Сегодня порешаем немного заданий с модулями, вспомним, как они раскрываются, будут и уравнения, и неравенства. Поехали…
Задание 1. Решить уравнение:
Совсем простое уравнение. Раскрываем модуль со знаком «плюс» слева от точки 2 и со знаком «минус» – справа, так как в этой точке подмодульное выражение меняет знак с плюса на минус: ,
.
Получаем систему:
Решение найдено на промежутке
, и, соответственно, этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень уравнения посторонний. Ответ:
Задание 2. Решить уравнение:
Приравняем к нулю оба подмодульных выражения, чтобы определить точки перемены их знаков:
Расставляем полученные точки на координатной оси, они нам ее разобьют на три промежутка. Расставляем знаки подмодульных выражений на каждом получившемся промежутке. Это просто сделать, подставив любое число из данного промежутка в модуль и определив, получается положительное число или отрицательное.

Раскрываем модуль
Теперь видно, с каким знаком надо раскрыть модуль на каждом интервале. Придется решить три уравнения, раскрыв модули с нужными знаками на каждом из них.
Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:
Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:
Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:
– эта точка не принадлежит своему интервалу, поэтому этот корень – посторонний. Ответ:
,
Задание 3. Решить уравнение:
Решать можно либо графическим способом, либо постепенно раскрывая модули снаружи, как будто снимая листья с кочана капусты. Мы сделаем и тем способом, и другим. Сначала – аналитически (то есть раздевая капусту), снимаем первый модуль:
Раскрываем второй модуль:
Раскрываем третий модуль:
Теперь решим графически. Построим сначала прямую :

Построение прямой
Теперь «наденем» на нее модуль, то есть отразим всю ее часть, что оказалась ниже оси х, вверх:

Отражаем вверх все, что ниже оси х
Теперь построим – минус перевернет наш график вверх тормашками:

Снова отражаем
Поднимаем все вверх на три единицы:

Поднимаем вверх
«Надеваем» второй модуль, то есть снова отражаем всю отрицательную часть вверх:

Второй модуль
Снова ставим «минус»:

Снова отражаем
Снова поднимаем вверх на три единицы:

Поднимаем
Наконец, последний модуль:

Последний модуль
И проводим прямую , пересечения с которой и есть искомые корни:

Прямая пересекает график
Ответ:
Задание 4. Решить неравенство:
Это неравенство также можно решить графически. Справа имеем прямую , слева под знаком модуля – парабола. Модуль переворачивает ту часть параболы, которая находится под осью х, вверх. Требуется найти те интервалы (отрезки), где прямая располагается выше параболы.

Графическое решение
Нас интересует, очевидно, интервал ВА, точки В и А не войдут в решение, так как неравенство строгое:
Можно также решить аналитически: раскрываем модуль с положительным и отрицательным знаками.
На рисунке показаны решения первого неравенства и второго, и область пересечения этих решений закрашена.

Пересечение решений
Ответ:
Задание 5. Решить уравнение:
Определяем точку перемены знака модуля:
Справа от этой точки модуль раскроем со знаком «минус», слева – со знаком «плюс»
Первое решение сделано на промежутке , точка
этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень – посторонний. Ответ:
Задание 6. Решить уравнение:
Приравниваем показатели степеней:
Определяем точки перемены знаков подмодульных выражений:

Раскрываем модуль
Раскрываем модули с соответствующими знаками на каждом из промежутков:
Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:
Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:
Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»: -нет решений. Получается, что уравнению будет удовлетворять любое число из промежутка
(
]
Задание 7. Решить уравнение:
Воспользуемся формулой разности логарифмов и заменим ее частным:
По определению логарифма:

Раскрываем модуль
Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:
,
Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»: ,
,
Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:
,
– этот корень своему промежутку не принадлежит, он посторонний. Ответ:
Задание 8. Решить неравенство:
В основании логарифма – модуль, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется.
Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а)
То есть область, где решение будет существовать, такая:
На этой области при решении основного неравенства мы поменяем знак:
б) Вторая область:
Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1:
Осталось внимательно и аккуратно наложить области решения неравенства на те промежутки, где они существуют:

Наложение решений на промежутки
Ответ: (
]
[
)
Задание 9. Решить неравенство:
В основании логарифма – модуль х, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется. Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а)
Этот промежуток изображен на рисунке: Тогда знак неравенства меняем, так как основание логарифма меньше 1:
б) Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1:

Наложим решения на области их существовавния
Наложим решения на области, к которым эти решения относятся:
Ответ: (
]
Комментариев - 2
Спасибо большое! Как раз искал материалы, чтобы понять тему.
В третьем задании, когда мы “раздевали” капусту, в самом начале, когда мы избавились от первого модуля, у нас получилось -2 и -4. Но в левой части перед модулем остался -1? (-|3-|4-x||) или мы его куда-то переместили? с этим только у меня была загвоздка.
Спасибо большое за внимательность, я немного поправила и теперь все корректно. (Конечно, минус пропустила.)