Уравнение состояния. Сосуды и поршни

В эту статью намеренно сведены задачи про газы в сосудах, закрытых поршнями – легкими и тяжелыми. Под влиянием нагрева газы меняют свое состояние и сдвигают поршни в новое состояние равновесия. Как правило, нужно определить сдвиг поршня или отношение объемов.

Задача 1. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при нормальных условиях. Сосуд расположен горизонтально и разделен подвижным поршнем в отношении . В каком отношении поршень будет делить сосуд, если его меньшую часть нагреть до , а большую охладить до ?

Понятно, что, раз поршень в равновесии, то давление одинаково с обеих сторон: .

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

   

Его количество пропорционально величине:

   

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

   

После изменения температур в левой части состояние газа таково:

   

А в правой:

   

Возьмем отношение двух последних равенств:

   

То есть, подставляя и , получим:

   

Ответ:

 

Задача 2. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при температуре . Внутри сосуд перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса см на две части объемами см и см. Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если большую часть газа нагреть на 30К? Температура в другой части не меняется.

Давление изначально одинаково с обеих сторон: .

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

   

А в правой части:

   

После того как газ нагрели, его давление и объем в обеих частях сосуда должны измениться, но по-прежнему давление слева и справа равны:

   

   

Возьмем отношение двух последних равенств:

   

Количество газа в меньшей части сосуда пропорционально величине:

   

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

   

Тогда:

   

Так как объем равен произведению , то

   

   

Тогда

   

   

   

Но , поэтому в левой части имеем:

   

И, так как , то

   

   

Наконец,

   

Но нам неизвестно, поэтому вместо этой величины используем отношение :

   

   

Ответ: поршень сдвинется на 0,67 см.

 

Задача 3. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой см.  До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, Н? Начальное давление воздуха в сосуде Па, начальная температура .

Газ, находящийся в сосуде, изначально оказывает давление на пробку. Только его недостаточно для того, чтобы выдавить ее. Поэтому считаем, что избыточное давление, то есть изменение давления – как раз и выдавит пробку. Тогда

   

В свою очередь,

   

А так как процесс изохорный, то

   

Тогда

   

И

   

Тогда

   

Или

   

Откуда

   

Ответ: газ надо нагреть на , то есть до температуры .

 

Задача 4. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень. Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?

Рассмотрим состояние газа до нагрева. Температура обеих частей одинакова, массы равны, то есть

   

При этом понятно, что давления разные в обеих частях, так как объемы не одинаковы:

   

Следовательно, так как , то

   

И

   

 

Аналогично и после нагрева: так как газ нагревают в обеих частях сосуда,  и масса газа в обеих частях одинакова, то можно записать, что

   

Искомое отношение –

   

А

   

И

   

Подставим давление поршня:

   

Перейдем к объемам:

   

   

Подставим эти соотношения:

   

Запишем объем после нагрева через приращение объема:

   

   

   

   

Перейдем к полному объему сосуда:

   

   

   

Теперь мы имеем всего две неизвестных в одном уравнении, и можем разделить все уравнение, например, на :

   

   

   

Где – заметим, что корень должен быть меньше 1 по модулю и при этом положительный, иначе будет потерян физический смысл.

   

   

   

Выбираем в связи с вышеизложенными соображениями второй корень. Тогда .

Найдем оба объема частей сосуда после подогрева:

   

   

   

   

Наконец, отношение объемов (Алилуйя! Мы сделали это!):