[latexpage]
При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.
При каком значении параметра $a$уравнение
$$25^x-(8a+5)\cdot 5^x+16a^2+20a-14=0$$
имеет одно решение?
Первое, что приходит в голову, – ввести замену. Сделаем замену $t=5^x$, $t>0$. Тогда
$$t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0$$
У этого уравнения могут быть два корня разных знаков, или единственный корень, две такие ситуации нас устраивают. Случай с двумя корнями одного знака нам не подходит, отрицательными они быть не могут, а два положительных корня – для нас перебор.
Чтобы у уравнения были бы два корня разных знаков, нужно, чтобы:
$$\begin{Bmatrix}{16a^2+20a-14<0}\\{D>0}\end{matrix}$$
Чтобы составить эти условия, мы воспользовались теоремой Виета.
$$D=(8a+5)^2-4(16a^2+20a-14)=64a^2+80a+25-64a^2-80a+56=81$$
Видим, что у уравнения положительный дискриминант. Посмотрим, где выполняется неравенство:
$$8a^2+10a-7<0$$
$$a_{1,2}=\frac{-10 \pm \sqrt{10^2-4(-7)\cdot 8}}{16}=\frac{-10 \pm \sqrt{324}}{16}=\frac{-10 \pm 18}{16}=\frac{-5 \pm 9}{8}$$
То есть $a_1=\frac{1}{2}$, $a_2=-\frac{7}{4}$, неравенство строгое, следовательно, $a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2})$.
Второй вариант решения был бы возможен, если бы $D=0$, но у нас дискриминант не зависит от $a$, он численный, следовательно, этот путь решения закрыт.
Еще один вариант – два корня, но один из них ноль. Тогда свободный член уравнения равен 0:
$$16a^2+20a-14=0$$
$a_1=\frac{1}{2}$, $a_2=-\frac{7}{4}$ – корни необходимо проверять. Подставим в уравнение $a_1=\frac{1}{2}$:
$$t^2-(8\cdot \frac{1}{2}+5)t+16a^2+20a-14=0$$
$$t^2-9t=0$$
$t_1=0, t_2=9$ – проверка показала, что этот корень подойдет.
Подставим в уравнение $a_2=-\frac{7}{4}$:
$$t^2-(-8\cdot \frac{7}{4}+5)t+16a^2+20a-14=0$$
$$t^2+9t=0$$
Один корень нулевой, а второй – отрицателен, этот случай нам не подойдет.
Ответ: $ a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2}]$.
Если бы мы не догадались использовать теорему Виета, то получили бы корни:
$$t_{1,2}=\frac{8a+5 \pm9}{2}$$
$$t_1=4a+7$$
$$t_2=4a-2$$
Корни разных знаков:
$$4a-2 \leqslant 0 <4a+7$$
Ответ получился бы таким же.
Если бы дискриминант оказался бы не численным, а зависящим от $a$, то нам пришлось искать корни и потом строить предположения: пусть $t_1>t_2$, тогда… пусть $t_2>t_1$, тогда…
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...