Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона. Задачи уровня В

Задачи подобного уровня сложности трудно отнести к уровню С – они для этого простоваты, а вот к уровню В их можно отнести смело. Одна из задач – классическая задача с изменением массы газа, а вторая – тоже вполне классическая задача с поршнем.

К задаче 1

Задача 1. В цилиндре под поршнем находится газ при давлении p_1 и температуре T_1. Поршень удерживается упругой пружиной. Во сколько раз нужно увеличить температуру газа, чтобы его объем увеличился в 1,5 раза? Если газ полностью откачать  из-под поршня, поршень будет находиться в равновесии у дна цилиндра.

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для газа в начальном состоянии:

    \[p_1V_1=\nu R T_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Сначала на поршень действуют силы: давления атмосферы: p_0S, давления газа p_1 S, и сила упругости пружины: F=k(h_0-l), где h_0 – расстояние от дна сосуда до поршня, а l – длина пружины в нерастянутом состоянии. Обратим внимание, что в задаче не упомянута масса поршня, отсутствует слово “массивный”, следовательно, массой поршня пренебрегаем. Можем тогда записать:

    \[p_0 S+ k(h_0-l)= p_1 S\]

Если газ начать откачивать, то сначала пружина вернется в нерастянутое состояние, а потом, при еще большем уменьшении количества газа, пружина начнет сжиматься под действием атмосферного давления:

    \[p_0 S=kl\]

Решая совместно эти уравнения, получим:

    \[kl+ k(h_0-l)= p_1 S\]

    \[kh_0= p_1 S\]

    \[h_0=\frac{p_1S}{ k }\]

следовательно, можем заключить, что, раз объем вырос в 1,5 раза, то в полтора раза выросла величина h_0, а значит, и давление. Тогда p_2=1,5p_1.

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для газа в подогретом состоянии:

    \[p_2V_2=\nu R T_2\]

Откуда

    \[T_2=\frac{ p_2V_2}{\nu R }\]

Из (1) получаем, что

    \[\nu R=\frac{ p_1V_1}{T_1}\]

Подставим:

    \[T_2=\frac{ p_2V_2 T_1}{ p_1V_1 }=\frac{ 1,5p_1\cdot1,5V_1 T_1}{ p_1V_1 }=2,25T_1\]

Ответ: 2,25.

Задача 2. В баллоне находится некоторое количество газа при атмосферном давлении p_0 = 10^5 Па. При открытом  вентиле баллон был нагрет, после чего вентиль закрыли и газ остыл до начальной температуры t = 10^{\circ} С, давление в баллоне упало до p = 0,7\cdot 10^5 Па. Каково максимальное изменение температуры баллона?

Когда баллон нагрели, изменился объем газа, и, поскольку вентиль был открыт, часть газа утекла из баллона.

Сначала состояние газа можно было определить уравнением:

    \[p_0 V=\frac{m_1}{M}R T_0\]

Затем, когда часть газа вышла из баллона, состояние газа опишем уравнением:

    \[p_0 V=\frac{m_2}{M}R T_{max}\]

Затем газ охладили вновь до температуры T_0, и мы запишем следующее уравнение:

    \[pV=\frac{m_2}{M}R T_0\]

Тогда из второго уравнения

    \[\frac{m_2}{M}R=\frac{p_0 V}{ T_{max}}\]

А из третьего

    \[\frac{m_2}{M}R=\frac{pV}{T_0}\]

Следовательно, деля друг на друга уравнения,

    \[1=\frac{p_0 T_0}{p T_{max}}\]

Откуда

    \[T_{max}=\frac{p_0}{p} T_0\]

Очевидно, что изменение температуры баллона

    \[\Delta T= T_{max}- T_0= T_0\left(\frac{p_0}{p}-1\right)\]

Подставляем численные данные:

    \[\Delta T= (273+10)\left(\frac{10^5}{0,7\cdot 10^5}-1\right)=121,28\]

Ответ: \Delta T = 121,3 К.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *