Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения достаточно простых задач.

Задача 1. Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м^3 при температуре t=27^{\circ}C . Масса кислорода 1 кг.

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[pV=\nu RT\]

    \[p=\frac{\nu RT }{V}\]

Не забываем, что температуру надо перевести в Кельвины: T=t+273^{\circ}=300^{\circ} К.

Заменим число молей отношением: \nu=\frac{m}{M}

Предполагаем, что кислород молекулярный, тогда молярная масса его M=32 г/м^3.

    \[p=\frac{mRT }{MV}=\frac{1\cdot 8,31\cdot 300}{32\cdot 10^{-3}}=78000\]

Ответ: 78 кПа

 

Задача 2.  Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг , если его стенки при t=20^{\circ}C выдерживают давление p=1568 Н/см^2?

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[pV=\nu RT\]

    \[V=\frac{\nu RT }{p}\]

Не забываем, что температуру надо перевести в Кельвины: T=t+273^{\circ}=293^{\circ} К.

Заменим число молей отношением: \nu=\frac{m}{M}

Предполагаем, что кислород молекулярный, тогда молярная масса его M=32 г/м^3.

Давление выражаем в Н/м^2: 15680000 Па.

    \[V=\frac{m RT }{pM}=\frac{6,4\cdot8,31\cdot 293 }{15680000\cdot32\cdot10^{-3}}=3,1\cdot 10^{-2}\]

Ответ: V=3,1\cdot 10^{-2} м^3, или 31 л.

 

Задача 3. Используя уравнение состояния идеального газа, доказать,  что плотность любого газа равна половине плотности водорода \rho_{H_2}, взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть \rho=\frac{\rho_{H_2} \cdot M_r}{2}.

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[pV=\nu RT\]

Плотность – это масса некоторого объема: \rho=\frac{m}{V}, или V=\frac{m}{\rho}. Тогда

    \[p\frac{m}{\rho}=\nu RT\]

    \[\rho=\frac{pm}{\nu RT}\]

Молярная масса вещества равна:

    \[M=\frac{m}{\nu}\]

Тогда плотность газа

    \[\rho=\frac{pM}{ RT}=\frac{p}{ RT}M\]

Для водорода эта формула запишется так:

    \[\rho_{H_2}=\frac{p}{ RT}M_{H_2}\]

А так как по условию задачи водород находится при тех же условиях, то

    \[\frac{\rho_{H_2}}{ M_{H_2}}=\frac{p}{ RT}\]

Подставим последнее в выражение для плотности газа:

    \[\rho= M\ frac{p}{ RT} =M\frac{\rho_{H_2}}{ M_{H_2}}\]

Переходя от молекулярного водорода к атомарному

    \[\rho=M\frac{\rho_{H_2}}{ 2M_{H}}= M_r\frac{\rho_{H_2}}{ 2}\]

Молекулярная масса численно равна молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в последней формуле перешли к молекулярной массе (так как молярная масса водорода равна 1, но ее размерность никуда не делась – собственно, она-то и вызвала появление молекулярной массы в формуле).

 

Задача 4. До какой температуры T_1 при постоянном давлении p=10^5 Па надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре T_2=200 К?

Из предыдущей задачи плотность газа

    \[\rho=\frac{pM}{ RT}\]

Для кислорода:

    \[\rho=\frac{pM_{O_2}}{ RT_1}\]

Для водорода:

    \[\rho=\frac{pM_{H_2}}{ RT_2}\]

Приравняем плотности:

    \[\rho=\frac{pM_{O_2}}{ RT_1}=\frac{pM_{H_2}}{ RT_2}\]

Сократив, имеем:

    \[\frac{M_{O_2}}{ T_1}=\frac{M_{H_2}}{ T_2}\]

Откуда

    \[T_1=\frac{M_{O_2} T_2}{ M_{H_2}}=\frac{32\cdot 200}{2}=3200\]

Ответ: 3200 К

 

Задача 5. Найти формулу некоторого соединения углерода с водородом, если известно, что это вещество массой m=0,66 г в газообразном состоянии при температуре t=27^{\circ}C   в объеме 1 дм^3 создает давление p=10^5 Па?

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[pV=\nu RT\]

    \[pV=\frac{m RT}{M}\]

Молярная масса вещества равна:

    \[M=\frac{m RT}{pV}=\frac{0,66 \cdot10^{-3}\cdot 8,31\cdot300}{10^5\cdot10^{-3}}=16\cdot10^{-3}\]

В формулу подставлена абсолютная температура T=t+273^{\circ}=300^{\circ} К и объем выражен в м^3.

M=16\cdot10^{-3} кг/моль, или 16 г/моль, или молекулярная масса равна 16 а.е.м. – то есть в состав соединения войдет атом углерода с молекулярной массой 12 а.е.м. и 4 атома водорода с молекулярной массой 1 а.е.м. – формула соединения CH_4.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *