Уравнение с параметром. Теорема Виета

[latexpage]

При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.

При каком значении параметра $a$уравнение

$$25^x-(8a+5)\cdot 5^x+16a^2+20a-14=0$$

имеет одно решение?

Первое, что приходит в голову, – ввести замену. Сделаем замену $t=5^x$, $t>0$. Тогда

$$t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0$$

У этого уравнения могут быть два корня разных знаков, или единственный корень, две такие ситуации нас устраивают. Случай с двумя корнями одного знака нам не подходит, отрицательными они быть не могут, а два положительных корня – для нас перебор.

Чтобы у уравнения были бы два корня разных знаков, нужно, чтобы:

$$\begin{Bmatrix}{16a^2+20a-14<0}\\{D>0}\end{matrix}$$

Чтобы составить эти условия, мы воспользовались теоремой Виета.

$$D=(8a+5)^2-4(16a^2+20a-14)=64a^2+80a+25-64a^2-80a+56=81$$

Видим, что у уравнения положительный дискриминант. Посмотрим, где выполняется неравенство:

$$8a^2+10a-7<0$$

$$a_{1,2}=\frac{-10 \pm \sqrt{10^2-4(-7)\cdot 8}}{16}=\frac{-10 \pm \sqrt{324}}{16}=\frac{-10 \pm 18}{16}=\frac{-5 \pm 9}{8}$$

То есть $a_1=\frac{1}{2}$, $a_2=-\frac{7}{4}$, неравенство строгое, следовательно, $a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2})$.

Второй вариант решения был бы возможен, если бы $D=0$, но у нас дискриминант не зависит от $a$, он численный, следовательно, этот путь решения закрыт.

Еще один вариант – два корня, но один из них ноль. Тогда свободный член уравнения равен 0:
$$16a^2+20a-14=0$$

$a_1=\frac{1}{2}$, $a_2=-\frac{7}{4}$ – корни необходимо проверять. Подставим в уравнение $a_1=\frac{1}{2}$:

$$t^2-(8\cdot \frac{1}{2}+5)t+16a^2+20a-14=0$$

$$t^2-9t=0$$

$t_1=0, t_2=9$ – проверка показала, что этот корень подойдет.

Подставим в уравнение $a_2=-\frac{7}{4}$:

$$t^2-(-8\cdot \frac{7}{4}+5)t+16a^2+20a-14=0$$

$$t^2+9t=0$$

Один корень нулевой, а второй – отрицателен, этот случай нам не подойдет.

Ответ: $ a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2}]$.

Если бы мы не догадались использовать теорему Виета, то получили бы корни:

$$t_{1,2}=\frac{8a+5 \pm9}{2}$$

$$t_1=4a+7$$

$$t_2=4a-2$$

Корни разных знаков:

$$4a-2 \leqslant 0 <4a+7$$

Ответ получился бы таким же.

Если бы дискриминант оказался бы не численным, а зависящим от $a$, то нам пришлось искать корни и потом строить предположения: пусть $t_1>t_2$, тогда… пусть $t_2>t_1$, тогда…