Уравнение с параметром

В этой задаче надо найти такие значения параметра, при которых уравнение будет иметь одно решение. А уравнение квадратное, но присутствует и дробь, поэтому может так случиться, что один из корней совпадет с корнем знаменателя и таким образом станет посторонним. Поэтому такой случай, кроме нулевого дискриминанта, надо обязательно предусмотреть.

Задача. При каких значениях параметра уравнение

имеет одно решение?

Приведем к общему знаменателю обе дроби и правую часть:

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – нет. Поэтому равносильна система:

Получили квадратное уравнение относительно , и оно будет иметь одно решение, если его дискриминант будет равен :

При  полученных значениях параметра  уравнение имеет одно решение. Определим его, чтобы убедиться, что оно не совпадает с и :

Выражение такое простое, так как это вершина параболы. Подставим :

Это значение не равно , и не равно , следовательно, параметр берем в ответ.

Но вдруг уравнение имеет два корня, но просто один из них либо равен , либо ? Проверим это предположение простой подстановкой:

Тогда:

Тогда , или .

Если , то второй (сумма корней равна ) .

Подставим найденные значения параметра: , или

Таким образом, при принятом получили полностью устраивающие нас и .

Теперь примем . Тогда:

Последнее значение уже мелькало и было нами проверено. Если , то второй (сумма корней равна ) .

При , что не равно .

Ответ: