Уравнение с параметром. Теорема Виета

При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.

При каком значении параметра $a$ уравнение

$25^x-(8a+5)\cdot 5^x+16a^2+20a-14=0$

имеет одно решение?

Первое, что приходит в голову, – ввести замену. Сделаем замену $t=5^x$ , $t>0$ . Тогда

$t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0$

У этого уравнения могут быть два корня разных знаков, или единственный корень, две такие ситуации нас устраивают. Случай с двумя корнями одного знака нам не подходит, отрицательными они быть не могут, а два положительных корня – для нас перебор.

Чтобы у уравнения были бы два корня разных знаков, нужно, чтобы:

$\begin{Bmatrix}{16a^2+20a-14<0}\\{D>0}\end{matrix}$

Чтобы составить эти условия, мы воспользовались теоремой Виета.

$D=(8a+5)^2-4(16a^2+20a-14)=64a^2+80a+25-64a^2-80a+56=81$

Видим, что у уравнения положительный дискриминант. Посмотрим, где выполняется неравенство:

$8a^2+10a-7<0$

$a_{1,2}=\frac{-10 \pm \sqrt{10^2-4(-7)\cdot 8}}{16}=\frac{-10 \pm \sqrt{324}}{16}=\frac{-10 \pm 18}{16}=\frac{-5 \pm 9}{8}$

То есть $a_1=\frac{1}{2}$ , $a_2=-\frac{7}{4}$ , неравенство строгое, следовательно, $a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2})$ .

Второй вариант решения был бы возможен, если бы $D=0$ , но у нас дискриминант не зависит от $a$ , он численный, следовательно, этот путь решения закрыт.

Еще один вариант – два корня, но один из них ноль. Тогда свободный член уравнения равен 0:

$16a^2+20a-14=0$

$a_1=\frac{1}{2}$ , $a_2=-\frac{7}{4}$ – корни необходимо проверять. Подставим в уравнение $a_1=\frac{1}{2}$ :

$t^2-(8\cdot \frac{1}{2}+5)t+16a^2+20a-14=0$

$t^2-9t=0$

$t_1=0, t_2=9$ – проверка показала, что этот корень подойдет.

Подставим в уравнение $a_2=-\frac{7}{4}$ :

$t^2-(-8\cdot \frac{7}{4}+5)t+16a^2+20a-14=0$

$t^2+9t=0$

Один корень нулевой, а второй – отрицателен, этот случай нам не подойдет.

Ответ: $a \in (-\frac{7}{4};\frac{1}{2}]$ .

Если бы мы не догадались использовать теорему Виета, то получили бы корни:

$t_{1,2}=\frac{8a+5 \pm9}{2}$

$t_1=4a+7$

$t_2=4a-2$

Корни разных знаков:

$4a-2 \leqslant 0 <4a+7$

Ответ получился бы таким же.

Если бы дискриминант оказался бы не численным, а зависящим от $a$ , то нам пришлось искать корни и потом строить предположения: пусть $t_1>t_2$ , тогда… пусть $t_2>t_1$ , тогда…

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Июн
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Уравнение с параметром. Теорема Виета

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы