Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 4 (ГИА В2)

Уравнения. ОГЭ 4.

 

 

Начнем разбор заданий с уравнений, а потом перейдем и к неравенствам.

1. Решите уравнение:  x^2-x+9=(x+2)^2

Чтобы решить такое уравнение, раскроем скобки справа и перенесем все влево:

x^2-x+9=x^2+2*x*2+4

x^2-x+9-x^2-4x-4=0

Видим, что наше уравнение стало линейным:

-5x+5=0

Можно перенести 5 вправо, и разделить на (-5):

-5x=-5

x=1

А можно вынести (-5) за скобку, и получить тот же ответ:

-5(x-1)=0

x=1

Ответ: 1.

2. Решите уравнение:  (x+10)^2=(2-x)^2

Есть два способа решить данное уравнение: раскрыть скобки, вспомнив формулы квадрата разности и квадрата суммы, а можно воспользоваться формулой разности квадратов. Решим обоими способами. Раскрываем скобки:

x^2+20x+100=4-4x+x^2

x^2+20x+100-4+4x-x^2=0

24x+96=0

Делим на 24:

x+4=0

Откуда: x=-4

Теперь второй способ:

(x+10)^2-(2-x)^2=0

Раскрываем разность квадратов:

((x+10)+(2-x))((x+10)-(2-x))=0

Упрощаем:

12(2x+8)=0

Первый множитель – 12 – не равен 0, значит, нулю равен второй множитель:

2x+8=0

2x=-8, откуда  x=-4.

Ответ: -4

3. Решите уравнение:  x/12+x/2+x=19/4

Это, очевидно, линейное уравнение. Вынесем х за скобку:

x(1/12+6/12+12/12)=19/4

x(1/12+6/12+12/12)=19/4

Сложим дроби, приведя все к одному знаменателю:

x{19/12}=19/4

Разделим уравнение на 19/12:

x={19/4}:{19/12}

Разделить на дробь – значит, умножить на перевернутую:

x={19/4}*{12/19}=4/12=1/3

Ответ: 1/3

 

 

4. Решите уравнение:  x/4={x+1}/7

Можем здесь воспользоваться свойством пропорции, так как неизвестные – в числителе (это то же самое, что привести к одному знаменателю):

7x=4(x+1)

Теперь раскрываем скобки:

7x=4x+4

Слагаемые, содержащие неизвестные – влево:

7x-4x=4

3x=4

x=4/3

Ответ: 4/3 – вероятно, для  записи в бланк такого ответа должно быть указано: “ответ округлите до…” или “запишите ответ, умноженный на 3”

5. Решите уравнение:  11/{x+5}=-{11/5}

Особенность этого уравнения – то, что неизвестное находится в знаменателе. Поэтому перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:

11/{x+5}+{11(x+5)}/{5(x+5)}=0

Разделим на 11 и умножим на 5:

5/{x+5}+{x+5}/{x+5}=0

Или:

{x+10}/{x+5}=0

Дробь  равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель не теряет смысла: x+10=0x<>-5″ title=”x<>-5″/><img src=

x=-10

Ответ: -10.

6. Решите уравнение:  {x-8}/{x-15}=8

Опять видим неизвестное в знаменателе, поэтому – все влево и приводим к общему знаменателю:

{x-8}/{x-15}-{8(x-15)}/(x-15)=0

{x-8}/{x-15}-{8x-120}/(x-15)=0

Упрощаем:

{x-8-8x+120}/{x-15}=0

{-7x+112}/{x-15}=0

Дробь  равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель не теряет смысла: -7x+112=0x<>15″ title=”x<>15″/><img src=

-7x=-112

x=16

Ответ: 16

7. Какое из следующих уравнений имеет иррациональные корни?

1) -6x^2+4x-3=0

2) 5x^2-3x-6=0

3) -2x^2+3x-1=0

4) -3x^2-6x-3=0

Чтобы выяснить, являются ли корни иррациональными, нужно вычислить дискриминант и посмотреть, можем ли мы извлечь из него корень:

D_1=16-4(-6)(-3)<0 – дискриминант отрицательный, корни мнимые.

D_2=9-4(5)(-6)=129 – дискриминант положительный, но корень из числа 129 извлечь нельзя, поэтому корни иррациональные.

D_3=9-4(-2)(-1)=1 – дискриминант положительный, корень извлекается, значит, корни уравнения – действительные числа.

D_1=36-4(-3)(-3)=0 – дискриминант равен 0, корень единственный, действительный.

Ответ: 2.

8. Какое из следующих уравнений имеет корни -{5/12} и 0?

1) x^2-{5/12}x=0

2) x^2+25/144=0

3) x^2+{5/12}x=0

4) 25/144=x^2

Есть два пути решения: либо решаем все уравнения, либо подставляем в каждое из них -{5/12} и 0. Очевидно, что 0 подставить проще.

Подстановка ноля показывает, что второе и четвертое уравнения отпадают, 0 не является корнем для них.

Остались первое и третье, и давайте вынесем х за скобку в том и другом случаях:

1) x(x-{5/12})=0, откуда x_1=0, x_2=5/12 – второй корень положительный, это нас не устраивает.

3) x(x+{5/12})=0, откуда x_1=0, x_2=-{5/12} – это уравнение подходит.

Ответ: 3.

9. Установите соответствие между уравнением и числом его корней:

1) -9x^2-7x+2=0

2) -12x^2-6x-2=0

3) 3x^2-6x+3=0

Количество корней: 1)  2                         2) 3                  3) 0                4) 1

Мы знаем, что количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта уравнения: если D<0 – корни мнимые (действительных корней нет), если D=0 – корень один, если D>0″ title=”D>0″/><img src= – корней 2. При этом нас не интересует, будут ли эти корни иррациональными, или нет.

Определим дискриминант для каждого уравнения:

D_1=49-4(-9)*2>0″ title=”D_1=49-4(-9)*2>0″/><img src= – дискриминант положительный, корней 2.

D_2=36-4(-12)(-2)<0 – дискриминант отрицательный, корней нет.

D_3=36-4*3*3=0 – дискриминант равен 0, корень единственный, действительный.

Ответ: 234

10. Найдите корни уравнения: 4x^2+x-5=0.

Хорошее уравнение. Почему? Потому что сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 0: a+b+c=4+1-5=0. В этом случае один корень равен 1, а второй – c/a (подробнее здесь):

x_1=1, x_2=(-5)/4=-1,25. Можно проверить корни и по теореме Виета.

Ответ: x_1=1, x_2=-1,25

11. Найдите корень уравнения: x-4(9-x)=3x+2

Ну и самое простое в конце: линейное уравнение. Переносим слагаемые с неизвестными влево, числа – вправо.

x-36+4x-3x=2

2x=38

x=19

Ответ: 19

 

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Обсуждение закрыто.