Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение состояния. Сосуды и поршни

В эту статью намеренно сведены задачи про газы в сосудах, закрытых поршнями – легкими и тяжелыми. Под влиянием нагрева газы меняют свое состояние и сдвигают поршни в новое состояние равновесия. Как правило, нужно определить сдвиг поршня или отношение объемов.

Задача 1. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при нормальных условиях. Сосуд расположен горизонтально и разделен подвижным поршнем в отношении \frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}. В каком отношении поршень будет делить сосуд, если его меньшую часть нагреть до t_1=127^{\circ}C, а большую охладить до t_2=-123^{\circ}C?

Понятно, что, раз поршень в равновесии, то давление одинаково с обеих сторон: p_1=p_2.

К задаче 1

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

    \[p_1V_1=\nu_1 R T_1\]

Его количество пропорционально величине:

    \[\nu_1 R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}\]

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

    \[\nu_2 R=\frac{ p_1V_2}{ T_1}\]

После изменения температур в левой части состояние газа таково:

    \[p_2V_{1n}=\nu_1 R T_2\]

А в правой:

    \[p_2V_{2n}=\nu_2 R T_3\]

Возьмем отношение двух последних равенств:

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\nu_1 R T_2}{\nu_2 R T_3}=\frac{\nu_1R}{\nu_2R}\frac{ T_2}{ T_3}\]

То есть, подставляя \nu_1R и \nu_2R, получим:

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\frac{ p_1V_1}{ T_1}}{\frac{ p_1V_2}{ T_1}}\frac{ T_2}{ T_3}=\frac{V_1 T_2}{V_2 T_3}=\frac{127+273}{2(273-123)}=\frac{4}{3}\]

Ответ: \frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{4}{3}

 

Задача 2. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при температуре t_1=0^{\circ}C. Внутри сосуд перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса r=2 см на две части объемами V_1=10 см^3 и V_2=50 см^3. Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если большую часть газа нагреть на 30К? Температура в другой части не меняется.

Давление изначально одинаково с обеих сторон: p_1=p_2.

К задаче 2

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

    \[p_1V_1=\nu_1 R T_1\]

А в правой части:

    \[p_1V_2=\nu_2 R T_1\]

После того как газ нагрели, его давление и объем в обеих частях сосуда должны измениться, но по-прежнему давление слева и справа равны:

    \[p_2V_{1n}=\nu_1 R T_1\]

    \[p_2V_{2n}=\nu_2 R T_2\]

Возьмем отношение двух последних равенств:

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\nu_1 R T_1}{\nu_2 R T_2}=\frac{\nu_1R}{\nu_2R}\frac{ T_1}{ T_2}\]

Количество газа в меньшей части сосуда пропорционально величине:

    \[\nu_1 R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}\]

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

    \[\nu_2 R=\frac{ p_1V_2}{ T_1}\]

Тогда:

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\]

Так как объем равен произведению V=lS, то

    \[\frac{ l_{1n}}{ l_{2n}}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\]

    \[\frac{ l_1-\Delta l}{ l_2+\Delta l}=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\]

Тогда

    \[l_1-\Delta l=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}( l_2+\Delta l)\]

    \[l_1-\Delta l=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l\]

    \[l_1-\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l\]

Но \frac{V_2}{L_2}=S, поэтому в левой части имеем:

    \[l_1-\frac{V_1 T_1}{S T_2}=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l\]

И, так как \frac{V_1}{S}=l_1, то

    \[l_1-\frac{l_1 T_1}{ T_2}=\Delta l \left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)\]

    \[l_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)=\Delta l\left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)\]

Наконец,

    \[\Delta l=\frac{ l_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)}{ 1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}}\]

Но l_1 нам неизвестно, поэтому вместо этой величины используем отношение \frac{V_1}{S}:

    \[\Delta l=\frac{V_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)}{ S+\frac{S V_1 T_1}{V_2 T_2}}\]

    \[\Delta l=\frac{10\cdot10^{-6}\left(1-\frac{273}{ 303}\right)}{\pi\cdot(0,02)^2+\frac{\pi\cdot(0,02)^2 \cdot10\cdot273}{50\cdot303}}=0,0067\]

Ответ: поршень сдвинется на 0,67 см.

 

Задача 3. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой 2,5 см^2.  До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, F=12 Н? Начальное давление воздуха в сосуде p_0=10^5 Па, начальная температура t_1=-3^{\circ}C.

Газ, находящийся в сосуде, изначально оказывает давление на пробку. Только его недостаточно для того, чтобы выдавить ее. Поэтому считаем, что избыточное давление, то есть изменение давления – как раз и выдавит пробку. Тогда

    \[\Delta p=\frac{F}{S}\]

В свою очередь,

    \[\Delta p=p_1-p_0\]

А так как процесс изохорный, то

    \[\frac{p_0}{T_1}=\frac{p_1}{T_2}\]

Тогда

    \[p_1=\frac{p_0T_2}{T_1}\]

И

    \[\Delta p=p_1-p_0=\frac{p_0T_2}{T_1}-p_0=p_0\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\]

Тогда

    \[\frac{F}{S}= p_0\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\]

Или

    \[\frac{F}{S}= p_0\frac{\Delta T}{T_1}\]

Откуда

    \[\Delta T=\frac{F T_1}{S p_0}=\frac{12\cdot(273-3)}{2,5\cdot10^{-4}\cdot10^5}=127\]

Ответ: газ надо нагреть на 127^{\circ}C, то есть до температуры 124^{\circ}C.

 

Задача 4. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень. Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?

Рассмотрим состояние газа до нагрева. Температура обеих частей одинакова, массы равны, то есть

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

При этом понятно, что давления разные в обеих частях, так как объемы не одинаковы:

    \[p_1+\frac{mg}{S}=p_2\]

К задаче 4

Следовательно, так как p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}, то

    \[p_1+\frac{mg}{S}=\frac{ p_1V_1}{ V_2}\]

И

    \[\frac{mg}{S}=\frac{ p_1V_1}{ V_2}- p_1=p_1\left(\frac{V_1}{ V_2}-1\right)\]

 

Аналогично и после нагрева: так как газ нагревают в обеих частях сосуда,  и масса газа в обеих частях одинакова, то можно записать, что

    \[p_{1n}V_{1n}=p_{2n}V_{2n}\]

Искомое отношение –

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{ p_{2n}}{ p_{1n}}\]

А

    \[p_{1n}+\frac{mg}{S}=p_{2n}\]

И

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{ p_{1n}+\frac{mg}{S}}{ p_{1n}}=1+\frac{mg}{S p_{1n}}\]

Подставим давление поршня:

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=1+\frac{p_1}{p_{1n}}\]

Перейдем к объемам:

    \[p_1=\frac{\nu R T_1}{V_1}\]

    \[p_{1n}=\frac{\nu R T_2}{V_{1n}}\]

Подставим эти соотношения:

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=1+\frac{V_{1n}}{V_1}\]

Запишем объем после нагрева через приращение объема:

    \[\frac{ V_1-\Delta V}{ V_2+\Delta V}=1+\frac{V_1-\Delta V}{V_1}\]

    \[\frac{ V_1-\Delta V}{ V_2+\Delta V}=1+1-\frac{\Delta V}{V_1}\]

    \[(V_1-\Delta V)V_1=(2V_1-\Delta V)( V_2+\Delta V)\]

    \[V_1^2-\Delta V\cdotV_1=2V_1V_2+2V_1\Delta V- \Delta V V_2-\Delta V^2\]

Перейдем к полному объему сосуда:

    \[V_1=\frac{V}{4}\]

    \[V_2=\frac{3V}{4}\]

    \[\frac{9}{16}V^2-\Delta V\frac{3V}{4}=2\frac{V}{4}\frac{3V}{4}+2\frac{3V}{4}\Delta V- \Delta V \frac{V}{4}-\Delta V^2\]

Теперь мы имеем всего две неизвестных в одном уравнении, и можем разделить все уравнение, например, на V^2:

    \[\frac{9}{16}- \frac{3\Delta V }{4V }=\frac{6}{16}+\frac{6\Delta V }{4V} - \frac{\Delta V}{4V}-\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2\]

    \[\frac{3}{16}- \frac{2\Delta V }{V }+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2=0\]

    \[\frac{3}{16}- 2a+a^2=0\]

Где a=\frac{\Delta V}{V} – заметим, что корень должен быть меньше 1 по модулю и при этом положительный, иначе будет потерян физический смысл.

    \[D=\frac{\sqrt{13}}{2}\]

    \[a_1=1+\frac{\sqrt{13}}{4}\]

    \[a_2=1-\frac{\sqrt{13}}{4}\]

Выбираем в связи с вышеизложенными соображениями второй корень. Тогда \Delta V= (1-\frac{\sqrt{13}}{4})V.

Найдем оба объема частей сосуда после подогрева:

    \[V_{1n}=V_1-\Delta V=\frac{3V}{4}-(1-\frac{\sqrt{13}}{4}) V\]

    \[V_{2n}=V_2+\Delta V=\frac{V}{4}+(1-\frac{\sqrt{13}}{4}) V\]

    \[V_{1n}=- ( \frac{V}{4}+\frac{\sqrt{13}}{4}) V=\frac{V (\sqrt{13}-1)}{4}\]

    \[V_{2n}=V_2+\Delta V=\frac{5V}{4}-\frac{\sqrt{13}}{4}V=\frac{V(5-\sqrt{13})}{4}\]

Наконец, отношение объемов (Алилуйя! Мы сделали это!):

    \[\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\sqrt{13}-1}{5-\sqrt{13}}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *