Уравнение с параметром. Теорема Виета

При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.

При каком значении параметра уравнение

имеет одно решение?

Первое, что приходит в голову, - ввести замену. Сделаем замену , . Тогда

У этого уравнения могут быть два корня разных знаков, или единственный корень, две такие ситуации нас устраивают. Случай с двумя корнями одного знака нам не подходит, отрицательными они быть не могут, а два положительных корня – для нас перебор.

Чтобы у уравнения были бы два корня разных знаков, нужно, чтобы:

Чтобы составить эти условия, мы воспользовались теоремой Виета.

Видим, что у уравнения положительный дискриминант. Посмотрим, где выполняется неравенство:

То есть , , неравенство строгое, следовательно, .

Второй вариант решения был бы возможен, если бы , но у нас дискриминант не зависит от , он численный, следовательно, этот путь решения закрыт.

Еще один вариант – два корня, но один из них ноль. Тогда свободный член уравнения равен 0:

, - корни необходимо проверять. Подставим в уравнение :

- проверка показала, что этот корень подойдет.

Подставим в уравнение :

Один корень нулевой, а второй – отрицателен, этот случай нам не подойдет.

Ответ: .

Если бы мы не догадались использовать теорему Виета, то получили бы корни:

Корни разных знаков:

Ответ получился бы таким же.

Если бы дискриминант оказался бы не численным, а зависящим от , то нам пришлось искать корни и потом строить предположения: пусть , тогда… пусть , тогда…