Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Параметры (18 (С5))

Уравнение с параметром. Теорема Виета

При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.

При каком значении параметра уравнение

   

имеет одно решение?

Первое, что приходит в голову, – ввести замену. Сделаем замену , . Тогда

   

У этого уравнения могут быть два корня разных знаков, или единственный корень, две такие ситуации нас устраивают. Случай с двумя корнями одного знака нам не подходит, отрицательными они быть не могут, а два положительных корня – для нас перебор.

Чтобы у уравнения были бы два корня разных знаков, нужно, чтобы:

   

Чтобы составить эти условия, мы воспользовались теоремой Виета.

   

Видим, что у уравнения положительный дискриминант. Посмотрим, где выполняется неравенство:

   

   

То есть , , неравенство строгое, следовательно, .

Второй вариант решения был бы возможен, если бы , но у нас дискриминант не зависит от , он численный, следовательно, этот путь решения закрыт.

Еще один вариант – два корня, но один из них ноль. Тогда свободный член уравнения равен 0:

   

, – корни необходимо проверять. Подставим в уравнение :

   

   

– проверка показала, что этот корень подойдет.

Подставим в уравнение :

   

   

Один корень нулевой, а второй – отрицателен, этот случай нам не подойдет.

Ответ: .

Если бы мы не догадались использовать теорему Виета, то получили бы корни:

   

   

   

Корни разных знаков:

   

Ответ получился бы таким же.

Если бы дискриминант оказался бы не численным, а зависящим от , то нам пришлось искать корни и потом строить предположения: пусть , тогда… пусть , тогда…

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *