Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 13 (С1), ЕГЭ по математике

Уравнения и неравенства с модулями

Сегодня порешаем немного заданий с модулями, вспомним, как они раскрываются, будут и уравнения, и неравенства. Поехали…

Задание 1. Решить уравнение: delim{|}{2-x}{|}=2x+1


Совсем простое уравнение. Раскрываем модуль со знаком «плюс» слева от точки 2 и со знаком «минус» – справа, так как в этой точке подмодульное выражение меняет знак с плюса на минус: 2-x=0, x=2.

Получаем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-x=2x+1} {x-2=2x+1}}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-3x=-1} {-x=3}}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x={1/3}} {x=-3}}}{ }

Решение x=-3 найдено на промежутке (2; +infty), и, соответственно, этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень уравнения посторонний. Ответ: x={1/3}

Задание 2. Решить уравнение: delim{|}{2x-3}{|}= delim{|}{3x+4}{|}


Приравняем к нулю оба подмодульных выражения, чтобы определить точки перемены их знаков: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x-3=0} {3x+4=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=1,5} {x={-4/3}}}}{ }

Расставляем полученные точки на координатной оси, они нам ее разобьют на три промежутка. Расставляем знаки подмодульных выражений на каждом получившемся промежутке. Это просто сделать, подставив любое число из данного промежутка в модуль и определив, получается положительное число или отрицательное.

Раскрываем модуль

Теперь видно, с каким знаком надо раскрыть модуль на каждом интервале. Придется решить три уравнения, раскрыв модули с нужными знаками на каждом из них.

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:  3-2x= -3x-4 x= -7

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:  3-2x= 3x+4 x= -0,2

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:  2x-3= 3x+4 x= -7 – эта точка не принадлежит своему интервалу, поэтому этот корень – посторонний. Ответ: x=-7, x=-0,2

Задание 3. Решить уравнение: delim{|}{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}{|}= 1


Решать можно либо графическим способом, либо постепенно раскрывая модули снаружи, как будто снимая листья с кочана капусты. Мы сделаем и тем способом, и другим. Сначала – аналитически (то есть раздевая капусту), снимаем первый модуль:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= 1} {{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= -1}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= 2} {{delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= 4}}}{ }

Раскрываем второй модуль:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{3- delim{|}{4-x}{|}=-2} {3- delim{|}{4-x}{|}= 2} {3- delim{|}{4-x}{|}=4} {3- delim{|}{4-x}{|}=-4}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{delim{|}{4-x}{|}=5} {delim{|}{4-x}{|}=1} {delim{|}{4-x}{|}=-1} {delim{|}{4-x}{|}=7}}}{ }

Раскрываем третий модуль: delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{4-x=5} {4-x=-5} {4-x=1} {4-x=-1} {4-x=7} {4-x=-7}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x=-1} {x=9} {x=3} {x=5} {x=-3} {x=11}}}{ }

Теперь решим графически. Построим сначала прямую 4-x:

Построение прямой

Теперь «наденем» на нее модуль, то есть отразим всю ее часть, что оказалась ниже оси х, вверх: delim{|}{4-x}{|}

Отражаем вверх все, что ниже оси х

Теперь построим - delim{|}{4-x}{|}  – минус перевернет наш график вверх тормашками:

Снова отражаем

Поднимаем все вверх на три единицы: 3- delim{|}{4-x}{|}

Поднимаем вверх

«Надеваем» второй модуль, то есть снова отражаем всю отрицательную часть вверх:

Второй модуль

Снова ставим «минус»: - delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}

Снова отражаем

Снова поднимаем вверх на три единицы: 3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}

Поднимаем

Наконец, последний модуль: delim{|}{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}{|}

Последний модуль

И проводим прямую y= 1, пересечения с которой и есть искомые корни:

Прямая пересекает график

Ответ: {x=-1}, {x=9}, {x=3}, {x=5}, {x=-3}, {x=11}

Задание 4. Решить неравенство: delim{|}{x^2-4x-3}{|}<3x-3


Это неравенство также можно решить графически. Справа имеем прямую y= 3x-3, слева под знаком модуля – парабола. Модуль переворачивает ту часть параболы, которая находится под осью х, вверх. Требуется найти те интервалы (отрезки), где прямая располагается выше параболы.

Графическое решение

Нас интересует, очевидно, интервал ВА, точки В и А не войдут в решение, так как неравенство строгое:  x in (3; 7)

Можно также решить аналитически: раскрываем модуль с положительным и отрицательным знаками. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-4x-3<3x-3} { -x^2+4x+3<3x-3}}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-7x<0} { x^2-4x-3+3x-3>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-7x<0} { x^2-4x-3+3x-3>0}}}{ }”/><img src= delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-7)<0} { x^2-x-6>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-7)<0} { x^2-x-6>0}}}{ }”/><img src=

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-7)<0} { (x+2)(x-3)>0}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-7)<0} { (x+2)(x-3)>0}}}{ }”/><img src=

На рисунке показаны решения первого неравенства и второго, и область пересечения этих решений закрашена.

Пересечение решений

Ответ: x in (3; 7)

Задание 5. Решить уравнение: 25^{delim{|}{1-2x}{|}}= 5^{4-6x}


5^{2delim{|}{1-2x}{|}}= 5^{4-6x} delim{|}{2-4x}{|}= 4-6x

Определяем точку перемены знака модуля: 2-4x=0 x={1/2}

Справа от этой точки модуль раскроем со знаком «минус», слева – со знаком «плюс» delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-4x=4-6x} {-2+4x=4-6x }}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x=2} {-6=-10x }}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=1} {x=0,6}}}{ }

Первое решение сделано на промежутке x in ({-}infty; 1/2), точка x=1 этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень – посторонний. Ответ: x=0,6

 

Задание 6. Решить уравнение: 2^{delim{|}{3x-5}{|}}= 4*8^{delim{|}{x-1}{|}}


 

 

2^{delim{|}{3x-5}{|}}= {2^2}*2^{3delim{|}{x-1}{|}} 2^{delim{|}{3x-5}{|}}= 2^(2+{3delim{|}{x-1}{|}})

Приравниваем показатели степеней: delim{|}{3x-5}{|}= 2+3delim{|}{x-1}{|}

Определяем точки перемены знаков подмодульных выражений: 3x-5=0 x=5/3 x-1=0 x=1

Раскрываем модуль

Раскрываем модули с соответствующими знаками на каждом из промежутков:

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:  5-3x= 2+3-3x x in ({-}infty; +infty)

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:  5-3x= 2+3x-3 x= 1

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:  3x-5= 2+3x-3 -нет решений. Получается, что уравнению будет удовлетворять любое число из промежутка x in (infty; 1]

 

Задание 7. Решить уравнение: lg {delim{|}{2x-3}{|}}-lg{delim{|}{3x-2}{|}}=1


Воспользуемся формулой разности логарифмов и заменим ее частным: lg {{delim{|}{2x-3}{|}}/{delim{|}{3x-2}{|}}}=1

По определению логарифма: {delim{|}{2x-3}{|}}/{delim{|}{3x-2}{|}}=10

Раскрываем модуль

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:  {3-2x}/{2-3x}=10 3-2x=20-30x, x={17/28}

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:  {3-2x}/{3x-2}=10, 3-2x=30x-20, x={23/32}

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»: {2x-3}/{3x-2}=10 2x-3=30x-20, x={17/28} – этот корень своему промежутку не принадлежит, он посторонний. Ответ: x={17/28} x={23/32}

 

Задание 8. Решить неравенство: log_{delim{|}{x-1}{|}-3} 5<=1


В основании логарифма – модуль, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется.

Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а) 0<delim{|}{x-1}{|}-3<1

3<delim{|}{x-1}{|}<4

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x-1<4} {x-1>-4} {x-1>3} {x-1<-3}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x<5} {x>-3} {x>4} {x<-2}}}{ }

То есть область, где решение будет существовать, такая: x in (-3;-2) union(4;5)

На этой области при решении основного неравенства мы поменяем знак: log_{delim{|}{x-1}{|}-3} 5>= log_{delim{|}{x-1}{|}-3} {delim{|}{x-1}{|}-3}” title=”log_{delim{|}{x-1}{|}-3} 5>= log_{delim{|}{x-1}{|}-3} {delim{|}{x-1}{|}-3}”/><img src=

5>= delim{|}{x-1}{|}-3″ title=”5>= delim{|}{x-1}{|}-3″/><img src= delim{|}{x-1}{|}<=8 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1<=8} {x-1>=-8} }}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1<=8} {x-1>=-8} }}{ }”/><img src=

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=9} {x>=-7} }}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=9} {x>=-7} }}{ }”/><img src=

б) Вторая область:  delim{|}{x-1}{|}-3>1″ title=”delim{|}{x-1}{|}-3>1″/><img src=

delim{|}{x-1}{|}>4″ title=”delim{|}{x-1}{|}>4″/><img src= delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1>4} {x-1<-4} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>5} {x<-3} }}{ }

Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1: log_{delim{|}{x-1}{|}-3} 5<= log_{delim{|}{x-1}{|}-3} {delim{|}{x-1}{|}-3}

5<= delim{|}{x-1}{|}-3 delim{|}{x-1}{|}>=8″ title=”delim{|}{x-1}{|}>=8″/><img src= delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1>=8} {x-1<=-8} }}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=9} {x<=-7} }}{ }

Осталось внимательно и аккуратно наложить области решения неравенства на те промежутки, где они существуют:

Наложение решений на промежутки

Ответ: x in( -infty;-7] union(-3;-2)union(4;5) [9; +infty)

 

Задание 9. Решить неравенство: log_{delim{|}{x}{|}} (x-1)^2<=2


В основании логарифма – модуль х, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется. Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а) 0<delim{|}{x}{|}<1

Этот промежуток изображен на рисунке: Тогда знак неравенства меняем, так как основание логарифма меньше 1: log_{delim{|}{x}{|}} (x-1)^2>= log_{delim{|}{x}{|}} ({delim{|}{x}{|}})^2″ title=”log_{delim{|}{x}{|}} (x-1)^2>= log_{delim{|}{x}{|}} ({delim{|}{x}{|}})^2″/><img src=

(x-1)^2>= ({delim{|}{x}{|}})^2″ title=”(x-1)^2>= ({delim{|}{x}{|}})^2″/><img src=

x^2-2x+1>= x^2″ title=”x^2-2x+1>= x^2″/><img src= x<= {1/2}

б) delim{|}{x}{|}>1″ title=”delim{|}{x}{|}>1″/><img src= Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1:

Наложим решения на области их существовавния

log_{delim{|}{x}{|}} (x-1)^2<= log_{delim{|}{x}{|}} ({delim{|}{x}{|}})^2

(x-1)^2<= ({delim{|}{x}{|}})^2 x^2-2x+1<= x^2

x>= {1/2}” title=”x>= {1/2}”/><img src=

Наложим решения на области, к которым эти решения относятся:

Ответ: x in (-1;0) union (0; {1/2}] union (1;+infty)

Комментариев - 2

  • Сергей
    |

    Спасибо большое! Как раз искал материалы, чтобы понять тему.
    В третьем задании, когда мы “раздевали” капусту, в самом начале, когда мы избавились от первого модуля, у нас получилось -2 и -4. Но в левой части перед модулем остался -1? (-|3-|4-x||) или мы его куда-то переместили? с этим только у меня была загвоздка.

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо большое за внимательность, я немного поправила и теперь все корректно. (Конечно, минус пропустила.)

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *