Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Уравнение с параметром. Теорема Виета

При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.

При каком значении параметра aуравнение

    \[25^x-(8a+5)\cdot 5^x+16a^2+20a-14=0\]

имеет одно решение?

Первое, что приходит в голову, – ввести замену. Сделаем замену t=5^x, t>0. Тогда

    \[t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0\]

У этого уравнения могут быть два корня разных знаков, или единственный корень, две такие ситуации нас устраивают. Случай с двумя корнями одного знака нам не подходит, отрицательными они быть не могут, а два положительных корня – для нас перебор.

Чтобы у уравнения были бы два корня разных знаков, нужно, чтобы:

    \[\begin{Bmatrix}{16a^2+20a-14<0}\\{D>0}\end{matrix}\]

Чтобы составить эти условия, мы воспользовались теоремой Виета.

    \[D=(8a+5)^2-4(16a^2+20a-14)=64a^2+80a+25-64a^2-80a+56=81\]

Видим, что у уравнения положительный дискриминант. Посмотрим, где выполняется неравенство:

    \[8a^2+10a-7<0\]

    \[a_{1,2}=\frac{-10 \pm \sqrt{10^2-4(-7)\cdot 8}}{16}=\frac{-10 \pm \sqrt{324}}{16}=\frac{-10 \pm 18}{16}=\frac{-5 \pm 9}{8}\]

То есть a_1=\frac{1}{2}, a_2=-\frac{7}{4}, неравенство строгое, следовательно, a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2}).

Второй вариант решения был бы возможен, если бы D=0, но у нас дискриминант не зависит от a, он численный, следовательно, этот путь решения закрыт.

Еще один вариант – два корня, но один из них ноль. Тогда свободный член уравнения равен 0:

    \[16a^2+20a-14=0\]

a_1=\frac{1}{2}, a_2=-\frac{7}{4} – корни необходимо проверять. Подставим в уравнение a_1=\frac{1}{2}:

    \[t^2-(8\cdot \frac{1}{2}+5)t+16a^2+20a-14=0\]

    \[t^2-9t=0\]

t_1=0, t_2=9 – проверка показала, что этот корень подойдет.

Подставим в уравнение a_2=-\frac{7}{4}:

    \[t^2-(-8\cdot \frac{7}{4}+5)t+16a^2+20a-14=0\]

    \[t^2+9t=0\]

Один корень нулевой, а второй – отрицателен, этот случай нам не подойдет.

Ответ: a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2}].

Если бы мы не догадались использовать теорему Виета, то получили бы корни:

    \[t_{1,2}=\frac{8a+5 \pm9}{2}\]

    \[t_1=4a+7\]

    \[t_2=4a-2\]

Корни разных знаков:

    \[4a-2 \leqslant 0 <4a+7\]

Ответ получился бы таким же.

Если бы дискриминант оказался бы не численным, а зависящим от a, то нам пришлось искать корни и потом строить предположения: пусть t_1>t_2, тогда… пусть t_2>t_1, тогда…

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *