Уравнение состояния. Сосуды и поршни

В эту статью намеренно сведены задачи про газы в сосудах, закрытых поршнями – легкими и тяжелыми. Под влиянием нагрева газы меняют свое состояние и сдвигают поршни в новое состояние равновесия. Как правило, нужно определить сдвиг поршня или отношение объемов.

Задача 1. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при нормальных условиях. Сосуд расположен горизонтально и разделен подвижным поршнем в отношении $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}$ . В каком отношении поршень будет делить сосуд, если его меньшую часть нагреть до $t_1=127^{\circ}C$ , а большую охладить до $t_2=-123^{\circ}C$ ?

Понятно, что, раз поршень в равновесии, то давление одинаково с обеих сторон: $p_1=p_2$ .

К задаче 1

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

$p_1V_1=\nu_1 R T_1$

Его количество пропорционально величине:

$\nu_1 R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}$

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

$\nu_2 R=\frac{ p_1V_2}{ T_1}$

После изменения температур в левой части состояние газа таково:

$p_2V_{1n}=\nu_1 R T_2$

А в правой:

$p_2V_{2n}=\nu_2 R T_3$

Возьмем отношение двух последних равенств:

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\nu_1 R T_2}{\nu_2 R T_3}=\frac{\nu_1R}{\nu_2R}\frac{ T_2}{ T_3}$

То есть, подставляя $\nu_1R$ и $\nu_2R$ , получим:

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\frac{ p_1V_1}{ T_1}}{\frac{ p_1V_2}{ T_1}}\frac{ T_2}{ T_3}=\frac{V_1 T_2}{V_2 T_3}=\frac{127+273}{2(273-123)}=\frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{4}{3}$

Задача 2. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при температуре $t_1=0^{\circ}C$ . Внутри сосуд перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса $r=2$ см на две части объемами $V_1=10$ см $^3$ и $V_2=50$ см $^3$ . Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если большую часть газа нагреть на 30К? Температура в другой части не меняется.

Давление изначально одинаково с обеих сторон: $p_1=p_2$ .

К задаче 2

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

$p_1V_1=\nu_1 R T_1$

А в правой части:

$p_1V_2=\nu_2 R T_1$

После того как газ нагрели, его давление и объем в обеих частях сосуда должны измениться, но по-прежнему давление слева и справа равны:

$p_2V_{1n}=\nu_1 R T_1$

$p_2V_{2n}=\nu_2 R T_2$

Возьмем отношение двух последних равенств:

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\nu_1 R T_1}{\nu_2 R T_2}=\frac{\nu_1R}{\nu_2R}\frac{ T_1}{ T_2}$

Количество газа в меньшей части сосуда пропорционально величине:

$\nu_1 R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}$

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

$\nu_2 R=\frac{ p_1V_2}{ T_1}$

Тогда:

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}$

Так как объем равен произведению $V=lS$ , то

$\frac{ l_{1n}}{ l_{2n}}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}$

$\frac{ l_1-\Delta l}{ l_2+\Delta l}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}$

Тогда

$l_1-\Delta l=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}( l_2+\Delta l)$

$l_1-\Delta l=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$

$l_1-\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$

Но $\frac{V_2}{L_2}=S$ , поэтому в левой части имеем:

$l_1-\frac{V_1 T_1}{S T_2}=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$

И, так как $\frac{V_1}{S}=l_1$ , то

$l_1-\frac{l_1 T_1}{ T_2}=\Delta l \left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)$

$l_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)=\Delta l\left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)$

Наконец,

$\Delta l=\frac{ l_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)}{ 1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}}$

Но $l_1$ нам неизвестно, поэтому вместо этой величины используем отношение $\frac{V_1}{S}$ :

$\Delta l=\frac{V_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)}{ S+\frac{S V_1 T_1}{V_2 T_2}}$

$\Delta l=\frac{10\cdot10^{-6}\left(1-\frac{273}{ 303}\right)}{\pi\cdot(0,02)^2+\frac{\pi\cdot(0,02)^2 \cdot10\cdot273}{50\cdot303}}=0,0067$

Ответ: поршень сдвинется на 0,67 см.

Задача 3. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой $2,5$ см $^2$ . До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, $F=12$ Н? Начальное давление воздуха в сосуде $p_0=10^5$ Па, начальная температура $t_1=-3^{\circ}C$ .

Газ, находящийся в сосуде, изначально оказывает давление на пробку. Только его недостаточно для того, чтобы выдавить ее. Поэтому считаем, что избыточное давление, то есть изменение давления – как раз и выдавит пробку. Тогда

$\Delta p=\frac{F}{S}$

В свою очередь,

$\Delta p=p_1-p_0$

А так как процесс изохорный, то

$\frac{p_0}{T_1}=\frac{p_1}{T_2}$

Тогда

$p_1=\frac{p_0T_2}{T_1}$

$\Delta p=p_1-p_0=\frac{p_0T_2}{T_1}-p_0=p_0\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$

Тогда

$\frac{F}{S}= p_0\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$

Или

$\frac{F}{S}= p_0\frac{\Delta T}{T_1}$

Откуда

$\Delta T=\frac{F T_1}{S p_0}=\frac{12\cdot(273-3)}{2,5\cdot10^{-4}\cdot10^5}=127$

Ответ: газ надо нагреть на $127^{\circ}C$ , то есть до температуры $124^{\circ}C$ .

Задача 4. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень. Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?

Рассмотрим состояние газа до нагрева. Температура обеих частей одинакова, массы равны, то есть

$p_1V_1=p_2V_2$

При этом понятно, что давления разные в обеих частях, так как объемы не одинаковы:

$p_1+\frac{mg}{S}=p_2$

К задаче 4

Следовательно, так как $p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}$ , то

$p_1+\frac{mg}{S}=\frac{ p_1V_1}{ V_2}$

$\frac{mg}{S}=\frac{ p_1V_1}{ V_2}- p_1=p_1\left(\frac{V_1}{ V_2}-1\right)$

Аналогично и после нагрева: так как газ нагревают в обеих частях сосуда, и масса газа в обеих частях одинакова, то можно записать, что

$p_{1n}V_{1n}=p_{2n}V_{2n}$

Искомое отношение –

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{ p_{2n}}{ p_{1n}}$

$p_{1n}+\frac{mg}{S}=p_{2n}$

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{ p_{1n}+\frac{mg}{S}}{ p_{1n}}=1+\frac{mg}{S p_{1n}}$

Подставим давление поршня:

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=1+\frac{p_1}{p_{1n}}$

Перейдем к объемам:

$p_1=\frac{\nu R T_1}{V_1}$

$p_{1n}=\frac{\nu R T_2}{V_{1n}}$

Подставим эти соотношения:

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=1+\frac{V_{1n}}{V_1}$

Запишем объем после нагрева через приращение объема:

$\frac{ V_1-\Delta V}{ V_2+\Delta V}=1+\frac{V_1-\Delta V}{V_1}$

$\frac{ V_1-\Delta V}{ V_2+\Delta V}=1+1-\frac{\Delta V}{V_1}$

$(V_1-\Delta V)V_1=(2V_1-\Delta V)( V_2+\Delta V)$

$V_1^2-\Delta V\cdotV_1=2V_1V_2+2V_1\Delta V- \Delta V V_2-\Delta V^2$

Перейдем к полному объему сосуда:

$V_1=\frac{V}{4}$

$V_2=\frac{3V}{4}$

$\frac{9}{16}V^2-\Delta V\frac{3V}{4}=2\frac{V}{4}\frac{3V}{4}+2\frac{3V}{4}\Delta V- \Delta V \frac{V}{4}-\Delta V^2$

Теперь мы имеем всего две неизвестных в одном уравнении, и можем разделить все уравнение, например, на $V^2$ :

$\frac{9}{16}- \frac{3\Delta V }{4V }=\frac{6}{16}+\frac{6\Delta V }{4V} - \frac{\Delta V}{4V}-\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2$

$\frac{3}{16}- \frac{2\Delta V }{V }+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2=0$

$\frac{3}{16}- 2a+a^2=0$

Где $a=\frac{\Delta V}{V}$ – заметим, что корень должен быть меньше 1 по модулю и при этом положительный, иначе будет потерян физический смысл.

$D=\frac{\sqrt{13}}{2}$

$a_1=1+\frac{\sqrt{13}}{4}$

$a_2=1-\frac{\sqrt{13}}{4}$

Выбираем в связи с вышеизложенными соображениями второй корень. Тогда $\Delta V= (1-\frac{\sqrt{13}}{4})V$ .

Найдем оба объема частей сосуда после подогрева:

$V_{1n}=V_1-\Delta V=\frac{3V}{4}-(1-\frac{\sqrt{13}}{4}) V$

$V_{2n}=V_2+\Delta V=\frac{V}{4}+(1-\frac{\sqrt{13}}{4}) V$

$V_{1n}=- ( \frac{V}{4}+\frac{\sqrt{13}}{4}) V=\frac{V (\sqrt{13}-1)}{4}$

$V_{2n}=V_2+\Delta V=\frac{5V}{4}-\frac{\sqrt{13}}{4}V=\frac{V(5-\sqrt{13})}{4}$

Наконец, отношение объемов (Алилуйя! Мы сделали это!):

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\sqrt{13}-1}{5-\sqrt{13}}$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Уравнение состояния. Сосуды и поршни

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь