Уравнение состояния. Сосуды и поршни

[latexpage]

В эту статью намеренно сведены задачи про газы в сосудах, закрытых поршнями – легкими и тяжелыми. Под влиянием нагрева газы меняют свое состояние и сдвигают поршни в новое состояние равновесия. Как правило, нужно определить сдвиг поршня или отношение объемов.

Задача 1. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при нормальных условиях. Сосуд расположен горизонтально и разделен подвижным поршнем в отношении $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}$. В каком отношении поршень будет делить сосуд, если его меньшую часть нагреть до $t_1=127^{\circ}C$, а большую охладить до $t_2=-123^{\circ}C$?

Понятно, что, раз поршень в равновесии, то давление одинаково с обеих сторон: $p_1=p_2$.

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

$$p_1V_1=\nu_1 R T_1$$

Его количество пропорционально величине:

$$\nu_1 R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}$$

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

$$\nu_2 R=\frac{ p_1V_2}{ T_1}$$

После изменения температур в левой части состояние газа таково:

$$p_2V_{1n}=\nu_1 R T_2$$

А в правой:

$$p_2V_{2n}=\nu_2 R T_3$$

Возьмем отношение двух последних равенств:

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\nu_1 R T_2}{\nu_2 R T_3}=\frac{\nu_1R}{\nu_2R}\frac{ T_2}{ T_3}$$

То есть, подставляя $\nu_1R$ и $\nu_2R$, получим:

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\frac{ p_1V_1}{ T_1}}{\frac{ p_1V_2}{ T_1}}\frac{ T_2}{ T_3}=\frac{V_1 T_2}{V_2 T_3}=\frac{127+273}{2(273-123)}=\frac{4}{3}$$

Ответ: $\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{4}{3}$

 

Задача 2. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при температуре $t_1=0^{\circ}C$. Внутри сосуд перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса $r=2$ см на две части объемами $V_1=10$ см$^3$ и $V_2=50$ см$^3$. Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если большую часть газа нагреть на 30К? Температура в другой части не меняется.

Давление изначально одинаково с обеих сторон: $p_1=p_2$.

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

$$p_1V_1=\nu_1 R T_1$$

А в правой части:

$$p_1V_2=\nu_2 R T_1$$

После того как газ нагрели, его давление и объем в обеих частях сосуда должны измениться, но по-прежнему давление слева и справа равны:

$$p_2V_{1n}=\nu_1 R T_1$$

$$p_2V_{2n}=\nu_2 R T_2$$

Возьмем отношение двух последних равенств:

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\nu_1 R T_1}{\nu_2 R T_2}=\frac{\nu_1R}{\nu_2R}\frac{ T_1}{ T_2}$$

Количество газа в меньшей части сосуда пропорционально величине:

$$\nu_1 R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}$$

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

$$\nu_2 R=\frac{ p_1V_2}{ T_1}$$

Тогда:

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}$$

Так как объем равен произведению $V=lS$, то

$$\frac{ l_{1n}}{ l_{2n}}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}$$

$$\frac{ l_1-\Delta l}{ l_2+\Delta l}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}$$

Тогда

$$ l_1-\Delta l=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}( l_2+\Delta l)$$

$$ l_1-\Delta l=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$$

$$ l_1-\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$$

Но $\frac{V_2}{L_2}=S$, поэтому в левой части имеем:

$$ l_1-\frac{V_1 T_1}{S T_2}=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$$

И, так как $\frac{V_1}{S}=l_1$, то

$$ l_1-\frac{l_1 T_1}{ T_2}=\Delta l \left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)$$

$$ l_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)=\Delta l\left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)$$

Наконец,

$$\Delta l=\frac{ l_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)}{ 1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}}$$

Но $l_1$ нам неизвестно, поэтому вместо этой величины используем отношение $\frac{V_1}{S}$:

$$\Delta l=\frac{V_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)}{ S+\frac{S V_1 T_1}{V_2 T_2}}$$

$$\Delta l=\frac{10\cdot10^{-6}\left(1-\frac{273}{ 303}\right)}{\pi\cdot(0,02)^2+\frac{\pi\cdot(0,02)^2 \cdot10\cdot273}{50\cdot303}}=0,0067$$

Ответ: поршень сдвинется на 0,67 см.

 

Задача 3. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой $2,5$ см$^2$.  До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, $F=12$ Н? Начальное давление воздуха в сосуде $p_0=10^5$ Па, начальная температура $t_1=-3^{\circ}C$.

Газ, находящийся в сосуде, изначально оказывает давление на пробку. Только его недостаточно для того, чтобы выдавить ее. Поэтому считаем, что избыточное давление, то есть изменение давления – как раз и выдавит пробку. Тогда

$$\Delta p=\frac{F}{S}$$

В свою очередь,

$$\Delta p=p_1-p_0$$

А так как процесс изохорный, то

$$\frac{p_0}{T_1}=\frac{p_1}{T_2}$$

Тогда

$$p_1=\frac{p_0T_2}{T_1}$$

И

$$\Delta p=p_1-p_0=\frac{p_0T_2}{T_1}-p_0=p_0\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$$

Тогда

$$\frac{F}{S}= p_0\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$$

Или

$$\frac{F}{S}= p_0\frac{\Delta T}{T_1}$$

Откуда

$$\Delta T=\frac{F T_1}{S p_0}=\frac{12\cdot(273-3)}{2,5\cdot10^{-4}\cdot10^5}=127$$

Ответ: газ надо нагреть на $127^{\circ}C$, то есть до температуры $124^{\circ}C$.

 

Задача 4. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень. Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?

Рассмотрим состояние газа до нагрева. Температура обеих частей одинакова, массы равны, то есть

$$p_1V_1=p_2V_2$$

При этом понятно, что давления разные в обеих частях, так как объемы не одинаковы:

$$p_1+\frac{mg}{S}=p_2$$

Следовательно, так как $p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}$, то

$$p_1+\frac{mg}{S}=\frac{ p_1V_1}{ V_2}$$

И

$$\frac{mg}{S}=\frac{ p_1V_1}{ V_2}- p_1=p_1\left(\frac{V_1}{ V_2}-1\right)$$

 

Аналогично и после нагрева: так как газ нагревают в обеих частях сосуда,  и масса газа в обеих частях одинакова, то можно записать, что

$$p_{1n}V_{1n}=p_{2n}V_{2n}$$

Искомое отношение –

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{ p_{2n}}{ p_{1n}}$$

А

$$p_{1n}+\frac{mg}{S}=p_{2n}$$

И

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{ p_{1n}+\frac{mg}{S}}{ p_{1n}}=1+\frac{mg}{S p_{1n}}$$

Подставим давление поршня:

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=1+\frac{p_1}{p_{1n}}$$

Перейдем к объемам:

$$p_1=\frac{\nu R T_1}{V_1}$$

$$p_{1n}=\frac{\nu R T_2}{V_{1n}}$$

Подставим эти соотношения:

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=1+\frac{V_{1n}}{V_1}$$

Запишем объем после нагрева через приращение объема:

$$\frac{ V_1-\Delta V}{ V_2+\Delta V}=1+\frac{V_1-\Delta V}{V_1}$$

$$\frac{ V_1-\Delta V}{ V_2+\Delta V}=1+1-\frac{\Delta V}{V_1}$$

$$(V_1-\Delta V)V_1=(2V_1-\Delta V)( V_2+\Delta V)$$

$$V_1^2-\Delta V\cdotV_1=2V_1V_2+2V_1\Delta V- \Delta V V_2-\Delta V^2$$

Перейдем к полному объему сосуда:

$$V_1=\frac{V}{4}$$

$$V_2=\frac{3V}{4}$$

$$\frac{9}{16}V^2-\Delta V\frac{3V}{4}=2\frac{V}{4}\frac{3V}{4}+2\frac{3V}{4}\Delta V- \Delta V \frac{V}{4}-\Delta V^2$$

Теперь мы имеем всего две неизвестных в одном уравнении, и можем разделить все уравнение, например, на $V^2$:

$$\frac{9}{16}- \frac{3\Delta V }{4V }=\frac{6}{16}+\frac{6\Delta V }{4V} – \frac{\Delta V}{4V}-\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2$$

$$\frac{3}{16}- \frac{2\Delta V }{V }+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2=0$$

$$\frac{3}{16}- 2a+a^2=0$$

Где $a=\frac{\Delta V}{V}$ – заметим, что корень должен быть меньше 1 по модулю и при этом положительный, иначе будет потерян физический смысл.

$$D=\frac{\sqrt{13}}{2}$$

$$a_1=1+\frac{\sqrt{13}}{4}$$

$$a_2=1-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

Выбираем в связи с вышеизложенными соображениями второй корень. Тогда $\Delta V= (1-\frac{\sqrt{13}}{4})V$.

Найдем оба объема частей сосуда после подогрева:

$$V_{1n}=V_1-\Delta V=\frac{3V}{4}-(1-\frac{\sqrt{13}}{4}) V$$

$$V_{2n}=V_2+\Delta V=\frac{V}{4}+(1-\frac{\sqrt{13}}{4}) V$$

$$V_{1n}=- ( \frac{V}{4}+\frac{\sqrt{13}}{4}) V=\frac{V (\sqrt{13}-1)}{4}$$

$$V_{2n}=V_2+\Delta V=\frac{5V}{4}-\frac{\sqrt{13}}{4}V=\frac{V(5-\sqrt{13})}{4}$$

Наконец, отношение объемов (Алилуйя! Мы сделали это!):

$$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\sqrt{13}-1}{5-\sqrt{13}}$$