Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Уравнение с параметром

В этой задаче надо найти такие значения параметра, при которых уравнение будет иметь одно решение. А уравнение квадратное, но присутствует и дробь, поэтому может так случиться, что один из корней совпадет с корнем знаменателя и таким образом станет посторонним. Поэтому такой случай, кроме нулевого дискриминанта, надо обязательно предусмотреть.

Задача. При каких значениях параметра a уравнение

    \[\frac{x-2a}{x+2} +\frac{x-1}{x-a}=1\]

имеет одно решение?

Приведем к общему знаменателю обе дроби и правую часть:

    \[\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{ (x+2)(x-a)}=0\]

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – нет. Поэтому равносильна система:

    \[\begin{Bmatrix}{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-xa-2ax+2a^2+x^2+2x-x-2-(x^2+2x-xa-2a)=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-2ax-x +2a^2+2a-2=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-x(2a+1) +2a^2+2a-2=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}\]

Получили квадратное уравнение относительно x, и оно будет иметь одно решение, если его дискриминант будет равен 0:

    \[D=(2a+1)^2-4(2a^2+2a-2)=4a^2+4a+1-8a^2-8a+8=-4a^2-4a+9=0\]

    \[4a^2+4a-9=0\]

    \[D=16+16\cdot9=160\]

    \[a_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{160}}{8}=-0,5\pm0,5\sqrt{10}\]

При  полученных значениях параметра  уравнение имеет одно решение. Определим его, чтобы убедиться, что оно не совпадает с a и -2:

    \[x=\frac{2a+1}{2}\]

Выражение такое простое, так как это вершина параболы. Подставим a:

    \[x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\]

Это значение не равно a, и не равно -2, следовательно, параметр a=-0,5\pm0,5\sqrt{10} берем в ответ.

Но вдруг уравнение имеет два корня, но просто один из них либо равен a, либо -2? Проверим это предположение простой подстановкой:

    \[x=-2\]

Тогда:

    \[(-2)^2+4a+2 +2a^2+2a-2=0\]

    \[4+6a +2a^2=0\]

    \[a^2+3a +2 =0\]

Тогда a_1=-2, или a_2=-1.

Если x_1=-2, то второй (сумма корней равна 2a+1) x_2=2a+1-(-2)=2a+3.

Подставим найденные значения параметра: x_1(-2)=-4+3=-1, или x_1(-1)=1

Таким образом, при принятом x=-2 получили полностью устраивающие нас a_1=-1 и a_2=1.

Теперь примем x=a. Тогда:

    \[a^2-2a^2-2a+2a^2+2a-2=0\]

    \[a^2+a-2=0\]

    \[a_3=1\]

    \[a_4=-2\]

Последнее значение уже мелькало и было нами проверено. Если x_1=a, то второй (сумма корней равна 2a+1) x_2=2a+1-a=a+1.

При a=1 x=1+1=2, что не равно a.

Ответ: a \in \{-1\}; \{1\}; \{-2\}; \{-0,5\pm0,5\sqrt{10}\}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *