Уравнение с параметром

В этой задаче надо найти такие значения параметра, при которых уравнение будет иметь одно решение. А уравнение квадратное, но присутствует и дробь, поэтому может так случиться, что один из корней совпадет с корнем знаменателя и таким образом станет посторонним. Поэтому такой случай, кроме нулевого дискриминанта, надо обязательно предусмотреть.

Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{x-2a}{x+2} +\frac{x-1}{x-a}=1$

имеет одно решение?

Приведем к общему знаменателю обе дроби и правую часть:

$\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{ (x+2)(x-a)}=0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – нет. Поэтому равносильна система:

$\begin{Bmatrix}{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{x^2-xa-2ax+2a^2+x^2+2x-x-2-(x^2+2x-xa-2a)=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{x^2-2ax-x +2a^2+2a-2=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{x^2-x(2a+1) +2a^2+2a-2=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$

Получили квадратное уравнение относительно $x$ , и оно будет иметь одно решение, если его дискриминант будет равен $0$ :

$D=(2a+1)^2-4(2a^2+2a-2)=4a^2+4a+1-8a^2-8a+8=-4a^2-4a+9=0$

$4a^2+4a-9=0$

$D=16+16\cdot9=160$

$a_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{160}}{8}=-0,5\pm0,5\sqrt{10}$

При полученных значениях параметра уравнение имеет одно решение. Определим его, чтобы убедиться, что оно не совпадает с $a$ и $-2$ :

$x=\frac{2a+1}{2}$

Выражение такое простое, так как это вершина параболы. Подставим $a$ :

$x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

Это значение не равно $a$ , и не равно $-2$ , следовательно, параметр $a=-0,5\pm0,5\sqrt{10}$ берем в ответ.

Но вдруг уравнение имеет два корня, но просто один из них либо равен $a$ , либо $-2$ ? Проверим это предположение простой подстановкой:

$x=-2$

Тогда:

$(-2)^2+4a+2 +2a^2+2a-2=0$

$4+6a +2a^2=0$

$a^2+3a +2 =0$

Тогда $a_1=-2$ , или $a_2=-1$ .

Если $x_1=-2$ , то второй (сумма корней равна $2a+1$ ) $x_2=2a+1-(-2)=2a+3$ .

Подставим найденные значения параметра: $x_1(-2)=-4+3=-1$ , или $x_1(-1)=1$

Таким образом, при принятом $x=-2$ получили полностью устраивающие нас $a_1=-1$ и $a_2=1$ .

Теперь примем $x=a$ . Тогда:

$a^2-2a^2-2a+2a^2+2a-2=0$

$a^2+a-2=0$

$a_3=1$

$a_4=-2$

Последнее значение уже мелькало и было нами проверено. Если $x_1=a$ , то второй (сумма корней равна $2a+1$ ) $x_2=2a+1-a=a+1$ .

При $a=1$ $x=1+1=2$ , что не равно $a$ .

Ответ: $a \in \{-1\}; \{1\}; \{-2\}; \{-0,5\pm0,5\sqrt{10}\}$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Апр
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Уравнение с параметром

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы