса и косинуса разные.

Выражаем синус через косинус и возводим в квадрат:

Решения можно объединить в одно:

Наконец, выберем решения, принадлежащие указанному интервалу. Этот интервал выделен на рисунке сплошной синей дугой и начинается на втором обороте, поэтому точка в него не попадет.  Также не попадет в него и точка – обе они принадлежат первому обороту. Следующая точка – уже принадлежит указанному интервалу, и в него же попадает следующая:

Ответ: 1) , 2) .

Задание 4. Решите уравнение:

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].

---

 

Перепишем уравнение так:

Так как основания одинаковые, то можем приравнять степени:

Приравняем к нулю каждый множитель:

    или 

или ,

Теперь выберем из множества полученных решений  те, что принадлежат промежутку. Изобразим этот промежуток:

Точки решения , , и прочие положительные решения не попадут в нужный интервал, так как наш интервал – это вторая половина первого оборота в отрицательном направлении и четверть второго оборота. Тогда в нужный интервал попадут:  , , , .

Ответ: 1) или ,

2) , , , .

 

Задание 5. Решите уравнение:

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [].

---

 

Перепишем немного иначе:

Последнее слагаемое преобразуем так, чтобы степень была бы такой же, как и в первых двух:

Так как выражение не может принять нулевое значение, то разделим на него все выражение:

Вводим новую переменную: , перепишем уравнение:

Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один корень – , а второй  – .  Второй корень отпадает – положительное число не станет отрицательным, в какую степень ни возводи. Вводим обратную замену:

, ,

.

Корни: , или

Первый корень, так как корень из пяти  – это число, чуть большее двух, – не войдет в нужный интервал: .

Второй корень войдет в нужный интервал.

Ответ: 1) ; 2) .