Уравнения из ЕГЭ 2013

Всем привет! Сегодня разберем решение нескольких уравнений с выбором корней. Такие задания обычны в ЕГЭ – раньше они шли под номером С1, теперь это 15 задание профильного ЕГЭ.  Предлагаю вашему вниманию задания из ЕГЭ 2013.

Задание 1. Решите уравнение: [pmath]1+log_{2} (9x^2+5)=log_{sqrt{2}} sqrt{8x^4+14}[/pmath]

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [[pmath]-1; {8/9}[/pmath]].

---

 

Имея дело с логарифмами, лучше сразу определить область допустимых значений:

[pmath]9x^2+5>0[/pmath][pmath][/pmath] – этому неравенству удовлетворяет любое значение x.

[pmath] 8x^4+14>0[/pmath][pmath][/pmath] – аналогично, так как степень четная, то любое число удовлетворит неравенству.

Представим 1 как  [pmath]log_{2} 2[/pmath], тогда:

[pmath] log_{2} 2+log_2 (9x^2+5)=log_{sqrt{2}} sqrt{8x^4+14}[/pmath]

Слева имеем сумму логарифмов, ее можно преобразовать в произведение. Справа замечаем в основании логарифма  [pmath] sqrt{2}[/pmath], надо бы превратить это основание в 2, тогда:

[pmath] log_{2} {2*(9x^2+5)}=log_{2^{1/2}} {sqrt{8x^4+14}}[/pmath]

[pmath] log_{2} {2*(9x^2+5)}=2log_{2} {sqrt{8x^4+14}}[/pmath]

Перетащим двойку перед логарифмом –  в степень:

[pmath] log_{2} {2*(9x^2+5)}=log_{2} (sqrt{8x^4+14})^2[/pmath]

[pmath] log_{2} {2*(9x^2+5)}=log_{2} {8x^4+14}[/pmath]

Теперь справа и слева – логарифмы по одному основанию, поэтому можем перейти к равенству подлогарифмических выражений:

[pmath] 2*(9x^2+5)= 8x^4+14[/pmath] или

[pmath] 18x^2+10= 8x^4+14[/pmath]

Имеем обыкновенное биквадратное уравнение:

[pmath] 8x^4-18x^2+4=0 [/pmath]

Если разделить на 2:

[pmath] 4x^4-9x^2+2=0 [/pmath], или, вводя замену [pmath] t=x^2[/pmath]:

[pmath] 4t^2-9t+2=0 [/pmath]

Найдем дискриминант:

[pmath]D=9^2-4*2*4=49 [/pmath]

Тогда [pmath] t_1=2, t_2=1/4 [/pmath]

Вводим обратную замену:

[pmath] x^2=2, x^2=1/4 [/pmath]

Решения: [pmath] x_1=sqrt{2}, x_2=-sqrt{2}, x_3={1/2}, x_4=-{1/2} [/pmath] – это ответ на первый вопрос задачи. Теперь выберем корни, принадлежащие нужному интервалу. Так как  [pmath] sqrt{2}=1,41[/pmath], то первая пара корней не попадет в нужный интервал, а вторая, очевидно, попадет.

Ответ: 1) [pmath] x_1=sqrt{2}, x_2=-sqrt{2}, x_3={1/2}, x_4=-{1/2} [/pmath]

2) [pmath]x_3={1/2}, x_4=-{1/2} [/pmath]

Задание 2. Решите уравнение: [pmath]3tg^2 x-5/{cos x}+1=0[/pmath]

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [[pmath]-{7pi}/2; -2pi[/pmath]].

---

 

Так как [pmath]cos x[/pmath] в знаменателе, и, кроме этого, в уравнении есть [pmath]tg x[/pmath], то сразу оговорим, что [pmath]cos x<>0[/pmath][pmath][/pmath].

Всегда лучше, если в уравнении одни и те же функции, поэтому представим тангенс  через синус и косинус, а затем и синус – через косинус:

[pmath]3{{sin^2 x}/{cos^2 x}}-5/{cos x}+1=0[/pmath]

[pmath]3{{1-cos^2 x}/{cos^2 x}}-5/{cos x}+1=0[/pmath]

Первую дробь можем разделить по частям:

[pmath]3/{cos^2 x}-3-5/{cos x}+1=0[/pmath]

Вводим замену: [pmath]1/{cos x}=a[/pmath]

Тогда: [pmath]3a^2-5a-2=0[/pmath]

Определяем корни:

[pmath]D=5^2-4*(-2)*3=49 [/pmath]

Тогда [pmath] a_1=2, a_2=-1/3 [/pmath]

Вводим обратную замену:

[pmath] 1/{cos x}=2, 1/{cos x}=-1/3 [/pmath]

[pmath]cos x=1/2, cos x=-3 [/pmath]

Очевидно, что решение одно: [pmath]cos x=1/2[/pmath].

Тогда [pmath]x=pm pi/3+2{pi}n[/pmath]

Осталось выбрать нужные нам корни, принадлежащие заданному промежутку. Для этого изобразим этот промежуток:

Видим, что точки  [pmath]x= pi/3+2{pi}n[/pmath] ни при каких условиях в промежуток не попадают. Тогда рассматриваем точки  [pmath]x=- pi/3+2{pi}n[/pmath]. Точка [pmath]x=-pi/3[/pmath] не принадлежит промежутку, так как она на «первом отрицательном обороте», а наш промежуток – на «втором» обороте, причем двигаемся мы в отрицательную сторону  по часовой стрелке. Тогда следующая точка будет отстоять от предыдущей на 1 оборот, то есть на [pmath]-2pi[/pmath]: [pmath]x=- pi/3-2{pi}=- pi/3- {6pi}/3=-=- {7pi}/3 [/pmath]. Следующая точка отстоит еще на [pmath]-2pi[/pmath]: [pmath]x=- pi/3-4{pi}=- pi/3- {12pi}=- {13pi}/3 [/pmath] – но эта точка уже вне нашего промежутка, убедимся в этом:

[pmath]- {13pi}/3<- {7pi}/2 [/pmath] [pmath][/pmath]

Приведем к общему знаменателю:

[pmath]- {26pi}/6<- {21pi}/6 [/pmath] [pmath][/pmath].

Ответ: 1) [pmath]x=pm pi/3+2{pi}n, n in Z[/pmath], 2) [pmath]x=-{7pi}/3[/pmath].

Задание 3. Решите уравнение: [pmath]12^{sin x}=4^{sin x}*3^{-sqrt{3}cos x} [/pmath]

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [[pmath]{5pi}/2;4pi[/pmath]].

---

 

Так как : [pmath] 4^{sin x}[/pmath] – выражение, не могущее принять значение 0, то разделим на него все уравнение: [pmath]12^{sin x}/4^{sin x}=3^{-sqrt{3}cos x}[/pmath]

[pmath]3^{sin x}=3^{-sqrt{3}cos x}[/pmath]

Теперь у нас справа и слева одинаковые основания степени, поэтому приравниваем основания:

[pmath]{sin x}={-sqrt{3}cos x}[/pmath]

Сразу отметим, что теперь стало очевидным, что в ответ войдут только точки из второго и четвертого квадрантов, так как в этих квадрантах знаки синуса и косинуса разные.

Выражаем синус через косинус и возводим в квадрат:

[pmath]sqrt{1-cos^2 x}={-sqrt{3}cos x}[/pmath]

[pmath]1-cos^2 x=3cos^2 x[/pmath]

[pmath]4cos^2 x=1[/pmath]

[pmath]cos^2 x=1/4[/pmath]

[pmath]cos x=pm {1/2}[/pmath]

[pmath]x={{2pi}/3}+2{pi}n, n in Z[/pmath]

[pmath]x=-{pi/3}+2{pi}k, k in Z[/pmath]

Решения можно объединить в одно:

[pmath]x=-{pi/3}+{pi}l, l in Z[/pmath]

Наконец, выберем решения, принадлежащие указанному интервалу. Этот интервал выделен на рисунке сплошной синей дугой и начинается на втором обороте, поэтому точка [pmath]x={{2pi}/3}[/pmath] в него не попадет.  Также не попадет в него и точка [pmath]x={{2pi}/3}+{pi}={{5pi}/3}[/pmath] – обе они принадлежат первому обороту. Следующая точка [pmath]x={{5pi}/3}+{pi}={8pi/3}[/pmath] – уже принадлежит указанному интервалу, и в него же попадает следующая: [pmath]x={{8pi}/3}+{pi}={{11pi}/3}[/pmath]

Ответ: 1) [pmath]x=-{pi/3}+{pi}l, l in Z[/pmath], 2) [pmath]{{8pi}/3}, {{11pi}/3}[/pmath].

Задание 4. Решите уравнение: [pmath]{25^{cos x}}^{sin x}=5^{cos x}[/pmath]

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [[pmath]-{5pi}/2;-2pi[/pmath]].

---

 

Перепишем уравнение так:

[pmath]{5^{2cos x sin x}=5^{cos x}[/pmath]

Так как основания одинаковые, то можем приравнять степени:

[pmath]2cos x sin x=cos x[/pmath]

[pmath] 2cos x sin x-cos x=0 [/pmath]

[pmath] cos x(2 sin x-1)=0 [/pmath]

Приравняем к нулю каждый множитель:

[pmath] cos x=0 [/pmath]    или  [pmath] 2 sin x=1[/pmath]

[pmath] x={{pi}/2}+{pi}n [/pmath] или [pmath] x={{pi}/6}+2{pi}n [/pmath], [pmath] x={{5pi}/6}+2{pi}n [/pmath]

Теперь выберем из множества полученных решений  те, что принадлежат промежутку. Изобразим этот промежуток:

Точки решения [pmath] x={{pi}/6}[/pmath], [pmath] x={{5pi}/6}[/pmath], и прочие положительные решения не попадут в нужный интервал, так как наш интервал – это вторая половина первого оборота в отрицательном направлении и четверть второго оборота. Тогда в нужный интервал попадут:  [pmath] x={{pi}/6}-2{pi}=-{11pi}/6[/pmath], [pmath] x={{5pi}/6}-2{pi}=-7{pi}/6[/pmath], [pmath] x={{pi}/2}-2{pi}=-{3{pi}}/2 [/pmath], [pmath] x=-{{pi}/2}-2{pi}=-{5{pi}}/2 [/pmath].

Ответ: 1) [pmath] x={{pi}/2}+{pi}n [/pmath] или [pmath] x={{pi}/6}+2{pi}n [/pmath], [pmath] x={{5pi}/6}+2{pi}n [/pmath]

2) [pmath] x=-{11pi}/6[/pmath], [pmath] x=-7{pi}/6[/pmath], [pmath] x=-{3{pi}}/2 [/pmath], [pmath] x=-{5{pi}}/2 [/pmath].

 

Задание 5. Решите уравнение: [pmath]7*9^{x^2-3x+1}+5*6^{x^2-3x+1}-48*4^{x^2-3x}=0[/pmath]

Определите, какие корни этого уравнения принадлежат промежутку [[pmath]-1;2[/pmath]].

---

 

Перепишем немного иначе:

[pmath]7*3^{2(x^2-3x+1)}+5*3^{x^2-3x+1}*2^{x^2-3x+1}-48*2^{2(x^2-3x)}=0[/pmath]

Последнее слагаемое преобразуем так, чтобы степень была бы такой же, как и в первых двух:

[pmath]7*3^{2(x^2-3x+1)}+5*3^{x^2-3x+1}*2^{x^2-3x+1}-12*2^{2(x^2-3x+1)}=0[/pmath]

Так как выражение [pmath]2^{2(x^2-3x+1)}[/pmath] не может принять нулевое значение, то разделим на него все выражение:

[pmath]7*{3/2}^{2(x^2-3x+1)}+5*{3/2}^{x^2-3x+1}-12=0[/pmath]

Вводим новую переменную: [pmath]a={3/2}^{x^2-3x+1}[/pmath], перепишем уравнение:

[pmath]7a^2+5a-12=0[/pmath]

Так как сумма коэффициентов равна нулю, то один корень – [pmath]a_1=1[/pmath], а второй  – [pmath]a_2=-c/a=-12/7[/pmath].  Второй корень отпадает – положительное число не станет отрицательным, в какую степень ни возводи. Вводим обратную замену:

[pmath]{3/2}^{x^2-3x+1}=1[/pmath], [pmath]{3/2}^{x^2-3x+1}={3/2}^0[/pmath],

[pmath]x^2-3x+1=0[/pmath]

[pmath]D=3^2-4=5 [/pmath].

Корни: [pmath]x_{1,2}={3 pm sqrt{5}}/2[/pmath], или [pmath]x_{1,2}=1,5 pm {sqrt{5}}/2[/pmath]

Первый корень, так как корень из пяти  – это число, чуть большее двух, – не войдет в нужный интервал: [pmath]x_1=1,5 + {sqrt{5}}/2=2,6[/pmath].

Второй корень войдет в нужный интервал.

Ответ: 1) [pmath]x_{1,2}=1,5 pm {sqrt{5}}/2[/pmath]; 2) [pmath]x=1,5 – {sqrt{5}}/2[/pmath].